Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
Напишем искомый условный закон распределения X.
X
X
X
X
x
X
x
X
K
X
p
(/)pX y
1
2 5 8
3/16 6/16 7/16
Выполним контроль: 3/16 + 6/16 + 7/16 = 1.
3. Аналогично найдем условный закон распределения
.Y
Y
(/ )pY x
2
0,4 0,8
5/7 2/7
Выполним контроль: 5/7 + 2/7 = 1.
Пример 1.15
Матрица распределения системы двух дискретных случайных ве-
(,)
личин
«транспонирована»: значения компоненты
Y
задана таблицей (обратите внимание, что матрица как бы
– в первом столбце, а Y –
в первой строке).
Y
X
0 2 5
1 0,1 0 0,2
2 0 0,3 0
4 0,1 0,3 0
(,)
Требуется найти числовые характеристики системы
матические ожидания
ческие отклонения
r
ляции
.
Y
m
,
m ; дисперсии
y
,
; ковариацию
y
D
,
; коэффициент корре-
Y
D
; средние квадрати-
Y
Y
: мате-
Решение
Прежде всего найдем ряды распределения отдельных величин,
входящих в систему: суммируя вероятности
, стоящие в первой,
ij
второй и третьей строке таблицы, получим:
41
pPX
X
X
p
X
p
p
{1}0,100,20,3
x
1
;
pPX
pPX
x
Ряд распределения СВ
{ 2} 0 0,3 0 0, 3
x
2
{ 4} 0,1 0,3 0 0, 4
3
выглядит следующим образом.
1 2 4
0,3 0,3 0,4
Математическое ожидание СВ Х
1 0,3 2 0,3 4 0,4 2,5
m
x
Дисперсию
D
находим через второй начальный момент:
[ ] 1 0,3 2 0,3 4 0,4 7,9X
2
DXm .
222
[] 7,92,5 1,65
2
Xx
22
Среднее квадратическое отклонение
1, 2 85
D
xX
Аналогично находим ряд распределения СВ
ности
по столбцам таблицы:
ij
;
.
.
;
.
Y , суммируем вероят-
pPY
y
1
Ряд распределения СВ
{0}0,10,10,2
pPY
pPY
{2}0,6
y
2
{5}0,2
y
3
Y имеет следующий вид.
;
;
.
Y
0 2 5
0,2 0,6 0,2
42
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое от-
X
X
K
K
X
K
x
X
X
x
X
X
клонение СВ Y соответственно равны:
00,2 20,6 50,2 2,2
m ;
y
DYm
[] 00,220,650,22,2 2,56;
2
Yy
Находим математическое ожидание произведения СВ
Ковариацию
Разделив
показывающий, что между СВ
22 2 2 2
1, 5 6
.
y
( ) 1 0 0,1 1 2 0 1 5 0, 2 2 0 0MXY
220,3 250 420,3 450 4,6.
вычисляем по формуле
Y
K
на
, получим коэффициент корреляции:
Y
r
XY
4,6 2,5 2, 2 0,90
XY
y
K
XY
xy
0,9
1, 285 1,6
XY
.
0,438
()
MXY MX MY
,
и Y существует отрицательная ли-
и Y :
:
нейная зависимость, т. е. при увеличении одной из них другая имеет
некоторую тенденцию уменьшаться.
Пример 1.16
Задана плотность совместного распределения непрерывной дву-
(,)
мерной случайной величины
Y
:
22
xy
yxy
xy
(, )
fxy
⎧
⎪
4e ,0 ,0 ,
⎨
0, 0 0.
⎪
⎩
Найти:
1) математические ожидания составляющих
2) дисперсии составляющих
и Y .
43
и Y ;
Решение
X
M
X
X
X
X
1. Найдем сначала плотность распределения составляющей X:
() (, ) 4e e 2e , 0
fx fxydyx y dyx x
1
∫∫
00
22 2
xy x
.
Аналогично получим
2
y
() 2e , 0
fy y y
2
Найдем математическое ожидание составляющей
X xf x dx x x dx
∫∫
00
() 2e
1
.
2
x
:
.
Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона
2
x
e2
dx
∫
0
Очевидно, что и
2. Найдем дисперсию
DX x f x dx MX x x dx
∫∫
00
, получим
.
2MY
.
2MX
:
2
222
() [ ] 2e 2 1 4
1
x
2
.
Очевидно, что и
14DY
.
Пример 1.17
В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три
шара, на каждом из которых написана цифра 2. Один за другим наудачу вынимают два шара. Пусть величина
Y – номер на втором. Найти совместны й закон распределения
ре, а
величин
личины
и Y (т. е. закон распределения двумерной случайной ве-
(,)
Y
).
44
– это номер на первом ша-
Решение
X
X
X
X
X
F
X
Используя формулу умножения вероятностей, найдём
(,) (1,1) { 1}{ 1/ 1}
PXY PX PY X
21 1
.
54 10
Поступая аналогично для вычисления других вероятностей, получим следующее.
/
Y
1 2
1 0,1 0,3
2 0,3 0,3
Упражнения
Законы распределения системы двух случайных величин
1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого
стрелка равна 0,4, для второго – 0,6. Оба стрелка независимо друг от
друга делают по два выстрела в цель. Требуется найти:
1)
закон распределения случайных величин
ная величина
чина
Y – число попаданий второго стрелка;
совместный закон распределения системы случайных величин
2)
(,)
Y ;
функцию распределения системы случайных величин (,)
3)
(, )
xy
XY
.
– число попаданий первого стрелка, случайная вели-
2. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
Y
20 30 41 50
2,3 0,05 0,12 0,08 0,04
2,7 0,09 0,30 0,11 0,21
Найти законы распределения составляющих.
и Y , если случай-
Y
45
(, )
X
X
X
X
F
X
F
X
3. Задана дискретная двумерная случайная величина
Y
3 6
Y
.
10 0,25 0,10
14 0,15 0,05
18 0,32 0,13
Найти: 1) условный закон распределения X при условии, что
2) условный закон распределения Y при условии, что
10;Y
6.X
Совместные функции распределения
двух случайных величин
4. В кошельке лежат 8 пятикопеечных монет и 6 двухкопеечных.
Наудачу вынимают одну за другой две монеты. Пусть случайная величина
местный закон распределения величин
распределения
– достоинство первой монеты, Y – второй. Составить сов-
(, )
Y
. Найти функцию
(, )
xy
XY
5. Двумерная случайная величина
.
(,)
Y
задана совместной плот-
ностью распределения
1
⎧
sin( ), 0 , 0 ,
xy x y
222
0, 0 0 .
xx yy
(, )
fxy
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Определить функцию распределения системы
22
(, )
xy
XY
.
Характеристическая функция случайных величин
6. Найти характеристическую функцию СВ X, равномерно распределенной на отрезке
7. Найти математическое ожидание СВ
кону Пуассона с параметром
().Xt
цию
[, ].ab
, распределенной по за-
, используя характеристическую функ-
a
46
8. Найти
X
()Xt
для НСВ X, заданной своей плотностью распреде-
ления:
fx
()
X
⎪
⎨
0, в противном случае.
⎪
⎩
xx
2, [1,0],
⎧
Выводы по теме 1
Результат случайного эксперимента может характеризоваться не
только одним случайным числом (значением случайной величины), но
и двумя, тремя и бо´льшим числом случайных величин. Например,
успеваемость наудачу взятого студента характеризуется случайной
величиной
случайных величин
в ведомостях за сданные экзамены.
На многомерные случайные величины распространяются почти без
изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномерным случайным величинам. Мы для простоты ограничились рассмотрением системы двух случайных величин. Основные понятия легко
обобщаются на случай большего числа компонент.
Системы случайных величин (ССВ) могут быть
прерывными (как обычные СВ), а также смешанными – в зависимости
от типа СВ, образующих эту систему.
Охарактеризовать дискретную систему случайных величин (ДССВ)
можно, указав закон распределения в форме:
таблицы с двумя входами (аналог в одномерном случае – ряд
распределения);
функции распределения (совместная);
поверхности функции распределения;
графика распределения;
условных законов распределения компонент.
Охарактеризовать непрерывную систему случайных величин
(НССВ) можно, указав закон распределения в форме:
функции распределения;
плотности распределения;
поверхности функции распределения;
– средним баллом за всё время обучения, или системой n
( , , ..., )
XX X
12
– оценками, проставленными
n
дискретными и не-
47
поверхности плотности распределения,
X
X
F
X
A
A
F
F
F
f
f
условных законов распределения компонент.
Кроме закона распределения, для любой ССВ существуют числовые характеристики, основные их которых:
математическое ожидание;
дисперсия;
среднее квадратическое отклонение;
вероятность попадания значения ССВ в полосу, полуполосу,
прямоугольную область;
корреляционный момент (ковариация), коэффициент корре-
ляции.
Обратите внимание, что курсивом выделены формы закона распределния и числовые характеристики, которых нет у обычной одномерной СВ.
Домашнее задание
Задача 1. Из 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Двое вытяги-
вают по билету: сначала тянет первый, затем – второй. Пусть случайная величина
го. Требуется:
составить совместный закон распределения величин
1)
2)
найти функцию распределения
Задача 2. Двумерная случайная величина
ной плотностью распределения
– число выигрышных билетов у первого, Y – у второ-
(, )
Y
;
(, )
xy
XY
.
(,)
Y
задана совмест-
xy
⎧
(, )
fxy
e,0,0,
⎪
⎨
0, 0 0.
⎪
⎩
xy
xy
Найти:
Y
Y
()
y
()
y
;
;
;
.
48
1) коэффициент
(, )
xy
2)
XY
()
3)
X
()
4)
X
{0,1}PX Y
5)
;
x
и
x
и
Задача 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для
X
X
X
F
X
X
X
X
первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6. Оба стрелка независимо
друг от друга делают по два выстрела в цель. Случайная величина
число попаданий первого стрелка, случайная величина
Y – второго
–
стрелка.
Найти:
1) законы распределения случайных величин
и ;Y
2) совместный закон распределения системы случайных величин
(,)
Y
;
(, ).
3) функцию распределения
XY
xy
Задача 4. В кошельке 8 пятирублевых и 6 двухрублевых монет.
Наудачу вынимают одну за другой две монеты. Пусть ДСВ
стоинство первой монеты, ДСВ
Y – достоинство второй монеты.
– до-
Составить:
(,)
1) совместный закон распределения
2) законы распределения составляющих
3) условные законы распределения для
Y при условии
и для
5X
.
Y
;
и Y ;
при условии 2Y
49
X
X
X
x
p
p
ÒÅÌÀ 2
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
На практике часто возникают задачи, в которых по известному закону распределения (или числовым характеристикам) одной (или нескольких) случайной величины требуется определить распределение
другой (или нескольких) случайной величины, функционально связанной с первой.
Построение законов распределения функций некоторых дискрет-
(cX
ных случайных величин
,
раньше [7].
2.1. Функции одного случайного аргумента
Если каждому возможному значению СВ X по определенному
правилу соответствует одно возможное значение СВ
функцией случайного аргумента
ют
2
Y ,
уже было рассмотрено
)
и записывают
Y , то Y называ-
()YX
.
Закон распределения и числовые характеристики
функций ДСВ
, , ...,
ПустьX– ДСВ с возможными значениями
, , ...,
сти которых равны соответственно
1, 2, ...,in
Очевидно, что СВ
11
.
(),yx
yxyx
22
()YX
также ДСВ с возможными значениями
( ),..., ( )
nn
pp
12
, вероятности которых равны соот-
50
xx
12
, т. е.
n
, вероятно-
n
{}
PX x
ii
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]