Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
f
x
f
X
f
X
x
F
X
F
F
X
F
X
() (,) ( )
y f x y dx xy dx
2
при
∫∫
0
23
1
y
22 4
y
0
1
2
y
y
(0,2)y
.
3
y
Тогда по формуле (1.6б)
(, ) 2
(/)
fx y xy
xy x
()
fy
2
1
24
(, )xyD .
Выполним контроль:
(/) (0 ) 1
fx ydx dx y
∫∫
22 1
xx
22 2
yy y
0
2
2
y
2
Видим, что безусловный закон распределения случайной величины
1
(плотность распределения
() ( 4)
xxx
1
законом распределения случайной величины
ления
(/)
fx yy
2
), а это означает, что случайные величины X и Y
2
3
) не совпадает с условным
4
(плотность распреде-
зависимы.
В случае произвольного типа случайных величин функция распределения
xy
системы зависимых случайных величин
(,)
Y
(, )
быть записала в виде
(, ) () ( / ) () ( / )
xy FxFyX x FyFxY y
12 21
,
при
2
y
.
может
(/ ) { / }
где
xY y PX xY y
1
случайной величины
при условии
– условная функция распределения
(/ )
{}Yy
;
yX x
2
{/ }PY y X x – условная функция распределения случайной величи-
{}
ны
Y при условии
x
.
21
1.6. Числовые характеристики двумерной СВ
X
X
X
M
x
M
M
X
M
M
X
X
D
Для системы случайных величин также вводятся числовые характеристики, подобные характеристикам для одной случайной величины.
(,)
Y
В качестве числовых характеристик системы
сматривают моменты различных порядков.
На практике чаще всего используются моменты первого и второго
порядка: математическое ожидание, дисперсия и корреляционный
момент.
Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины служат соответственно средним значением и мерой рассеяния.
Корреляционный момент выражает меру взаимного влияния слу-
(,)
Y
чайных величин, входящих в систему
Математическим ожиданием
двумерной СВ
совокупность двух математических ожиданий
.
X и MY , определяе-
мых равенствами:
1)
nm
Xm xp
Ym yp
∑∑
11
ij
nm
∑∑
yjij
11
ij
; (1.7а)
iij
, (1.7б)
обычно рас-
(,)
Y
называется
(,)
если
Xxfxydxdy
2)
(,)
если
Дисперсией
дисперсий
DX x m p
1)
Y – дискретная система СВ;
∫∫
Y
– непрерывная система СВ.
(, )
системы СВ
;
(,)
Y
Yyfxydxdy
называется совокупность двух
X и DY , определяемых равенствами:
nm
()
∑∑
ij
ixij
11
2
;
22
∫∫
(, )
,
nm
X
X
D
X
x
x
X
M
D
X
DY y m p
если
∑∑
ij
(,)
Y
– дискретная система СВ;
11
()
jyij
2
,
DX x m f x y dx dy
2)
если
DY y m f x y dx dy
(,)
Y
Дисперсии
ной точки
(, )
mm – центра рассеяния на плоскости
y
()(,)
∫∫
()(,)
∫∫
– непрерывная система СВ.
X и DY характеризуют рассеяние (разброс) случай-
(,)
Y
Математические ожидания
начального момента
2
x
2
y
в направлении осей
m
и
m являются частными случаями
порядка
,ks
ks
мого равенством
ks
()
XY
10
()
Если k = 1 и s = 0, то
01
y
()
0,1
.
X и DY являются частными случаями центрального
порядка ks системы
,ks
mMXY
то
Дисперсии
момента
ks
,
mMXY
x
ством
;
,
Ox
y
и
.Oxy
Oy
системы (,)
.
; если k = 0 и s = 1,
1,0
(,)
Y
, определяемого равен-
вокруг точки
Y , определяе-
Тогда
()()
MXm Ym
ks x y
,
DX M X m
()
2
x
2,0
и
23
ks
DY M Y m
.
()
2
y
0,2
.
Математическое ожидание СВ
X
X
X
M
M
M
M
M
M
X
X
K
компонент
и Y двумерной СВ
а) для дискретного случая
(,) (, )
XY x y p
б) для непрерывного случая
(,) (,)(,) .
XY x y f x y dxdy
∫∫
(,)
(,)
Y
nm
∑∑
11
ij
Y
, являющейся функцией
, находится по формулам:
ijij
;
Начальный момент второго порядка
1,1
()
XY , который часто
встречается в приложениях, соответственно для дискретных и непрерывных СВ вычисляется по формулам:
nm
()
XY x y p
∫∫
∑∑
11
ij
; (1.8а)
ijij
. (1.8б)
() (,)
XY xy f x y dx dy
1.7. Корреляционный момент,
коэффициент корреляции
Особую роль в теории вероятности играет центральный смешан-
ный момент второго порядка
1,1
(( )( )) ( )
XmYm MXY
xy
называемый корреляционным моментом, или моментом связи.
Корреляционным моментом (или ковариацией) двух СВ
называется математическое ожидание произведения отклонений этих СВ
от их математических ожиданий, обозначается
Y
или
cov( , )XY
Таким образом, по определению
KXYMXmYmMXY
cov( , ) ( )( ) ( )
XY x y
.
и Y
.
,
24
(,)
X
X
X
K
X
K
K
K
X
X
X
X
При этом если
Y
– двумерная дискретная СВ, то ковариация
вычисляется по формуле
nm
()( )
∑∑
11
ij
()( )(,)
если
(,)
Y
– непрерывная СВ, то
Kxmymp
Yixjyij
K x m y m f x y dx dy
XY x y
∫∫
Ковариацию удобно вычислять по формуле
cov( , ) ( ) .
XY
XY MXY MXMY
Свойства ковариации
1. Ковариация симметрична:
K
YYX
Дисперсия СВ есть ковариация ее с самой собой:
2.
.
,
.
(1.9)
DX
XX
Если случайные величины
3.
4.
Дисперсия суммы (разности) двух случайных величин
,
и Y независимы, то
XY
0
K
DY
YY
.
.
и Y
равна сумме их дисперсий плюс (минус) удвоенная ковариация этих
случайных величин:
() 2
DX Y DХ DY K
Постоянный множитель можно вынести за знак ковариаций:
5.
KcKK.
,,cX Y XY X cY
.
Y
6. Ковариация не изменится, если к одной из СВ (или к обеим
сразу) прибавить постоянную:
KKKK
.
,,,
cY XY XY c X cY c
25
7. Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не
X
X
X
X
x
X
X
X
X
D
x
X
превосходит произведение их средних квадратических отклонений (СКО):
||
K .
Yxy
Доказательства свойств ковариации можно посмотреть в [1].
Из свойства 3 следует, что если
Случайные величины
и Y в этом случае (
K
коррелированными. Однако из того, что
симость СВ
и Y . В этом случае
0
XY
, то СВ X и Y зависимы.
K
K
(0)
K
XY
0
XY
, не следует незави-
СВ X и Y называют
XY
0
) называют
некоррелированными. Из независимости вытекает некоррелирован-
ность (обратное неверно).
()
K
Ковариация
, как следует из ее свойств, характеризует
Y
и степень зависимости случайных величин, и их рассеяние вокруг точ-
(, )
mm. Размерность ковариации равна произведению размерно-
ки
стей случайных величин
зависимости (а не рассеяния) СВ
y
и Y . В качестве числовой характеристики
и Y берут безразмерную величи-
ну – коэффициент корреляции, который является лучшей оценкой степени влияния одной СВ на другую.
r
Коэффициентом корреляции
двух случайных величин X и Y
Y
называется отношение их ковариации (корреляционного момента)
к произведению их СКО:
r
K
XY
xy
XY
cov( , )
Y
XDY
. (1.10)
Очевидно, что коэффициент корреляции равен ковариации стан-
дартных СВ
mZ
1
и
x
Z
2
Ym
y
y
, т. е.
rZZ
XY
cov( , )
12
.
Свойства коэффициента корреляции
1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосхо-
дит единицу:
||1
r
XY
.
26
2. Если случайные величины X и Y независимы, то
X
X
X
X
X
X
0
r
XY
.
Если случайные величины
3.
стью, т. е.
причем
4.
YaXb, 0a
r
XY
||1
Если
r
1
при
XY
, то случайные величины X и Y связаны линей-
0a
и
, то
r
XY
и Y связаны линейной зависимо-
||1
r
XY
1
при
,
0a
.
ной функциональной зависимостью.
Доказательства свойств коэффициента корреляции также можно
посмотреть в [1].
Подведем итоги:
0
для независимых случайных величин
для линейно связанных случайных величин
11
в остальных случаях
r
XY
СВ связаны положительной корреляцией, если
СВ связаны отрицательной корреляцией, если
||
чем ближе
величины
r
к единице, тем больше оснований считать, что
Y
и Y связаны линейной зависимостью.
r
XY
;
||1
r
XY
;
;
0
r
XY
r
XY
;
0
;
Отметим, что корреляционные моменты и дисперсии системы слу-
чайных величин обычно задаются корреляционной матрицей
KK
⎛⎞
XXY
⎜⎟
KK
YX YY
⎝⎠
или
DK
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
XY
.
D
Y
Пример 1.7
Задана таблица распределения двумерной ДСВ.
/XY
–1 0 1
0 0,15 0,40 0,05
1 0,20 0,10 0,10
27
r
.
Y
Найти коэффициент корреляции
Решение
X
p
p
x
M
M
Z
M
Z
p
Находим законы распределения составляющих X и Y .
0 1
0,6 0,4
Y
–1 0 1
0,35 0,50 0,15
Находим математическое ожидание составляющих:
00,6 10,4 0,4
m
x
m
Значения
и
; 10,35 00,50 10,15 0,20.
m
y
m можно было бы найти и другим способом, ис-
y
пользуя формулы (1.7). Например:
23
mxp
∑∑
xiij
ij
11
00,15 00,40 00,05
1 0,20 1 0,10 0 1,10 0,4 .
Находим дисперсии составляющих:
2222 2
⎡⎤
⎣⎦
( 1) 0, 35 0 0,50 1 0,15 ( 0, 20) 0, 46.DY
( ) (0 0, 6 1 0, 4) 0,4 0,24DX MX MX
222 2
;
x
XY
0, 24 0, 49
–1 0 1
0,20 0,70 0,10
()
, 0, 46 0,68
. Находим
y
XY
( ) 0(1)0,15 000,40 010,05MXY
XY
XY , а затем
()
ZMXY
.
Стало быть
используя формулу (1.8а):
1( 1)0, 20 1 0 0,10 1 1 0,10 0,10 . Можно было бы найти ()
и другим способом, составив закон распределения
найти математическое ожидание
( ) 10,20 0 0,70 10,10 0,10MZ M XY. Находим корре-
ляционный момент, используя формулу (1.9):
KMXYMXMY
XY
( ) 0,10 0,4( 0, 20) 0,02 0
28
.
,
Находим коэффициент корреляции по формуле (10):
X
X
M
M
M
X
M
M
p
p
M
K
r
XY
XY
xy
0,02
0, 49 0, 68
0,06.
Делаем вывод, что случайные величины X и Y связаны отрицатель-
ной корреляцией.
1.8. Регрессия. Теорема о нормальной корреляции
При изучении двумерной случайной величины рассматриваются не
только числовые характеристики одномерных компонент
и числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания и условные дисперсии.
Условным математическим ожиданием одной из СВ, входящих
(,)
в систему
Y
, называется ее математическое ожидание, вычисляе-
мое при условии, что другая СВ приняла определенное значение (или
попала в данный интервал). Обозначается:
и (/)
Xy.
или
(/),
Yx
Вычисляются эти характеристики по обычным формулам для математического ожидания, в которых вместо плотности распределения
и вероятностей событий используются условные плотности распределения или условные вероятности.
Для дискретных случайных величин
и Y условные математи-
ческие ожидания вычисляются по формулам:
n
(/ ) (/ )
Xy xpx y
(/ ) ( / )
Yx ypy x
∑
jiij
i
1
m
∑
ijji
1
j
;
,
и Y , но
(/ )
YX x
,
где
(/ ) { / }
xy PXxYy ; (/) { / }
ij i j
Для непрерывных случайных величин:
(/) (/)
Xy xfxydx
yx PYyXx .
ji j i
∫
29
;
M
f
f
X
M
M
x
X
X
X
X
x
x
X
F
(/) (/)
Yx yfyxdy
∫
(/)
где
xy
и
(/)
yx
– условные плотности распределения СВ X и .Y
Условное математическое ожидание СВ
обозначается (/) ()
регрессией
грессия
X на
Y на
Xy y , называется функцией регрессии, или
(или X по y). Аналогично
y
(или Y по х).
Графики этих функций называются соответственно
кривыми,
регрессии X на
Если обе функции регрессии
рят, что СВ
и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
и Y на x.
y
на
y
,
при заданном
(/) ()
Yx x
линиями, или
и Y на x линейны, то гово-
Теорема о нормальной корреляции. Если двумерная СВ
распределена по нормальному закону, то СВ
и Y связаны линей-
ной корреляционной зависимостью.
1.9. Многомерная (n-мерная) случайная величина
(общие сведения)
Систему n случайных величин называют n-мерной (многомерной)
СВ, или случайным вектором
Многомерная СВ есть функция элементарного события
( , , ..., ) ( )
значении
XX X
12
n
ставится в соответствие n действительных чисел
, , ...,
ния, принятые СВ
(, ,..., )
xx x
12
( , , ..., ) .
XXX
12
n
n
XX X
12
называется реализацией случайного вектора
Закон распределения вероятностей
цией распределения
( , , ..., )
XX X .
12
n
каждому элементарному событию
, , ...,
xx
12
в результате опыта. Вектор
n
– значе-
n
n -мерной СВ задается ее функ-
Yy
– ре-
(,)XY
: в обо-
( , , ..., ) { , , ..., }
, , ..., 1 2 1 1 2 2
XX X n n n
12
xx x PX xX x X x
n
30
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]