Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
x
g
f
⎧
⎪
e, >0,
()
fx
⎨
0, 0.
⎪
⎩
x
x
Найти математическое ожидание и дисперсию СВ
Решение
xx
y
ee
∫
0
mdx
.
1
X
e
Y .
xx
22 2
DMY m dx
() e e
yy
∫
0
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
2
1
(2)(1)
.
2
Пример 2.15
Случайная величина X распределена равномерно в интервале ,
Найти закон распределения случайной величины
sinYX
⎛⎞
⎜⎟
22
⎝⎠
.
Решение
Функция
sinyx в интервале ,
ность распределения величины
() () ()
yf y y
⎛⎞
⎜⎟
22
⎝⎠
монотонна, поэтому плот-
Y может быть найдена по формуле
.
Решение задачи представим в виде таблицы: в левом столбце
будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; в правом – конкретные функции, соответствующие данному примеру.
⎧
()
x
1
⎪
⎪
()
fx
⎨
⎪
0, ,
⎪
⎩
⎛⎞
, , ,
x
⎜⎟
22
⎝⎠
⎛⎞
x
⎜⎟
22
⎝⎠
.
71
()yx sinyx
g
()xy arcsinxy
1
() y
() () ()
yf y y
11
⎧
⎪
()
gy
1
⎨
⎪
0, ( 1, 1)
⎩
2
1 y
,(1,1),
y
2
y
y
Интервал (–1, 1), в котором лежат значения случайной величины
определяется областью значений функции
sinyx
для
⎛⎞
x
⎜⎟
⎝⎠
22
Y,
,.
Пример 2.16
Случайная величина X распределена равномерно в интервале
Найти плотность распределения случайной величины
⎛⎞
⎜⎟
22
⎝⎠
cos .YX
.
,
Решение
Функция
cosyx
немонотонна в интервале ,
⎛⎞
⎜⎟
22
⎝⎠
. Решение
будем выполнять аналогично примеру 2.15, с той лишь разницей, что
в данном случае для любого
обратная функция будет иметь два зна-
y
чения. Решение оформляем также в виде таблицы.
1
()fx
()yx
⎧
⎪
⎪
()
fx
⎨
⎪
0, ,
⎪
⎩
⎛⎞
, , ,
x
⎜⎟
22
⎝⎠
⎛⎞
x
⎜⎟
22
⎝⎠
cosyx
72
(),()y
xyx
g
X
⎧
1
⎪
x
⎨
⎪
⎩
() ()yy
12
k
() () ()
yfyy
∑
i
1
y
2
ii
⎧
⎪
gy
()
⎨
⎪
0, ( 1, 1)
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
0, ( 1, 1)
⎩
arccos
1
arccos
2
1
1 y
11
22
yy
11
2
1
y
,(1,1),
2
y
y
y
2
y
,(1,1),
y
Пример 2.17
Найти плотность распределения линейной функции 31YX, ес-
ли аргумент распределен нормально, причем математическое ожидание
равно 2, а среднее квадратическое отклонение равно 0,5.
Решение
Найдем математическое ожидание :Y
() 32 1 7MY .
Найдем среднее квадратическое отклонение
:Y
() 30,5 1,5Y.
Искомая плотность распределения имеет вид
1, 5 2
1
gy
() e .
22
(7)/(21,5)
y
Пример 2.18
Дискретная случайная величина X задана следующим распределением.
73
X
1 3 5
p
f
M
f
M
0,2 0,5 0,3
Найти математическое ожидание функции
Решение
Найдем возможные значения Y :
22 2
(1) 1 1 2; (3) 3 1 10; (5) 5 1 26.
() 1.YXX
2
Искомое математическое ожидание функции
2
( 1) 2 0, 2 10 0,5 26 0, 3 13, 2MX .
Y равно:
Пример 2.19
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
xx
в интервале
Найти математическое ожидание функции
(0, / 2)
, вне этого интервала
() .YXX
2
() sin
Решение
b
() ()()
Воспользуемся формулой
() sin
задачи:
xx
;
2
()xx
; 0a ; /2b . Следовательно,
() sin
Xxxdx
XXfxdx
/2
∫
0
∫
a
2
.
. По условию
Интегрируя по частям, получим искомое математическое ожидание
2
() 2MX .
Пример 2.20
() 0fx
.
Даны две дискретные независимые случайные величины X и Y,
каждая из которых задана законом распределения в форме ряда.
74
X
1 2
p
p
Z
X
X
X
X
Z
p
0,4 0,6
Y
3 4
0,2 0,8
Составить распределение случайной величины
XY.
Решение
Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения
со всеми возможными значениями Y :
13 4; 145; 2 3 5; 2 4 6zz z z
123 4
.
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы
4Z , достаточно, чтобы величина
Y – значение
чина
3.y
Вероятности этих возможных значений, как
1
следует из законов распределения
Аргументы
и Y независимы, поэтому события 1
приняла значение
X и Y, соответственно равны 0,4 и 0,2.
1x
, а вели-
1
и 3Y
независимы, и вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события
0, 4 0,2 0,08
.
13 4Z ) по теореме умножения равна
Аналогично найдем:
{ 145}0,40,80,32PZ
{235}0,60,20,12PZ
{246}0,60,80,48PZ
;
;
.
Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий
5Zz
и
2
5Zz
: 0,32 + 0,12 = 0,44.
3
4 5 6
0,08 0,44 0,48
Выполним контроль: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.
Пример 2.21
Независимые непрерывные случайные величины X и Y заданы
плотностями распределений:
75
1
Z
Z
X
g
X
p
/3
x
fx x
() e , 0
;
3
1
/4
y
fy y
() e , 0
.
4
Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения
случайной величины
XY.
Решение
Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой
zz
() () ( ) e e
gz f xf z x dx dx
12
∫∫
00
11
⎛⎞⎛ ⎞
xzx
/3 ( )/4
⎜⎟⎜ ⎟
34
⎝⎠⎝ ⎠
z
zx z z
/4 /12 /4 /12
ee e(1e).
∫
0
0z
dx
, так как
XY,
Заметим, что здесь
ные значения
1
12
и Y неотрицательны.
Для контроля необходимо убедиться, что
() 1
zdz
∫
0
.
Упражнения
1. Дискретная СВ X задана законом распределения.
–2 –1 0 1 2 3
0,10 0,20 0,30 0,25 0,10 0,05
Найти закон распределения случайных величин:
2
1)
2)
23YX;
||2YX
.
76
и по условию возмож-
2. Найти плотность распределения и математическое ожидание СВ
X
X
Z
Z
если
1,YX
3. Случайная величина
ления СВ
4. Непрерывная СВ
Rav[ 2, 2]X
3
.
3YX
.
Norm(0, 1)X
. Найти плотность распреде-
задана своей плотностью распределения
x
⎧
e, 0,
⎪
()
fx
⎨
⎪
⎩
x
0, 0.
x
Найти функцию распределения и плотность распределения НСВ
Y,
если:
YX
21YX
;
2
.
и Y задано плотностью рас-
1)
2)
5. Совместное распределение СВ
пределения вероятностей
,0 1,0 1,
xy x y
(, )
fxy
⎧
⎨
0, в противном случае.
⎩
Найти функцию и плотность распределения вероятностей СВ
XY и
XY.
Выводы по теме 2
На практике часто возникают задачи, в которых по известному закону распределения (или числовым характеристикам) одной (или нескольких) случайной величины требуется определить распределение
другой (или нескольких) случайной величины, функционально связанной с первой.
Обычно в учебниках более подробно рассматривают функции одного случайного аргумента и меньше говорят о функциях нескольких
случайных аргументов (это очень сложный материал). Структурируем
рассмотренный выше теоретический материал и разобранные примеры, выделив следующие виды функций случайного аргумента.
77
1. Функция одного случайного аргумента
X
X
x
X
X
Z
X
X
X
X
X
X
p
Если каждому возможному значению СВ
правилу соответствует одно возможное значение СВ
ют функцией случайного аргумента
выполняется условие, что
!yx
тонной. При выполнении условия
, записывают
, такая функция называется моно-
:( ) ( )
xx x
11 1 2
()YX
.
по определенному
Y , то Y называ-
зывается немонотонной.
1.1.
а) функция
б) функция
1.2.
а) функция
б) функция
2. Функция
2.1.
2.2.
, Y – ДСВ:
– монотонная (см. пример 2.4);
– немонотонная (см. пример 2.5).
, Y – НСВ:
– монотонная (см. примеры 2.6 и 2.15);
– немонотонная (см. примеры 2.7 и 2.16).
нескольких случайных аргументов
, Y , Z – ДСВ (см. примеры 2.8 и 2.20);
, Y , Z – НСВ (см. примеры 2.9 и 2.21).
3. Числовые характеристики функций случайных аргументов:
3.1.
3.2.
, Y – ДСВ (см. примеры 2.10, 2.12 и 2.18);
, Y – НСВ (см. примеры 2.11, 2.13, 2.14 и 2.19).
()YX
. Если
функция на-
(,)
XY
:
Домашнее задание
Задача 1. Дискретная СВ
ления.
–2 –1 0 1 2 3
0,10 0,20 0,30 0,25 0,10 0,05
Найти закон распределения случайных величин:
2YX
1)
2)
sin
YX
;
.
3
задана следующим законом распреде-
78
Задача 2. Дискретная СВ
X
X
p
X
M
X
задана своим рядом распределения.
0 1 2 3
0,3 0,4 0,2 0,1
Требуется:
1) построить многоугольники распределения СВ
2) вычислить
Y и Y .
и
cos
YX
Задача 3. Непрерывная случайная величина Rav[ 2,2]X . Слу-
чайная величина является функцией от
вида 1YX.
Требуется:
1) найти плотность распределения НСВ
Y ;
2) вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и СКО.
Задача 4. Случайная величина
распределения СВ
||YX
.
Norm(0, 1)X
. Найти плотность
2
;
2
79
X
M
ÒÅÌÀ 3
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рассмотрим ряд утверждений и теорем из большой группы так
называемых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом количестве испытаний над
ними. Они составляют основу математической статистики.
Предельные теоремы условно делят на две группы.
Первая группа теорем, называемая законом больших чисел (ЗБЧ
устанавливает устойчивость средних значений: при большом количе-
стве испытаний их средний результат перестает быть случайным
и может быть предсказан с достаточной точностью.
Вторая группа теорем, называемая центральной предельной теоремой (ЦПТ), устанавливает условия, при которых закон распределения
суммы большого количества случайных величин неограниченно приближается к нормальному.
),
3.1. Неравенство Чебышева
Рассмотрим неравенство Чебышева, которое можно использовать:
а) для грубой оценки вероятностей событий, связанных со случайными
величинами, распределение которых неизвестно; б) для доказательства
ряда теорем ЗБЧ.
Теорема 3.1. Если СВ
и дисперсию
Чебышева
имеет математическое ожидание
то для любого
,DX
||
PX MX
80
0
справедливо неравенство
DX
. (3.1)
2
Xa
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]