Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
( , , ..., )
F
F
F
D
F
f
F
F
Функция распределения
ствами, как и функция распределения двух СВ
xx x
12
n
обладает такими же свой-
(, )
xy
. В частности,
она принимает все возможные значения на отрезке [0, 1],
( ) ( , , , , ..., )Fx F x
33 3
Плотность распределения системы
, , ...,
XX X
12
При этом
определяется равенством
n
fxxx
XX X n
, , ..., 1 2
12
( , , ..., ) 0
fx x x
12
∫∫ ∫
( , , ..., )
n
и
n
... ( , , ..., ) ... 1
f x x x dx dx dx
12 12
n
Вероятность попадания случайной точки
ласть
из n-мерного пространства выражается n-кратным интегралом
( , ,..., ) ... ( , , ..., ) ...
PXX X D fxx xdxdx dx
12 12 12
nnn
∫∫ ∫
()
D
(+ , + , ..., + ) 1F
,
непрерывных СВ
n
n
( , , ..., )
xx x
nn
12
xx x
12
( , , ..., )
XX X
...
n
12
n
.
и т. п.
.
n
в об-
.
Функция распределения
ность распределения
( , , ..., ) ... ( , , ..., ) ...
xx x fxx xdxdx dx
12 12 12
xx x
12
( , , ..., )
xx x
12
xx
12
nnn
∫∫ ∫
n
n-кратным интегралом
n
x
n
выражается через плот-
n
.
( , , ..., )
Необходимым и достаточным условием взаимной независимости
для любых
n СВ является равенство
( , , ..., ) ( ) ( ) ... ( )
, , ..., 1 2 1 2
XX X n X X X n
12 1 2
xx x F xF x F x
nn
31
,
а для непрерывных СВ
f
X
D
K
X
( , , ..., ) ( ) ( ) ... ( )
, , ..., 1 2 1 2
XX X n X X X n
12 1 2
xx x f xf x f x
nn
Основными числовыми характеристиками многомерной случайной
величины
mMX
22
DDX
nn
KK ,
ij ji
(, ,XX
12
а)
математических ожиданий составляющих
n
, …,
б)
n дисперсий составляющих
, при этом
(1)nn
в)
Ковариации
KK K
⎛⎞
11 12 1
⎜⎟
KK K
21 22 2
⎜⎟
⎜⎟
... ... ... ...
⎜⎟
KK K
12
nn nn
⎝⎠
..., )
mMX
nn
ковариаций, т. е.
D
ii i
.
K образуют ковариационную матрицу
ij
являются:
n
;
X
, т. е.
i
( ) , 1, ...,
MX m i n ;
iii
...
...
n
n
2
KMXYij
ij i j
или
...
X
, т. е.
i
DDX
11
(),
DK K
⎛⎞
112 1
⎜⎟
⎜⎟
DK
⎜⎟
,
...
...
22
... ...
⎜⎟
⎝⎠
mMX
11
DDX
22
, при этом
n
n
.
D
n
1.10. Характеристическая функция СВ
.
,
, …,
Наряду с функцией распределения, содержащей все сведения
о случайной величине, для ее описания можно использовать так называемую характеристическую функцию. С ее помощью, в частности,
проще решить задачу нахождения распределения суммы независимых
СВ и нахождения числовых характеристик СВ.
Характеристической функцией СВ
itX
e
ожидание СВ
где
– параметр; i – мнимая единица
t
, обозначается
() (e )
X
tM
32
называется математическое
()Xt
или
itX
()t
1i .
:
Для дискретной СВ
X
p
X
f
F
X
p
p
F
X
F
X
F
ностями
PX x
kk
принимающей значения
,
{}
,
1, 2, 3, ...k
, характеристическая функция
,,...xx
12
с вероят-
определяется формулой
itx
∑
k
k
1
()
x
itx
,
k
– формулой
.
() e
tp
а для непрерывной СВ с плотностью
() e ( )
tfxdx
X
∫
Со свойствами характеристической функции СВ можно ознакомиться в [1].
Задачи (с решениями)
Рассмотрим задачи, в которых по описанию случайного эксперимента требуется найти закон распределения дискретной системы случайных величин (ДССВ) в форме таблицы с двумя входами и/или
(, )
xy
в форме совместной функции распределения
Пример 1.8
.
Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина
паданий первого стрелка,
в мишень для первого стрелка
цию распределения
Y – второго стрелка. Вероятность попадания
, для второго –
1
(, )
xy
системы случайных величин
. Построить функ-
2
– число по-
(,)
Y
.
Решение
(, )
Составим таблицу значений функции
ний аргументов. Так как случайные величины
(, ) { , } { }{ } () ()
xyPXxYyPXxPYyFxFy
33
xy
для различных значе-
и Y независимы, то
12
.
Построим функцию распределения
F
X
x
p
F
X
X
X
0, 0,
⎧
⎪
() , 0 1,
Fx q x
⎨
11
⎪
1, 1 .
⎩
()Fx
:
1
x
x
Здесь
1qp
11
.
Аналогично
0, 0,
y
y
Значения функции
⎧
⎪
() , 0 1,
Fy q y
22
(, )
xy
⎨
⎪
1, 1 .
⎩
приведены в таблице.
Y
0y
01y
1y
0x
0 0 0
0
0
qq
12
q
1
01
q
1
Пример 1.9
По мишени осуществляются один выстрел. Вероятность попадания
равна
даний,
(, )
. Рассматриваются две случайные величины: X– число попа-
Y – число промахов. Построить функцию распределения
xy
системы
(,)
Y
.
1x
2
Решение
Случайные величины X и Y зависимы, причем жестко (функционально):
1
Y.
Таблица возможных значений
и Y с соответствующими веро-
ятностями будет выглядеть следующим образом.
34
Y
X
p
F
X
x
p
X
p
X
X
F
X
0 1
0 0
1
q
0
(, )
Значения функции
Y
0y
01y
1y
xy
приведены в таблице.
0x
01
1x
0 0 0
0 0
0
q
1
Пример 1.10
Два стрелка независимо друг от друга делают по два одиночных
(независимых) выстрела, каждый по своей мишени. Случайная величина
– число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий вто-
рого стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого
0,7p
стрелка
деления
1
|| ||
, для второго –
системы случайных величин (,)
ij
(ряды) распределения отдельных случайных величин
функцию распределения
(, )
xy.
0, 4p
2
. Построить матрицу распре-
Y и найти законы
и Y . Найти
Решение
Возможные значения случайных величин X и Y :
0x
;
1
Возможные пары значений системы случайных величин
1x
;
2
2x
;
3
0y
;
1
1y
2
2y
;
3
.
(,)
Y :
(0, 0); (0, 1); (0, 2); (1, 0); (1, 1); (1, 2); (2, 0); (2, 1); (2, 2).
Соответствующие этим парам вероятности вычисляем, пользуясь
правилами сложения и умножения вероятностей. Получим
{0,0}pPX Y
11
и второй стрелок оба раза промахнулся}
= {первый стрелок оба раза промахнулся,
35
(1 ) (1 ) 0,0324pp
22
12
;
{0,1}0,320,40,60,0432pPXY
X
X
F
X
x
12
2
;
{ 0, 2} 0,0144pPX Y
13
{1,0}0,1512pPXY
21
{1,1}0,2016pPXY
22
{1,2}0,0672pPXY
23
{ 2, 0} 0,1764pPXY
31
{ 2, 1} 0,2352pPXY
32
{ 2, 2} 0,0784pPXY
33
Матрица распределения системы случайных величин
;
;
;
;
;
;
.
(,)
Y
следующий вид.
Y
0 1 2
0 0,0324 0,1512 0,1764
1 0,0432 0,2016 0,2352
2 0,0144 0,0672 0,0784
На основании этой матрицы находим значения функции распределения
(, )
xy.
Y
0y
01y
12y
2y
0x
0 0 0 0
0 0,0324 0,1836 0,3600
0 0,0756 0,4284 0,8400
0 0,0900 0,5100 1,000
01
12x
имеет
2x
36
Законы распределения отдельных случайных величин X и Y
F
X
X
p
p
X
X
X
найдем, суммируя вероятности, стоящие соответственно в строках
(, )
xy
(столбцах) матрицы функции распределения
:
{ 0} 0,0324 0,0432 0, 014 0,09
PX P
x
1
{1}0,42
PX
x
2
{2}0,49
PX
x
3
{0}0,36
PY
y
1
{1}0,48
PY
y
2
{2}0,16
PY
y
3
;
;
;
;
.
;
Заметим, что эти значения мы могли бы получить непосредственно
из условия задачи, не пользуясь таблицей закона распределения с двумя
входами.
Ряды распределения случайных величин
и Y имеют следую-
щий вид.
0 1 2
0,09 0,42 0,49
Y
0 1 2
0,36 0,48 0,16
Пример 1.11
(,)
По закону распределения системы случайных величин
лучить законы распределения компонент
и Y .
Y
по-
Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины задано таблицей с двумя входами.
Y
3 10 12
4 0,17 0,13 0,25
5 0,10 0,30 0,05
37
Решение
X
X
p
p
X
F
Найдем законы распределения составляющих X и Y следующим
образом. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений
(3) 0,27p
:
;
(10) 0,43p
;
(12) 0,30p
.
Напишем закон распределения составляющей X.
3 10 12
0,27 0,43 0,30
Выполним контроль: 0,27 + 0,43 + 0,30 = 1.
Сложив вероятности по строкам, аналогично найдем распределение составляющей
Y .
Y
4 5
0,55 0,45
Выполним контроль: 0,55 + 0,45 = 1.
Пример 1.12
Задана функция распределения двумерной случайной величины
⎧
sin sin , 0 , 0 ,
xy x y
(, )
Fx y
⎪
⎨
⎪
0, 0 0.
⎩
xy
Найти вероятность попадания случайной точки
угольник, ограниченный прямыми
22
(,)
Y
в прямо-
0; / 4; / 6; / 3xxyy
.
Решение
Используем формулу
(, )Px X x y Y y
1212
(, ) (, ) (, ) (, ).
xy Fxy Fxy Fxy
22 12 21 11
38
Предположив
F
f
x
F
x
x
x
x
x
0; 4; 6 ; 3xx y y
12 1 2
, получим
sin( 4)sin( 3) sin(0) sin( 3) sin( 4)sin( 6)P
sin(0)sin( 6) 6 2 4 0, 26
.
Пример 1.13
По функции распределения системы случайных величин
найти ее двумерную плотность распределения вероятностей
Функция распределения двумерной случайной величины задана формулой
xyxy
⎧
(, )
Fx y
13 3 3 ,0 ,0 ,
⎪
⎨
0, 0 0.
⎪
⎩
xy
y
Решение
2
(, )
xy
Используем формулу
(, )
fxy
. Найдем частные произ-
y
водные:
2
(, )
Fx y
(, )
Fx y
ln 3(3 3 );
xy
xy
2
ln 3 3
y
.
(, )
xy
(, )
xy.
Итак, искомая двумерная плотность вероятности
2
xy
xy
y
(, )
fxy
⎧
ln 3 3 , 0 , 0 ,
⎪
⎨
0, 0 0.
⎪
⎩
Для контроля могжно убедиться, что условие нормировки выполняется и
2
ln 3 3 1.
∫∫
00
xy
39
dxdy
Пример 1.14
X
X
X
X
X
p
p
X
Задана дискретная двумерная случайная величина
(,)
Y
0, 4y
1
0,8y
1
2x
1
5x
2
3
0,15 0,30 0,35
0,05 0,12 0,03
Найти:
1) безусловные законы распределения составляющих;
2) условный закон распределения составляющей
что составляющая
Y приняла значение
3) условный закон распределения
Y при условии, что
0, 4y
1
;
при условии,
Решение
1. Сложив вероятности по столбцам, найдем закон распределения
2 5 8
0,20 0,42 0,38
Сложив вероятности по строкам, найдем закон распределения
Y
0,4 0,8
0,80 0,20
2. Найдем условные вероятности возможных значений
условии, что составляющая
Y приняла значение
0, 4y
1
:
Y
.
8x
5Xx
.
2
.
.Y
при
(/) (,)()0,15/0,80316px y px y py
11 11 1
( / ) ( , ) ( ) 0,30 / 0,80 6 16px y px y py
21 21 1
(/) (,)()0,35/0,807/16px y px y py
31 31 1
40
;
;
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]