Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
местны, их вероятности соответственно равны 0,3 и 0,2. Поэтому веро-
p
g
x
f
ятность события 1Y по теореме сложения
{ 1} { 1} { 1} 0,3 0,2 0,5PY PX PX .
Аналогично найдем вероятность возможного значения
{4}{ 2}{ 2}0,10,40,5PY PX PX
Напишем искомый закон распределения величины
Y
Пример 2.6
Задана плотность распределения
возможные значения которой заключены в интервале
плотность распределения
Решение
Так как функция
применима формула
()y
где
– функция, обратная функции
Найдем ()y :
если
()gy
3yx
дифференцируемая и строго возрастает, то
() ()| ()|
yf y y
3yx
1 4
0,5 0,5
()fx
случайной величины ,X
случайной величины
, то
() /3
3.yx
yy
,
Y.
.
.
(, ).ab
3YX
4:Y
Найти
.
[()]
Найдем
Очевидно, что
y
:
[()] (/3).fy fy
()y
() ( /3) 1/3yy
|()| ()1/3yy
61
.
.
Найдем искомую плотность распределения
g
f
X
x
g
()gy
, для чего объеди-
() ()| ()| (1/3) ( /3)gy f y y f y
ним полученные результаты:
Так как x изменяется в интервале (, )ab и 3,yx то область, в ко-
торой СВ Y принимает все возможные значения (т. е. ее плотность
распределения () 0gy ), примет вид 33.ay b
Можно представить ()
()
gy
Пример 2.7
Случайная величина X распределена равномерно в интервале
(0, 2 ).
Для равномерного распределения в интервале
Найти плотность распределения
cos .YX
Решение
Найдем плотность распределения ()
y в стандартной форме:
(/3)
fy
⎧
⎪
⎨
⎪
0, 3 или 3.
⎩
() 1/(2 0)
fx
,3 3,
ay b
3
ya yb
()gy
случайной величины
x случайной величины
(0, 2 ) имеем
1
,
2
.
.
вне этого интервала
Из уравнения
как в интервале
этот интервал на интервалы
монотонна. В интервале
а в интервале
плотность распределения может быть найдена из равенства
(,2)
() 0.fx
cosyx
(0, 2 ) функция
обратная функция
() () () () ()
yf y y f y y
найдем обратную функцию ()
cosyx
немонотонна, то разобъем
(0, )
(0, ) обратная функция
11 2 2
(,2),
и
в которых эта функция
() arccos,yy
( ) arccosyy
2
62
. Искомая
.
y . Так
Найдем производные обратных функций:
g
11
yy y y
( ) (arccos ) ; ( ) ( arccos )
12
22
yy
11
Найдем модули производных:
.
11
22
yy
11
1
, получим:
2
() ; () .
12
11
22
.
Учитывая, что
yy
() ; | ()|
12
()
fx
fy f y
Подставляя полученные результаты в формулу
n
() () (),
yfyy
∑
i
ii
1
имеем
Так как
11.y
gy
()
cosyx
111
21 21 1
, причем
222
yyy
02x
, то для СВ Y имеем
.
Таким образом, в интервале (–1, 1) искомая плотность распределе-
ния
gy
()
1
, вне этого интервала
2
y
1
() 0gy
.
Контроль (проверка условия нормировки):
11 1
gydy
( ) arcsin1 1
∫∫ ∫
110
dy dy
1222
22
11
yy
2
.
63
Пример 2.8
X
p
p
Z
Z
Z
X
X
Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы
следующими распределениями.
1 3
0,3 0,7
Y
Найти распределение случайной величины
2 4
0,6 0,4
XY.
Решение
Для того чтобы составить распределение величины
надо найти все возможные значения Z и их вероятности.
Возможные значения
есть суммы каждого возможного значения
со всеми возможными значениями Y :
XY,
123; 145; 325; 347zz z z
123 4
.
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы
3Z
, достаточно, чтобы величина X приняла значение
личина
Y – значение
как следует из законов распределения
2.y
Вероятности этих возможных значений,
1
X и Y, соответственно равны 0,3
и 0,6. Так как аргументы X и Y независимы, то события 1
1
1x
, а ве-
и 2Y независимы, и следовательно, вероятность их совместного
наступления (т. е. вероятность события
равна
0,3 0, 6 0,18
.
3)Z
по теореме умножения
Аналогично найдем:
{145}0,30,40,12PZ
{335}0,70,60,42PZ
{ 347}0,70,40,28PZ
;
;
.
Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий
{5}{ или }PZ PZ z Z z
{ }+P{ } 0,12 0,42 0,54PZ z Z z .
23
5Zz
и
2
23
5Zz
:
3
64
Z
Z
X
P
3 5 7
0,18 0,54 0,28
Выполним контроль: 0,18 + 0,54 + 0,28 = 1.
Пример 2.9
Заданы плотности распределений независимых, равномерно распределенных случайных величин X и Y :
() 1/2fx
1
() 1/2fy
2
в интервале (0, 2), вне этого интервала
в интервале (0, 2), вне этого интервала
() 0;fx
1
2
() 0.fy
Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины
ления
().gz
XY. Построить график плотности распреде-
Решение
По условию возможные значения X определяются неравенством
02,x
возможные значения Y – неравенством
следует, что возможные случайные точки
рате
OABC
(рис. 2.3, а).
(,)
Y
02.y
Отсюда
расположены в квад-
Н
a б
Рис. 2.3. Расположение случайных точек
По определению функции распределения
() { } { }Gz PZ z PX Y z .
65
x
yz
x
xy
x
xy
xy
X
x
удовлетворяют те точки
Oy
, которые лежат ниже прямой
осях
Ox и
значения
чек, лежащих в квадрате
Oy
отрезки, равные z). Если же брать только возможные
и y, то неравенство
OABC
С другой стороны, так как величины
z
z
выполняется только для то-
ниже прямой
и Y независимы, то
(, )xy
плоскости
(эта прямая отсекает на
.
z
() () () ,
G z f x f y dxdy dxdy S
S
– величина той части площади квадрата
где
ниже прямой
yz
Очевидно, что величина площади
Если
Если
Если
то
0,z
02,z
24,z
то
то
Площадь фигуры
квадрата
OABC , которая, очевидно, равна 224, и площадью прямо-
угольного треугольника
12
∫∫ ∫∫
ss
() ()
.
S
зависит от значения z.
0S
, т. е. () (1/4)0 0Gz.
11
()
Gz S
Gz S z
() 1 (4 ) 8
ODE
4428
1
OAHKC
4
OAHKC найдена как разность между площадью
HBK :
222(2)4.HB AH AF z z
Если
z > 4, то
Gz S
11
() 4 1
OABC
44
Итак, искомая функция распределения такова:
Gz
()
0, 0,
⎧
⎪
2
z
⎪
,0 < 2,
⎪
8
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
(4 )
1,2 < 4,
8
1, > 4.
z
2
z
z
11
44
OABC
22
zz
SHB
HBK
, которая лежит
(рис. 2.3, а).
2
(рис. 2.3, б).
2
, причем
/2
.
z
z
66
Найдем плотность распределения:
X
f
g
0, 0,
⎧
⎪
z
⎪
,0 < 2,
⎪
4
()
gz
⎨
z
⎪
1,2 < 4,
⎪
4
⎪
0, > 4.
⎩
z
z
z
z
График плотности распределения
()gz
изображен на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Плотность распределения
()gz
Рекомендуем для контроля убедиться, что площадь, ограниченная
(),gz
кривой распределения
равна единице.
Пример 2.10
Случайная величина
() (1/2)sin
xx в интервале (0, ), вне этого интервала () 0fx .
Найти математическое ожидание случайной величины
определив предварительно плотность распределения
задана плотностью распределения
()YXX ,
()gy величины Y.
Решение
Найдем сначала плотность
функция
()yxx для рассматриваемых значений
2
строго возрастающая, то плотность
()gy
случайной величины Y . Так как
(0 )xx
()gy
будем искать по формуле
2
() () ()
yf y y
где
()yy
– функция, обратная функции
67
,
2
.yx
Подставляя
f
M
M
X
f
|()|
yy
2
()yy
1
, получим
y
и учитывая, что
sin
()
gyy
y
.
4
() (1/2)sin
xx
,
Найдем искомое математическое ожидание величины
что возможные значения
2
0 x
yx
и
, то
Пользуясь подстановкой
Y заключены в интервале
2
0 y
() () .
Yygydy dy
:
22
∫∫
00
2
получим
,yt
1
Yttdt
() sin .
∫
2
0
yy
1
4
2
sin
y
Y , учитывая,
2
(0, ) . Так как
Интегрируя дважды по частям, окончательно имеем
() ( ) ( 4)/2.MY M X
22
Замечание. Решение, приведенное выше, преследует учебные цели.
Гораздо быстрее ведет к цели формула
1
22 2
[] sin ( 4)/2.
MX x xdx
∫
2
0
Пример 2.11
Случайная величина
() (1/2)sin
xx
в интервале
Найти дисперсию функции
()gy
распределения
.
задана плотностью распределения
(0, ),
вне этого интервала
2
()YXX
68
, используя плотность
() 0fx
.
Решение
X
p
Используем формулу
d
() () () ,
DY y g y dy M Y
где
и d – концы интервала, в котором заключены возможные зна-
c
чения
Y .
Подставляя
()
gyy
sin
2
∫
c
y
MY
,
(4)
()
(см. пример 2.10)
4
и учитывая, что
2
то
0)y
, получим
0c
и
2
d (так как
2
2
2
2
и
yx
0,x
2
() ( )
DY D X y dy
22
sin
∫
4
0
y
⎡⎤
y
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
Интегрируя сначала с помощью подстановки
2
2
4
.
2
2
а потом четы-
,yt
режды по частям, имеем
2
sin
yy
1
∫
42
y
0
4
dy
624
2
.
Подставив это значение в предыдущую формулу, окончательно получим
24 2
()( 16 80)/4.DX
Пример 2.12
Дискретная случайная величина Xимеет следующий ряд распределения.
–1 0 1 2
0,2 0,1 0,3 0,4
Найти математическое ожидание и дисперсию СВ 2.
X
Y
69
Решение
р
Х
1012
20,220,120,320,42,4
m
y
.
DMY m
yy
Пример 2.13
Рис. 2.5. Плотность
аспределения НСВ
Решение
22 12 02
( ) (2 ) 0,2 (2 ) 0,1
12 2 2 2
(2 ) 0,3 (2 ) 0,4 2,4 1,99 .
Непрерывная случайная величина X рас-
(0, 1)
пределена в интервале
()
fx
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
и имеет плотность
2 , (0,1),
xx
0, (0,1).
x
График плотности представлен на рис. 2.5.
Найти математическое ожидание и диспер-
2
сию случайной величины
1
22
mMX xxdx
() 2
y
∫
0
YX
1
.
2
.
22 22
DMY m x xdx
() ()2
yy
1
∫
0
2
1111
⎛⎞
⎜⎟
23412
⎝⎠
.
Пример 2.14
Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону
(>0)
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]