Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
X
F
X
F
X
X
f
p
f
Рис. 1.6. Геометрическая интерпретация вероятности
Y
(,)
попадания случайной точки
(, )(,)(,)Px X x y Y y Fx y Fx y
12122212
(,) (,)
xy Fxy
21 11
в прямоугольник
1.3. Плотность распределения вероятностей
двумерной непрерывной СВ
Исчерпывающей характеристикой двумерной непрерывной случай-
ной величины (НСВ) является плотность вероятности. Вводится это
понятие аналогично тому, как это делалось при рассмотрении плотности распределения вероятностей одномерной случайной величины.
Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее
(,)
функция распределения
цируемая по каждому из аргументов, у которой существует смешанная
(, )
производная
xy
xy
Плотностью распределения вероятностей (или совместной плот-
ностью) непрерывной двумерной случайной величины
ся вторая смешанная производная ее функции распределения. Совместная
плотность системы двух непрерывных случайных величин
(, )
xy
значается
или
(, ) (, )
Y есть непрерывная функция, дифферен-
.
(,)
(, )
xy
и вычисляется по формуле
2
(, )
Fxy
xy F xy
xy
xy
.
Y
называет-
(,)
Y обо-
11
Плотность распределения вероятностей двумерной непрерывной
X
X
x
x
x
X
f
f
X
f
X
(,)
случайной величины
падания случайной точки
ронами
и y, примыкающий к точке
моугольника, когда его размеры
Y есть предел отношения вероятности по-
(,)
Y в элементарный прямоугольник со сто-
(, )
y
, к площади этого пря-
и
y
стремятся к нулю (рис. 1.7).
Рис. 1.7.
ция плотности распределения вероят-
Геометрическая интерпрета-
ностей двумерной НСВ
По аналогии с плотностью вероятности одномерной НСВ, для дву-
(,)
Y
мерной случайной величины
(, )
ется как функция
xy
, удовлетворяющая условию
плотность вероятности определя-
(, )(,)P x X x dx y Y y dy f x y dx dy .
(, )
Выражение
xydxdy
мерной случайной величины
Геометрически плотность распределения вероятностей
случайной системы двух величин
называется элементом вероятности дву-
(,)
Y
.
(, )
xy
(,)
Y
представляет собой некото-
рую поверхность, называемую поверхностью распределения (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Поверхность распределения
12
Свойства плотности распределения двумерной НСВ
X
D
F
f
X
f
f
1. Плотность распределения двумерной случайной величины неот-
рицательна:
(, ) 0fxy
Вероятность попадания случайной точки
2.
равна двойному интегралу от плотности по области
.
(,)
Y
в область D
:
(,) (,) .
PXY D fxydxdy
3.
Функция распределения двумерной случайной величины может
∫∫
D
быть выражена через ее плотность распределения по формуле
y
x
(, ) (, ) .
xy f uvdudv
Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в беско-
4.
∫∫
XY
(1.2)
нечных пределах от плотности вероятности двумерной СВ равен единице:
(, ) 1
5.
Плотности распределения одномерных составляющих
∫∫
x y dx dy
. (1.3)
и Y
могут быть найдены по формулам:
(, ) () ()
xydy f x f x
∫
(, ) () ()
xydx f y f y
∫
1
2
x
y
; (1.4а)
. (1.4б)
Замечание. Решение обратной задачи (восстановить закон распределения системы по известным законам распределения составляющих
системы) в общем случае невозможно.
13
Пример 1.4
X
x
A
F
Двумерная случайная величина (,)
деления вероятностей
fxy
(, )
(1 )(1 )
(, )
Найти: 1)
; 2)
xy
; 3)
Y задана плотностью распре-
A
22
{1, 1}PX Y
.
y
; 4)
Решение
1. Постоянную A найдем по условию нормировки (1.3):
Следовательно,
∫∫
(1 )(1 )
A
∫∫
arctg( ) arctg( ) 1;Ax y
1
A
2
A
22
xy
dx dy
dx dy
22
(1 ) (1 )
xy
2
1.A
.
1;
1;
2. Используя формулу (1.2), находим
()fx
1
и
()fy
.
2
y
х
⎛⎞
1
(, )
Fx y
3.
{1,1}(1,1)
PX Y F
1111
⎛⎞⎛⎞
arctg( ) arctg( )
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎜⎟
∫∫
222
⎜⎟
⎝⎠
xy
11119
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
du dv
(1 ) (1 )
uv
.
22
.
42 42 16
14
4. По формулам (1.4) получаем:
X
X
X
X
X
F
( ) arctg( )
fx y
1
11
∫
22 222
() ... .
fy
2
∫
dy
(1 )(1 ) (1 )
xy x
11
22 2
(1 ) (1 )xx
11
22 2 2
⎛⎞
⎜⎟
22
⎝⎠
;
dx
(1 )(1 ) (1 )
xy y
1.4. Зависимость и независимость двух СВ
Зная законы распределения СВ X и Y , входящих в систему (,)
можно найти закон распределения системы только в случае, когда слу-
чайные величины
и Y независимы.
С понятием независимости случайных величин мы уже встречались: две СВ называются независимыми, если закон распределения
каждой из них не зависит от того, какие значения принимает
другая. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Общее определение независимости СВ: случайные величины
и
Y называются независимыми, если независимыми являются события
{}
x
{}Yy
и
для любых действительных x и y. В противном
случае случайные величины называются зависимыми.
Y ,
Условия независимости случайных величин
Теорема 1.1.
Для того чтобы случайные величины X и Y были не-
зависимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения
(,)
системы
Y
была равна произведению функций распределения со-
ставляющих:
(, ) () ()
xy F xF y
12
15
.
Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием независимо-
X
X
f
X
X
X
X
X
p
x
p
x
p
сти двух непрерывных случайных величин
(,)
му
Y
, является равенство
(, ) () ()
xy f xf y
12
и Y , образующих систе-
.
Теорема 1.3. Необходимым и достаточным условием независимо-
сти двух дискретных случайных величин
(,)
Y , является равенство
{ , } { } { }, 1, ..., ; 1, ..., .
PX x Y y PX x PY y i n j m
ij i j
и Y , образующих систему
1.5. Условные законы распределения
(,)
Если СВ X и Y , образующие систему
собой, то для характеристики их зависимости вводится понятие
условный закон распределения случайных величин.
Условным законом распределения случайной величины, входящей
(,)
Y
в систему
, называется закон распределения, найденный при
условии, что другая случайная величина приняла определенное значение
(или попала в какой-то интервал).
(,)
Пусть
{, }
PX x Y y, 1, ..., ;in 1, ...,jm . В соответствии с опре-
ij i j
Y
– дискретная двумерная СВ, и
делением условных вероятностей событий (напомним, что
(/) ( )/()PB A PAB PA ) условная вероятность того, что случайная
величина
Y примет значение
y при условии
j
равенством
Y
, зависимы между
Xx
, определяется
i
(, )
PX x Y y
(/) ,
PY y X x
ji
ij
()
PX x
i
Это равенство можно записать короче:
m
p
i
∑
j
.
ij
1
16
1, ..., ; 1, ...,injm.
(/)
py xp
ji
ij
i
, где
Аналогично условная вероятность того, что случайная величина X
x
j
p
p
p
X
p
X
X
x
p
p
примет значение
при условии
i
(/)
PX x Y y
ij
Yy , определяется равенством
j
(, )
PX x Y y
ij
()
PY y
(1.5)
j
при 1, ..., ; 1, ..., .injm
Равенство (1.5) также можно записать короче:
(/ ),
Совокупность вероятностей
xy 2( / ), ..., ( / )
1
j
(/ )
px yp
ij
xy pxy
jnj
ij
.
y
представляет собой условный закон распределения случайной величины
при условии
Yy . Сумма условных вероятностей (/ )
j
xy
ij
равна 1. Действительно
nnn
(/ ) 1
px y p
∑∑∑
ij ij
111
iii
p
pp p
1
ij
yy y
jj j
p
y
j
.
Пример 1.5
Задана таблица распределения двумерной ДСВ.
/XY
1 2 3
0,1 0,12 0,08 0,40
0,2 0,16 0,10 0,14
Найти: 1) безусловные законы распределения СВ
ный закон распределения СВ
при 2Y .
и Y ; 2) услов-
Решение
1. Безусловные законы распределения в связи с тем, что
m
p
i
∑
j
и
ij
1
n
p
yij
j
, принимают следующий вид.
∑
1
i
17
X
p
p
X
X
X
X
X
X
f
X
X
f
0,1 0,2
0,60 0,40
Y
2. Условный закон распределения СВ
мулы (1.5) вычислим следующим образом:
1 2 3
0,28 0,18 0,54
при 2Y с учетом фор-
(0,1/2)
PX Y
0,08 4
;
0,18 9
(0,2/2)
PX Y
0,10 5
.
0,18 9
Таким образом, условный закон распределения случайной величины
при 2Y принимает следующий вид.
2Yp
Можем проверить, что
2
∑
i
1
0,1 0,2
4
9
1
p
. Очевидно несовпадение условного
i
5
9
и безусловного законов распределения случайной величины
довательно, случайные величины
(,)
Рассмотрим теперь
(, )
ностью
xy
, причем
Y
()fx
и
1
и Y зависимы.
– двумерную непрерывную СВ с плот-
()fy
– плотности соответственно СВ
2
и Y .
Плотность вероятности условного распределения (или условная
плотность) случайной величины
Y при условии
x
определяется
равенством
. Сле-
(, ) (, )
() 0fx
где
1
.
(/)
fyx
fxy fxy
()
fx
1
18
∫
xydy
(, )
, (1.6а)
Аналогично определяется условная плотность распределения слу-
X
f
f
X
x
D
D
чайной величины
при условии Yy :
fxy fxy
fx y
(/)
(, ) (, )
fy
()
2
∫
(, )
xydx
, (1.6б)
где
() 0fy
2
.
В результате можно записать
(, ) () ( / ) ( ) ( / )
xy f xf y x f y f x y
12
,
т. е. совместная плотность распределения системы случайных величин равна произведению плотности одной составляющей на условную
плотность другой составляющей при заданном значении первой.
Это равенство называют теоремой (правилом) умножения плотностей распределений.
Пример 1.6
(,)
Двумерная НСВ
Y
задана плотностью совместного распреде-
ления (рис. 1.9)
– область на плоскости
где
(, )
fxy
,(,) ,
Cxy x y D
⎧
⎨
0, ( , ) ,
⎩
,
yx
⎧
⎪
2,
y
⎨
⎪
0.
x
⎩
yD
Рис. 1.9. Область
для примера 1.6
19
Найти безусловное и условное распределение составляющей X
X
f
X
x
x
f
X
f
и убедиться, что случайные величины
и Y зависимы.
Решение
Сначала найдем коэффициент C из условия нормировки (1.3):
2
(, )
∫∫ ∫∫ ∫
xy dxdy Cxydydx C x dx
02 0
x
22
⎛⎞
2
y
⎜⎟
⎜⎟
2
⎜⎟
x
⎝⎠
0
2
Поэтому
0
Cx dxCx C
∫
2
1
C
.
24
⎛⎞⎛ ⎞
xx
22.
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
28
⎝⎠⎝ ⎠
2
2
Далее находим безусловное распределение составляющей
по формуле (1.4а):
() (, )
fx fxydy xydy x
1
∫∫
14
(4 )
xx
11
⎛⎞
⎜⎟
222
⎝⎠
3
x
2
.
2
2
y
44
1
Следовательно
() ( 4)
xxx
1
3
при (2,0)x .
4
Выполним проверку условия нормировки (1.3):
fxdх xxdx x
() ( 4) 2 (4 8) 1.
1
∫∫
0
11 14
32
444 44
2
4
⎛⎞
x
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
0
2
Для нахождения условного распределения составляющей
(/)
xy
, воспользуемся формулой (1.6а), предварительно найдя
20
, т. е.
()fy
2
:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]