Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Системы случайных величин. Функции случайных величин. Учебное пособие
.pdf
Неравенство Чебышева можно записать в другой форме:
X
M
p
X
X
M
M
||1
Формула (3.1) устанавливает нижнюю границу вероятности события, а формула (3.2) – верхнюю.
Неравенство Чебышева справедливо для любых СВ.
В частности, для СВ
с математическим ожиданием
оно принимает вид
Для частости
дом из которых оно может произойти с вероятностью
(/)
Mm n a
Чебышева (3.2) имеет вид
Оценку вероятности попадания СВ
неравенство Маркова.
PX MX
m , имеющей биномиальное распределение
Xanp
||1
Pmnp
/mn
события в n независимых испытаниях, в каж-
, дисперсия которых
mpq
⎧⎫
Pp
⎨⎬
n
⎩⎭
DX
. (3.2)
2
и дисперсией
npq
.
2
(/) /Dm n pq n
1
.
2
n
в промежуток
DX npq
, неравенство
[, )
дает
,
Теорема 3.2 (неравенство Маркова). Для любой неотрицательной
СВ
неравенство
, имеющей математическое ожидание
{}
PX
X и
X
.
0
, справедливо
3.2. Теорема Чебышева
Основное утверждение ЗБЧ содержится в теореме Чебышева. В ней
и других теоремах ЗБЧ используется понятие
величин по вероятности.
81
сходимость случайных
, , ..., , ...
A
X
M
X
Случайные величины
к величине
(случайной или неслучайной), если для любого
ятность события
||
XX X
12
XA
n
при
сходятся по вероятности
n
n
стремится к единице.
0
веро-
Следует отметить, что сходимость по вероятности требует, чтобы
||
неравенство
последовательности, а при
тельности должны попасть в
XA
n
выполнялось для подавляющего числа членов
n
практически все члены последова-
-окрестность A.
Теорема 3.3 (ЗБЧ в форме П. Л. Чебышева, 1886 г.). Если слу-
, , ..., , ...
чайные величины
число
0C
, что
XX X
12
DX C i
lim 1
x
, 1, 2, ...
i
nn
⎧⎫
111
⎪⎪
PX MX
⎨⎬
∑∑
nn
⎪⎪
ii
11
⎩⎭
независимы и существует такое
n
, то для любого
ii
2
0
,
т. е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:
nn
11
∑∑
nn
11
ii
Следствие.
Если случайные величины
мы и одинаково распределены
любого
0
P
ii
n
Xa
i
MX
.
, , ..., , ...
XX X
12
,
DX i
2
i
независи-
n
, 1, 2, ...
, то для
⎧
n
1
⎪⎪
lim 1,
PXa
⎨⎬
x
n
⎪⎪
⎩
∑
i
i
1
⎫
⎭
т. е. среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию:
n
1
∑
n
1
i
i
P
n
82
a
.
Следствие теоремы Чебышева обосновывает принцип среднего
X
M
арифметического СВ
пусть произведено
X
, постоянно используемый на практике. Так,
i
независимых измерений некоторой величины,
n
истинное значение которой a неизвестно. Результат каждого измерения есть СВ
Согласно следствию в качестве приближенного значения величины
X
.
i
a
можно взять среднее арифметическое результатов измерений:
n
1
aXX
∑
n
1
i
.
i
Равенство тем точнее, чем больше n.
На теореме Чебышева основан также широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого в том, что о качестве большого количества однородного материала можно судить по небольшой
его пробе.
Теорема Чебышева подтверждает связь между случайностью
и необходимостью: среднее значение случайной величины
n
1
X
n
∑
i
i
1
практически не отличается от неслучайной величины
n
1
X
∑
n
i
.
i
1
Пример 3.1
Глубина моря измеряется прибором, не имеющим систематической
ошибки. Среднее квадратическое отклонение измерений не превышает
15 м. Сколько нужно сделать независимых измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений отличается от
a (глубины моря) по модулю
меньше чем на 5 м?
83
Решение
M
A
A
Обозначим через
X
результаты n независимых измерений глуби-
i
ны моря. Нужно найти число n , которое удовлетворяет неравенству
⎧
где
nn
11
⎪⎪
PX MX
⎨⎬
nn
⎪⎪
⎩
Xa
, что означает отсутствие при измерениях систематической
i
∑∑
ii
ii
11
⎫
⎭
C
1
,
2
n
ошибки (т. е. измерения выполняются с одинаковой точностью).
По условию
Получаем
0,1n
5
PXa
9
255C
;
⎧
1225
⎪⎪
⎨⎬
∑
nn
⎪⎪
i
⎩
, т. е.
, так как
n
i
1
⎫
51 0,9
⎭
90n
. Измерение нужно проводить не ме-
25
DX
15 м. Отсюда
.
нее 90 раз.
3.3. Теорема Бернулли
Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она теоретически обосновывает
свойство устойчивости относительной частоты.
Теорема 3.4 (ЗБЧ в форме Я. Бернулли, 1713 г.). Если вероят-
ность появления события
наступления этого события при
то для любого числа
n
в одном испытании равна p, число
независимых испытаниях равно
n
0
имеет место равенство
⎧
n
⎪
A
Pp
lim 1
⎨⎬
n
⎪
⎩
84
⎫
,
⎭
n
,
т. е. относительная частота
p
A
p
p
A
p
к вероятности
события A:
*
события A сходится по вероятности
()PA
*
() ()
PA PA
P
n
.
Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты. Например, за вероятность рождения девочки можно
взять относительную частоту этого события, которая, согласно статистическим данным, приближенно равна 0,485.
Неравенство Чебышева для случайных величин
n
nX
∑
i
i
1
принимает вид
⎧
n
⎪
A
Pp
⎨⎬
n
⎪
⎩
⎫
⎭
q
1
2
n
.
Обобщением теоремы Бернулли на случай, когда вероятности
появления события
в каждом из n испытаний различны, является
теорема Пуассона:
n
1
*
()
PA p
P
n
,
∑
i
n
i
1
i
где
– вероятность события A в i-м испытании.
i
Пример 3.2
Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0,2.
Оценить вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц,
частость появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше чем 0,05.
85
Решение
M
X
Воспользуемся формулой неравенства Чебышева (3.2). В данном
случае
0, 2p ; 0,8q ;
400n
;
0,005
. Имеем
т. е.
⎧
n
⎪
A
P
⎨⎬
⎪
⎩
0,84p
0, 2 0,05 1 1 0, 84
n
.
⎫
⎡⎤
pq
⎢⎥
⎣⎦
⎭
22
n
0, 2 0,8
400 0, 05
,
3.4. Центральная предельная теорема
Центральная предельная теорема (ЦПТ) представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между
законом распределения суммы СВ и его предельной формой – нормальным законом распределения.
Сформулируем ЦПТ для случая, когда члены суммы имеют одинаковое распределение (именно эта теорема чаще других используется на
практике). Так, в математической статистике выборочные
величины имеют одинаковые распределения, так как получены из одной и той же генеральной совокупности.
, , ...,
Теорема 3.5. Пусть СВ
XX X
12
n
независимы, одинаково
распределены, имеют конечные математическое ожидание
2
и дисперсию
DX
i
1, 2, ...,in
,
.
Тогда функция распределения центрированной и нормированной
суммы этих случайных величин стремится при
n
пределения стандартной нормальной случайной величины:
случайные
Xa
i
к функции рас-
nn
XM X
∑∑
11
ii
Z
n
⎛⎞
⎜⎟
ii
⎜⎟
⎝⎠
n
⎛⎞
DX
⎜⎟
∑
i
⎜⎟
1
i
⎝⎠
86
∑
i
n
na
i
1
n
;
x
F
Z
X
X
D
M
M
D
x
x
x
xPZ x x dt
() { } Ф() e
Zn
n
x
1
∫
2
2
t
2
.
Из теоремы 3.5 следует, что при достаточно большом
приближенно распределена по нормальному закону
Это означает, что сумма
SXX X
nn
делена по нормальному закону
n
n
случайная величина
∑
i
12
Snan . Говорят, что при
n
асимптотически нормальна.
i
1
...
Norm ,
приближенно распре-
Z
n
сумма
n
Norm(0, 1)
Напомним:
случайная величина
ванной (т. е. стандартной), если
если СВ
X
при
i
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
nn
где
0
⎛⎞
⎜⎟
∑∑
⎜⎟
ii
⎝⎠
() e
() e
1
2
x
1
∫
2
0
XDX n
ii
11
t
x
∫
2
t
2
dt
называется центрированной и нормиро-
0MX
, а 1
X ;
...
Xa
i
,
DX
;
;
() ()
1, 2, ...,in
n
Xaa ana
∑
1
i
2
2
– функция Лапласа, и
dt
независимы,
i
...
22 2 2
– нормированная функция Лапласа.
2
, то:
i
1
2
x
0
Теорема 3.5 позволяет при больших n вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами случайных величин. Так, пе-
n
SX
рейдя от СВ
ni
к стандартной СВ, получим
∑
1
i
n
.
,
87
⎧⎫
M
p
P
x
p
P
n
⎧⎫
⎪⎪⎪ ⎪
PXP
⎨⎬⎨ ⎬
∑
⎪⎪
⎩⎭
i
i
1
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
na na
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
nn
⎝⎠⎝ ⎠
n
Xna
∑
na na
i
i
1
nnn
или
n
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
PS
⎛⎞⎛ ⎞
SMS
nn
DS DS
nn
.
Эти формулы часто используются на практике для определения вероятности того, что сумма нескольких СВ (для
10)n
) окажется в задан-
ных пределах.
3.5. Локальная и интегральная теоремы
Муавра – Лапласа
Следствиями ЦПТ являются рассмотренные ранее [6] локальная
и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. Вспомним их формулировки.
Теорема 3.6 (локальная теорема Муавра – Лапласа). Если веро-
ятность
и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний доста-
точно велико, то вероятность
ближенной формуле
наступления события A в каждом испытании постоянна
()
m
может быть вычислена по при-
n
2
() e
Pm
n
11
npq
2
2
, где
x
mnp
npq
.
Теорема 3.7 (интегральная теорема Муавра – Лапласа). Если
вероятность
на и отлична от нуля и единицы, то вероятность
наступления события A в каждом испытании постоян-
()
kmk
12
n
быть найдена по приближенной формуле
88
может
2
x
p
x
x
2
Pk m k dx
()e
12
n
1
2
2
∫
x
1
Ф ()Ф () Ф()Ф()
02 01 2 1
xxx.
Равенства тем точнее, чем больше n .
Пример 3.3
Машинистке требуется напечатать текст, содержащий 8000 слов,
состоящих из четырех и более букв. Вероятность сделать ошибку
в любом из этих слов равна 0,01. Какова вероятность, что при печатании будет сделано не более 90 ошибок?
Решение
Применим формулу
∑
k
m
P
nk
0
⎛⎞
mnp
Ф
⎜⎟
,
⎜⎟
⎝⎠
. Так как n = 8000;
npq
= 0,01; q= 0,99; m= 90, то
11 1
Так как
npq
8000 0, 01 0,99 79,2
(1,12) 0,8686
mnp
npq
, то
10
8,9
{90} 0,869
Pn P
Ank
1,12
0,112
;
.
90
.
k
∑
,
0
Упражнения
1. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что:
1) при бросании монеты 500 раз число выпадений герба будет за-
ключено между 200 и 300; 2) при бросании 10 игральных костей сумма
очков отклонится от математического ожидания меньше чем на 8.
89
2. Дисперсия каждой из данных независимых случайных величин
не превышает 5. Найти число этих величин, при котором вероятность
отклонения их средней арифметической от средней арифметической
их математического ожидания менее чем на 0,1 превысит 0,9.
3. Оценить вероятность того, что при бросании монеты 500 раз частость появления герба отклонится от вероятности появления герба
при одном бросании
4. Стрелок попадает при выстреле в мишень в десятку с вероятностью 0,5; в девятку – 0,3; в восьмерку – 0,1; в семерку – 0,1. Стрелок
сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал не менее 940 очков?
5. Приживаются в среднем 70 % посаженных саженцев. Сколько
нужно посадить саженцев, чтобы с вероятностью не менее 0,9
дать, что отклонение числа посаженных саженцев от их математического ожидания не превышало по модулю 40? Решите задачу с помощью неравенства Чебышева.
по модулю менее чем на 0,1.
ожи-
Выводы по теме 3
Ранее мы говорили [6], что теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные
теоремы теории вероятностей – это общее название ряда теорем,
указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей
в результате действия большого числа случайных факторов. Можно
сказать, что они устанавливают зависимость между случайностью
и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в мас
совых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.
Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы,
одна из которых получила название закона больших чисел, а другая –
центральной предельной теоремы.
Закон больших чисел состоит из нескольких теорем (неравенство
Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли и др.), в которых доказывается приближение средних характеристик некоторых случайных величин независимо от их закона распределения к определенным предельным постоянным значениям, но только при соблюдении определенных
условий.
-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]