Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
X 1 2 3 4 5
Y −3 −1 2 −4 0
Вариант 25
1. Брошены четыре монеты. Ïóñòü событиеAсостоит â òîì, ÷òî ïî
крайней ìåðå íà äâóõ монетàõ выпал ãåðá, à событиеB â òîì, ÷òî õîòÿ
áû íà äâóõ монетàõ выпала ðåøêà. Описать событияAB,AB,AB.
2. Â шахматном матче участвуют 4 ïàðû шахматистов. Âåðîятность
ничьей â êаждой партии равна 1/4. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî â матче
áóäåò õîòÿ áû îäíà ничья.
3. Íà отрезкå единичной длины íàóäà÷ó ïîñòавлены äâå точки, â ðå-
çóëüòàòå ÷åãî ýòîò отрезок îêазываетсÿ разделенным íà òðè части. Îïðå-
делить âåðîятность òîãî, ÷òî длина первых äâóõ частей íå превосõîäèò
3/5
, длина æå последней части больше
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
1/2
.
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
A
2
-
A
1
A
A
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ элементà
-
3
4
Akравна 0,1. Предполагàåòñÿ,
÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ независимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîÿò-
ность òîãî, ÷òî öåïü íå áóäåò пропуñêàòü òîê.
5. Íà сборку поступают äåòàëè ñ четырех автоматов. Первый è âòî-
ðîé автоматы äàþò ïî 40 %, à третий è четвертый ïî 10 % âñåõ äåòàëåé,
íåîáõîдимых äëÿ сборки. Áðàê â ïðîдукции первого è второго автоматà
ñîñòавляет 1 %, à третьего è четвертого 4 %. Äåòàëü, изготовленная
автоматом, îêазалась áðàêованной. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî îíà èç-
готовлена íà первом автомате?
6. Âåðîятность îòêàçà сервера ïðè êаждом èç независимых ïîäêëþ-
чений ñ помощью ìîäåìà равна 0,2. Попытки ïîдключения произвоäÿòñÿ
äî óñòановления связи. Найти ðÿä распределения, математическîå îæèäà-
íèå è дисперсию числа произведенных попыток ïîдключения, åñëè число
попыток ограничено шестью. Построить график функции распределения.
221
7. Çàêîí Эрлангà ñ плотностью распределения
f(x) =
Ax2e
−αx
ïðè
x ≥ 0;
0
ïðè
x < 0
описывает время îжидания ïðèõîäà òðåõ вызовов â ïóассоновскîì потокå.
Найти êоэффициентA, математическîå îжидание è дисперсию. (Ðåêîìåí-
äóåòñÿ использовать òаблицы определенных интегралов).
8. Íà 8 êарточкàõ написаны цифры îò 1 äî 9. Найти совместное распре-
деление числа, написанного íà выбранной íàóäà÷ó êарточкå, è индикатора
òîãî, ÷òî ýòî число больше òðåõ. Найти êоэффициент êорреляции между
íèìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
êîíñòàíòócè
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
, åñëè
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x2, è0èíà÷å. Найти
X, Y
çàäà-
10. Количество âîäû, ðàñõîäóåìîå жителями îäíîé квартиры â ñóò-
êè,8 имеет ïîêазательное распределение ñî средним çíàчением 100 литров.
Найти, äëÿ êàêîãî êоличества квартир äîñòаточно 100 000 литров âîäû ñ
âåðîятностью 0,94.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 0
ïî первому моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
θ
3
1
−x/θ
e
3
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
4,38 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,08
4,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,93
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà óровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,23 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,10
222
1,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 0 2 3 4 6
Y −3 −1 2 −4 4
Вариант 26
1. Íà отрезкå
пространство элементарных èñõîäîâΩè описать событиеA, îçíàчающее,
÷òî вторая òî÷êà áëèæå ê правому êîíöó отрезкà
событиеB, îçíàчающее, ÷òî расстоÿíèå между двумя òî÷êàìè меньше ïî-
ловины длины отрезкà, à òàêæå событиеAB.
2. Òðîå æенщин è òðîå мужчин садятсÿ случайным образом çà êðóãëûé
ñòîë. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî мужчины è æенщины çà столом áóäóò
чередоватьсÿ.
3. Случайная òî÷êàAíàóäà÷ó выбираетсÿ â ïðямоугольникå ñî сторо-
íàìè1è2. найти âåðîятность òîãî, ÷òî расстоÿíèå îò À äî áëèæайшей
стороны ïðямоугольникà íå превосõîäèò
4. Âåðîятность óñòановления соединения ñ сервером ïðè êаждой попыт-
êå равна 0,9. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî соединение áóäåò óñòановлено íå
раньше четвертой попытки.
5. Ñòóäåíò выучил ê çà÷åòó толькî 10 вопросов èç 30. Äëÿ получения
çà÷åòà äîñòаточно ответить íà äâà èç четырех разных вопросов. Êàêîâà
âåðîятность òîãî, ÷òî çà÷åò áóäåò получен? Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî
ñòóäåíò ответил íå менее ÷åì íà òðè вопроса, åñëè известно, ÷òî îí получил
çà÷åò?
6. Пользователь êомпьютера забыл пароль è перебирает íàóäà÷ó 5 âîç-
ìîæíûõ. После четырех íåóäà÷íûõ попыток êомпьютер блокируåòñÿ. Íàé-
òè ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа ïîïû-
òîê. Построить график функции распределения.
7. Случайная величинаξимеет ñòандартное ëîãарифмически нормаль-
íîå распределение, åñëè
пределение. Найти плотность распределения è математическîå îжидание
случайной величиныξ. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî
[0, 1]
íàóäà÷ó ñòавятсÿ äâå точки. Построить ïîäõîдящее
[0, 1]
, ÷åì ê левому, è
1/3
.
ξ = eη, ãäåηимеет ñòандартное нормальное ðàñ-
ξ > 1
.
223
8. Â äâóõ èç четырех êомнат температура 25 градуñîâ, à влажность 80
процентов. Â третьей êомнате температура 20 градуñîâ, à влажность 90
процентов. Â четвертой êомнате температура 25 градуñîâ, à влажность 90
процентов. Найти совместное распределение температуры è влажности â
выбранной íàóäà÷ó êомнате. Найти êоэффициент êорреляции между òåì-
пературой è влажностью.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
êîíñòàíòócè
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
, åñëè
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤√x
, è0èíà÷å. Найти
X, Y
çàäà-
10. Участник лотереи бросает íåñêîëüêî шаров, êаждый èç êоторых
ìîæåò попасть â ëóçû ñ номерами îò 1 äî 6. Участник получает ценный
ïðèç, åñëè сумма î÷êîâ меньше 12. Найти, ïðè êàêîì числе шаров âåðîÿò-
ность получения ценного приза áóäåò меньше 0,01.
11. Äëÿ выборки
распределения
(X1, X2, . . . , Xn)
f(x)
найти оценки параметра
èç распределения ñ плотностью
θ > 0
ïî третьему момен-
òó è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность
полученных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
3√x
e
3
2θ
−x√x/θ
3
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
5,61 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64
-2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,26
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,64 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,43
1,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X −1 2 3 4 6
Y −3 −1 2 −4 4
224
Вариант 27
1. Èç ìíîæества супружеских ïàð выбираетсÿ îäíà ïàðà. Событие
{
Ìóæó больше 25 ëåò}, событие
C = {
Æåíå больше 25 ëåò}.
Выяснить смысл событий:
B = {
Ìóæ ñòàðøå æåíû}, событие
ABC,A\AB,ABC
.
A =
2. Собрались вместе òðè незнакîìûõ человекà. Найти âåðîятность, ÷òî
õîòÿ áû ó äâóõ èç íèõ совпадают äíè ðîждения.
3. Íà отрезкå
AB
íàóäà÷ó выбираютсÿ äâå точкиMèN. Êàêîâà âåðî-
ятность òîãî, ÷òî òî÷êàMîêàæåòñÿ ïî крайней ìåðå вдвое áëèæå ê òî÷êå
A
, ÷åì ê òî÷êåN?
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
A
-
A
1
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ элементà
òîâ
Ak ïî 0,04. Предполагàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçà-
2
A
3
-
A
4
A1равна 0,1, îñòальных элемен-
висимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü
òîê.
5. Прибор состоит èç четырех независимо работающих áëîêîâ, âåðî-
ятности îòêàçà êоторых çà смену равны соответственно 0,01, 0,02, 0,03 è
0,04. Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ прибора ïðè îòêàçå îдного èç áëîêîâ
равна 0,8; ïðè îòêàçå более ÷åì îдного áëîêà 1. Определить âåðîятность
âûõîäà прибора èç ñòðîÿ çà смену. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îòêàçàë
îäèí áëîê, åñëè известно, ÷òî прибор вышел èç ñòðîÿ.
6. Ïðè èãðå ñ автоматом â случае выигрыша игрок получает 10 ðóá-
ëåé. Äëÿ участия â èãðå игрок бросает â автомат5рублей. Найти âåðîÿò-
ность выигрыша, åñëè математическîå îжидание выигрыша равно ìèíóñ 2
рублям. ( случае проигрыша сумма выигрыша ñ÷èòàåòñÿ отрицательным
числом, равным сумме проигрыша, взятой ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿.) Найти ðÿä
распределения è дисперсию суммы выигрыша. Построить график ôóíê-
öèè распределения.
7. Плотность распределения âåðîятностей случайной величиныξèìå-
åò âèä
f(x) = Ae
−|x−a|
(распределение Лапласа). Найти êоэффициентA,
вычислить математическîå îжидание è ñòандартное отклонение. Найти âå-
ðîятность òîãî, ÷òî случайная величинаξпримет çíàчение, большее2a.
8. Â òðåõ èç четырех àóдиторий ïî 20 ñòóдентов è уровень øóìà 60
децибелл, à â четвертой àóдитории íåò ñòóдентов è уровень øóìà 20 äå-
225
цибелл. Найти совместное распределение числа ñòóдентов è уровня øóìà
â выбранной íàóäà÷ó àóдитории. Найти êоэффициент êорреляции между
числом ñòóдентов è уровнем øóìà.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
êîíñòàíòócè
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
, åñëè
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x3, è0èíà÷å. Найти
X, Y
çàäà-
10. Количество 10-êопеечных монет, íåîáõîдимое äëÿ âûäà÷è êаждой
ñäà÷è â êàññå, принимает çíàчения îò 0 äî 4 ñ равными âåðîятностÿìè.
 êàññå â íà÷àëå рабочего äíÿ íàõîäèòñÿ 2500 10-êопеечных монет. Íàé-
òè, äëÿ êàêîãî êоличества покупателей получение ñäà÷è ãарантировано ñ
âåðîятностью 0,8.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
2 < θ < 3
ïî первому момен-
òó è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность
полученных оценок. Плотность распределения равна
1
−(θ−1)/(θ−2)
f(x) =
θ−2
x
ïðè
x > 1;
0
ïðè
x ≤ 1.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
1,92 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,22
13,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13
-5,28 3,00 10,04
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,82 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,57
1,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 2 3 4 5
Y −9 −1 2 −4 4
226
Вариант 28
1. Брошены äâå игральные êîñòè. Ïóñòü событиеAсостоит â òîì, ÷òî
выпавшая сумма î÷êîâ нечетна, событиеB â òîì, ÷òî õîòÿ áû íà îäíîé
èç êостей выпала единица, событиеC â òîì, ÷òî õîòÿ áû íà îäíîé êîñòè
выпала двойкà. Описать события:
2. Номер лотерейного билетà состоит èç 8 öèôð. Êàêîâà âåðîятность
òîãî, ÷òî первые четыре цифры четные, à последние четыре нечетные?
3. Случайная òî÷êàAíàóäà÷ó выбираетсÿ â ïðямоугольникå ñî ñòî-
ронами1è2. найти âåðîятность òîãî, ÷òî расстоÿíèå îò À äî êаждой
диагонали ïðямоугольникà íå превосõîäèò
4. Интервал äâèæåíèÿ между автобуñàìè маршрутà À 5 минут,
маршрутà Á 6 минут, маршрутà Â 10 минут. Пассажир ïðèõîäèò íà
îñòановку â случайный момент времени. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî õîòÿ
áû îäèí автобуñ придет â течение 2 минут после ïðèõîäà пассажира?
5. Â девяти урнах ñîäåðæèòñÿ ïî 4 белых è 2 черных øàðà, à â îäíîé
óðíå 9 белых è 1 черный øàð. Êàêîâà âåðîятность, ÷òî èç óðíû, взятой íà-
óäà÷ó, áóäåò извлечен черный øàð? Найти âåðîятность, ÷òî øàð извлечен
èç óðíû ñ 9 белыми è 1 черным шаром, åñëè îí îêазалсÿ черным.
6. Прибор состоит èç четырех малонадежных элементов. Îòêàçû ýëå-
ментов çà íåêоторый периоä времени независимы, à èõ âåðîятности равны
соответственно 0,1; 0,1; 0,2; 0,2. Найти ðÿä распределения, математическîå
îжидание è дисперсию числа îòêазавших элементов. Построить график
функции распределения.
7. Òî÷êàMäâèæåòñÿ ïî îñè
ìåíò времени, равномерно распределенный íà отрезкå
ïîëîæåíèåξточкиM. Найти плотность распределения, математическîå
îжидание è ñòандартное отклонение случайной величиныξ.
8. Четыре поезда метро, óõîдящие ñ интервалом â 4 минуты, увезли ïî
200 пассажиров. Четыре поезда, óõîдящие ñ интервалом â 6 минут, увезли
ïî 300 пассажиров. Äâà поезда, óõîдящие ñ интервалом â 8 минут, увезли
ïî 100 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров è
интервала äâèæåíèÿ äëÿ выбранного íàóäà÷ó поезда. Найти êоэффициент
êорреляции.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
даетсÿ формуëîé
êîíñòàíòócè
10. Количество áðàêованных изделий â êоробкå имеет распределение
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
ABC,ABC,ABC
Ox
ïî çàêîíó
, åñëè
y ≥ 0,|x| + y ≤ 1
.
1/3
.
x = aet. Â случайный ìî-
[0; T ]
, наблюдаетсÿ
, è0èíà÷å. Найти
X, Y
çà-
227
Ïóассона ñ параметром 4. Найти ìàêсимальное число êоробок òàêîå, чтобы
âåðîятность найти â íèõ более 200 áðàêованных изделий áûëà меньше 0,04.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 4
ïî второму моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
(θ −2)x
−θ+1
ïðè
x > 1;
0
ïðè
x ≤ 1.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
14,29 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,93
5,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,09
8,47 6,79
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
1,19 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,62
0,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,33
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
X −1 2 3 6 7
Y −3 −1 2 −4 4
Вариант 29
1. Ìîæåò ëè сумма äâóõ событийAèBсовпадать ñ èõ произведением?
Привести соответствующие примеры.
2. Â áðèãàäå 4 рабочих. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî ïî крайней ìåðå
äâîå èç íèõ ðîдились â îäèí è òîò æå ìåñÿö? Ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîятности
ðîдитьсÿ â êаждый ìåñÿö îдинакîâû.
228
3. Случайная òî÷êàAíàóäà÷ó выбираетсÿ â ïðямоугольном треуголь-
íèêå ñ êàòåòàìè1è2. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî расстоÿíèå îò À äî
áëèæайшей стороны треугольникà íå превосõîäèò
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
1/3
.
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
A
4
-
A
1
A
A
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ элементà
ментов
Ak ïî 0,1. Предполагàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçà-
-
2
3
A2равна 0,01, îñòальных ýëå-
висимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü
òîê.
5. Òелеграфное сообщение состоит èç сигналов ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿. Èç-
вестно, ÷òî среди передаваемых сигналов ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿ встречаютсÿ â
отношении 11:10. Èç-çà помех èñêàæàåòñÿ â среднем 30 % сигналов ¾òî÷êà¿
è 20 % сигналов ¾òèðå¿, причем ¾òî÷êà¿ èñêàæàåòñÿ â ¾òèðå¿, à ¾òèðå¿ â
¾точку¿. Найти âåðîятность èñêàæåíèÿ сигнала. Определить âåðîятность
òîãî, ÷òî сигнал íå áûë èñêàæåí, åñëè известно, ÷òî приняли ¾точку¿.
6. Äâà игрокà играют â шахматы íà деньги. Известно, ÷òî â среднем
èç 10 партий òðè выигрывает первый игрок, òðè çàêанчиваютсÿ вничью, è
четыре выигрывает второй игрок. Â случае проигрыша первый игрок ïëà-
òèò второму 30 рублей. Ñêîëüêî îí äîëæåí получать â случае выигрыша,
чтобы математическîå îжидание åãî выигрыша равнялось íóëþ? Найти
ðÿä распределения è дисперсию суммы выигрыша (отрицательная сумма
выигрыша ýòî сумма проигрыша, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿). Построить
график функции распределения.
7. Случайная величинаξимеет плотность распределения
A
−(x−a)2/(2σ2)
f(x) =
σ√2π
e
ïðè
|x −a| > 2σ;
0
ïðè
|x −a| ≤ 2σ.
Найти нормирующую êîíñòàíòóA, вычислить математическîå îжидание.
Построить график плотности распределения ïðè
a = σ = 1
.
8. Â ïîдъезде 5 îäíîêомнатных квартир площадью ïî 40 êâ. ì., 10
двухкомнатных квартир ïî 60 êâ. ì. è 5 трехкомнатных квартир ïî 70
êâ. ì. Äëÿ выбранной íàóäà÷ó квартиры найти совместное распределение
числа êомнат è площади. Найти êоэффициент êорреляции между íèìè.
229
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
âèä:
f(x, y) = c
ρ(X, Y )
.
, åñëè
x, y ≥ 0,x + 3y ≤ 3
, è0èíà÷å. Найти êîíñòàíòócè
X, Y
имеет
10. Суммарное время работы машины складываетсÿ èç интервалов âðå-
ìåíè, êаждый èç êоторых измерÿåòñÿ ñî ñòандартным отклонением â 1 ìè-
íóòó. Найти ìàêсимальное число интервалов времени òàêîå, чтобы факти-
÷åñêîå время работы îòличалось îò измеренного íå больше, ÷åì íà 2 ÷àñà,
ñ âåðîятностью 0,95.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 0
ïî первому моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
θ
3
x
−x/θ
e
6
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
22,95 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58
-1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77
-15,16
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà óровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
1,94 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,96
1,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,48
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 2 3 4 5
Y −3 −1 −10 −4 4
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]