Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие-1
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Белгородский государственный технологический университет
им. В. Г. Шухова
М. В. Шевцова, П. С. Кабалянц
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия
для студентов специальности 10.05.03 – Информационная безопасность
автоматизированных систем специализации «Обеспечение информационной
безопасности распределенных информационных систем»
Белгород
2019
УДК 519.2
ББК 22.17
Ш37
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор Белгородского
государственного национального исследовательского университета
(НИИ «БелГУ») Г. В. Аверин
Кандидат технических наук, доцент Белгородского государственного
технологического университета им. В.Г. Шухова Г. Л. Окунева
Шевцова, М. В.
Ш37 Теория вероятностей и математическая статистика: учебное
пособие / М. В. Шевцова, П. С. Кабалянц. — Белгород:
Изд-во БГТУ, 2019. — 84 с.
В пособии изложены основные теоретические сведения по теории вероятностей и
математической статистике. Все понятия иллюстрируются на примерах. Каждая глава
снабжена контрольными вопросами, что может быть полезно при самостоятельной работе
студентов.
Учебное пособие предназначено для студентов специальности 10.05.03 –
Информационная безопасность автоматизированных систем специализации «Обеспечение
информационной безопасности распределенных информационных систем», а также может
быть полезным для студентов направления подготовки 09.03.04 – Программная инженерия
и 09.03.01 – Информатика и вычислительная техника.
Данное издание публикуется в авторской редакции.
УДК 519.2
ББК 22.17
© Белгородский государственный
технологический университет
(БГТУ) им. В. Г. Шухова, 2019
3
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 6
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ. .................... 7
1.1. Понятие о случайном событии ............................................................ 7
1.1.1. Классическое определение вероятности ................................... 8
1.1.2. Относительная частота. Статистическое определение
вероятности ..................................................................................................... 9
1.1.3. Геометрическая вероятность .................................................... 10
1.1.4. Основные формулы комбинаторики ........................................ 11
1.2. Свойства вероятности ........................................................................ 13
1.2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий ..... 13
1.2.2. Теорема умножения вероятностей ........................................... 14
1.2.3. Теорема сложения вероятностей совместных событий ......... 15
1.2.4. Формула полной вероятности .................................................. 16
1.2.5. Формула Байеса ......................................................................... 16
Вопросы для контроля .................................................................................. 17
2. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ..... 18
2.1. Случайные величины ......................................................................... 18
2.1.1. Понятие случайной величины .................................................. 18
2.1.2. Закон распределения дискретной случайной величины ........ 18
2.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины ....... 19
2.2.1. Понятие математического ожидания ....................................... 19
2.2.2. Свойства математического ожидания ..................................... 20
2.3. Дисперсия дискретной случайной величины .................................. 21
2.3.1. Понятие дисперсии .................................................................... 21
2.3.2. Свойства дисперсии .................................................................. 22
2.3.3. Среднее квадратическое отклонение ....................................... 24
2.3.4. Понятие о моментах распределения ........................................ 25
4
2.4. Непрерывные случайные величины ................................................. 26
2.4.1. Функция распределения ............................................................ 26
2.4.2. Плотность распределения ......................................................... 27
2.4.3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной
случайной величины ..................................................................................... 28
2.5. Некоторые законы распределения случайных величин .................. 30
2.5.1. Биномиальное распределение .................................................. 30
2.5.2. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа ..... 32
2.5.3. Распределение Пуассона ........................................................... 33
2.5.4. Равномерное распределение ..................................................... 34
2.5.5. Закон нормального распределения. Центральная предельная
теорема ........................................................................................................... 35
2.6. Закон больших чисел ......................................................................... 37
2.6.1. Неравенство Чебышева ............................................................. 37
2.6.2. Закон больших чисел Чебышева .............................................. 38
Вопросы для контроля .................................................................................. 39
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ .......................... 40
3.1. Генеральная совокупность и выборка .............................................. 40
3.1.1. Предварительная обработка данных ........................................ 41
3.1.2. Выборочное распределение ...................................................... 42
3.1.3. Примеры обработки выборочных данных............................... 43
3.1.4. Распределения Пирсона, Стьюдента и Фишера ...................... 51
3.2. Точечное оценивание характеристик генеральной совокупности . 53
3.2.1. Выборочные оценки математического ожидания и дисперсии
генеральной совокупности. Свойства точечных оценок ........................... 53
3.2.2. Оценка параметров генеральной совокупности. Метод
моментов. ....................................................................................................... 56
5
3.3. Интервальное оценивание параметров генеральной
совокупности ................................................................................................. 59
3.3.1. Надежность. Доверительные интервалы ................................. 59
3.3.2. Доверительный интервал для математического ожидания
нормально распределенной генеральной совокупности при
известном σ .................................................................................................... 60
3.3.3. Доверительный интервал для математического ожидания
нормально распределенной генеральной совокупности при
неизвестном σ ................................................................................................ 62
3.3.4. Доверительный интервал для дисперсии нормально
распределенной генеральной совокупности............................................... 64
3.4. Статистическая проверка гипотез ..................................................... 65
3.4.1. Проверка гипотезы о равенстве средних и дисперсий двух
нормально распределенных генеральных совокупностей ........................ 66
3.4.2. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной
совокупности ................................................................................................. 68
3.5. Элементы корреляционного и регрессионного анализа ................. 71
3.5.1. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции
генеральной совокупности ........................................................................... 72
3.5.2. Уравнение линейной регрессии ............................................... 73
Вопросы для контроля .................................................................................. 76
Приложения ................................................................................................... 77
Приложение А ........................................................................................... 77
Приложение Б ............................................................................................ 78
Приложение В ............................................................................................ 79
Приложение Г ............................................................................................ 81
Приложение Д ........................................................................................... 83
Библиографический список ......................................................................... 84
6
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для студентов специальности
«Информационная безопасность автоматизированных систем». Широкое
применение методов теории вероятностей и математической статистики при
анализе современных моделей информационных процессов,
вычислительных процессов, передачи и защиты информации обусловливает
важность преподавания дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика» для специальностей, связанных с
информационными технологиями и программным обеспечением. С другой
сторны его изучение предусмотрено государственным образовательным
стандартом профессионального высшего образования.
Учебное пособие содержит изложение основных теоретических сведений
по теории вероятностей и математической статистике, иллюстрируемых
примерами прикладного содержания. Материал пособия разбит на три
раздела. Первый раздел посвящен введению понятий вероятностного
пространства, случайного события, вероятности случайного события и
методов ее вычисления. Второй раздел посвящен изучению дискретных и
непрерывных случайных величин, их числовых характеристик, обсуждению
некоторых важных классов распределений (биномиального, нормального и
др.), описанию асимптотических свойств последовательностей случайных
величин (закон больших чисел и центральная предельная теорема). Третий
содержит анализ задач математической статистики – предварительной
обработки данных, точечного и интервального оценивания, проверки
статистических гипотез, выявления корреляционной связи.
В приложениях приведены таблицы значений функций Лапласа и
квантилей для распределений Пирсона, Стьюдента и Фишера, которые
используются в примерах, иллюстрирующих основные определения и
методы теории вероятностей и математической статистики.
Каждый раздел пособия начинается с целей и задач изучения темы и
заканчивается вопросами для повторения. Таким образом, для освоения
каждого раздела необходимо ознакомится с задачами изучения темы, найти
решение этих задач внутри раздела, и проверить себя вопросами в конце
раздела. Для облегчения изучения материала каждое введенное понятие или
методика анализа иллюстрируются наглядными примерами.
7
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Цели и задачи изучения темы
Освоить начальные понятия и основные теоремы теории
вероятностей.
Отработать навык решения комбинаторных задач.
Овладеть приемами нахождения вероятности суммы и произведения
событий.
1.1. Понятие о случайном событии
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием.
Например, выстрел из винтовки, бросание игральной кости.
Результат, исход испытания называется событием. Например,
выпадение герба или решки, попадание в цель или промах.
Для обозначения событий используют большие буквы латинского
алфавита: A, B, С и т. д.
Два события называются совместными, если появление одного из них не
исключает появление другого в одном и том же испытании. Например, при
однократном бросании игральной кости события А — появление 4-х очков и
событие В — появление четного числа очков совместимые.
В противном случае события — несовместные. Например, при
однократном бросании монеты событие А — выпадение герба и событие В
— выпадение решки несовместимые.
Несовместность более чем двух событий означает их попарную
несовместность.
Два события А и В называют противоположными, если в данном
испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Событие, противоположное событию А, обозначают через A.
Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является
единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном
испытании оно заведомо не может произойти.
Событие называется случайным, если оно объективно может наступить
или не наступить в данном испытании.
8
m
n
3
6
1
2
1.1.1. Классическое определение вероятности
Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов —
результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно
перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.
Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для
данного испытания, если его результатом становится хотя бы одно из них.
Например, события выпадения 1-го, 2-х, 3-х...6-ти очков при однократном
бросании игральной кости составляют полную группу событий.
События U1, U2,..., Un, образующие полную группу попарно несовметных
и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.
Множество всех взаимоисключающих в условиях данного опыта
событий составляют пространство элементарных событий , а сами эти
события называются точками этого пространства.
Событие А называют благоприятствующим событию В, если
наступление события А влечет за собой наступление события В. Например,
событие А — выпадение 2-х очков и событие В — выпадение четного числа
очков. Событие А благоприятствует событию В.
Классическое определение вероятности: вероятностью Р(А) события А
называют отношение
благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий
числа элементарных событий,
P ( A)=
.
Пример 1.1. Найти вероятность выпадения четного числа очков при
однократном бросании игральной кости.
Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих
элементарных событий 3 (выпадение 2, 4, 6). Поэтому
P ( A)=
Свойства вероятности:
– вероятность достоверного события равна единице;
– вероятность невозможного события равна нулю;
– вероятность случайного события есть положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
=
.
9
n
10000
1.1.2. Относительная частота. Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности не является пригодным, если
результаты испытания не равновозможны. В таких случаях используется т.
н. статистическое определение вероятности.
Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А
наступило m раз.
Число m называют абсолютной частотой события А, а отношение
m
*
AP )(
называют относительной частотой события А.
Пример 1.2. При транспортировке 10000 арбузов испортилось 26. Здесь
m = 26 – абсолютная частота испорченных арбузов, а
*
26
)(
AP
-
0026,0
относительная.
При проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало,
относительная частота P*(A) принимает значения, которые могут довольно
сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n – числа испытаний в
сериях — относительная частота приближается к некоторому числу,
стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.
Статистическое определение вероятности: вероятностью события А в
данном испытании называют число Р(А), около которого группируются
значения относительной частоты при больших n.
Если в различных сериях испытаний относительные частоты
наступления события А незначительно отличаются друг от друга, то говорят,
что частота обладает свойством устойчивости.
Более строго это свойство описывается следующим образом:
lim
→
∗
𝑃(|𝑃
− 𝑃(𝐴)|<𝜀)= 1, 𝜀 >0.
Говорят, что частота события сходится по вероятности к вероятности
события.
10
1.1.3. Геометрическая вероятность
Классическое определение вероятности непосредственно применимо
лишь к опытам, которые имеют конечное число равновозможных исходов.
Однако его можно распространить и на некоторые опыты, которые
имеют бесконечное множество равновозможных исходов. Это можно
применять в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на
конечный участок прямой, плоскости, трехмерного или многомерного
пространства.
Если возможность появления точки внутри некоторой области в
пространстве определяется только мерой области (обозначим меру mes), т.е.
длиной, площадью, объемом, то вероятность появления точки внутри
некоторой области находится как отношение меры этой области к мере всей
области, в которой может появиться данная точка:
; 𝑃(𝐴)=
|x–y|<20.
𝑚𝑒𝑠(𝐴)
𝑚𝑒𝑠(Ω)
; 𝑃(𝐴)=
,
𝑃(𝐴)=
или
𝑃(𝐴)=
соответственно, для отрезка l прямой, области S на плоскости, области V
трехмерного пространства. Это определение является геометрическим
определением вероятности.
Пример 1.3. Два человека договорились о встрече в определенном месте
между 12 и 13 часами. Человек, пришедший первым, ждет другого 20 минут
и уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в
течение указанного часа происходит случайно и моменты прихода
независимы?
Пусть x – время прихода лица А, y – время прихода лица В. Встреча
состоится, если
Представим задачу графически в декартовой системе координат, в
которой по оси Х отложим время х прихода лица А, а по оси Y – время y
прихода лица В. Приход лиц А и В в назначенное время встречи описывается
точкой в квадрате на указанной плоскости со стороной 60 мин. Событие
«встреча» соответствует попаданию точки в область, определяемую
указанным выше неравенством. Эта область представлена на рисунке.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]