Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Донбасская национальная академия строительства и архитектуры»
Е. Ю. Чудина
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
для студентов инженерных специальностей
Макеевка 2024
Ч84 Чудина, Е. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика : учебно-
методическое пособие для студентов инженерных специальностей / Е. Ю. Чудина. –
Макеевка : ФГБОУ ВО «ДОННАСА», 2024. – 148 с.
Учебно-методическое пособие включает в себя теоретический и практический
материал по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» рабочей программы
дисциплины «Математика» направления 08.03.01 «Строительство» и дисциплины
«Математика (спецкурс)» направлений 23.03.02 «Наземные транспортно-технологические
комплексы», 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»
образовательных учреждений высшего образования.
УДК 519.21(076)
ББК 22.171я7
© Е. Ю. Чудина, 2024
© ФГБОУ ВО «ДОННАСА», 2024
УДК
519.21(076)
ББК 22.171я7
Ч 84
бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Донбасская национальная
академия строительства и архитектуры» 25 марта 2024 г., протокол № 8.
упругости и вычислительной математики им. академика А. С. Космодамианского
федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
Рекомендовано к изданию Ученым советом федерального государственного
Рецензенты:
Дзундза А. И., доктор педагогических наук,
профессор;
профессор кафедры теории
образования «Донецкий государственный университет»;
высшей математики федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения
архитектуры».
Жмыхова Т. В., кандидат
высшего образования «Донбасская национальная академия строительства и
физико-математических
наук, доцент; доцент кафедры
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ....................................................................................................................... 6
§1. Случайные события ............................................................................................... 7
Контрольные вопросы к §1. .................................................................................. 10
Задания к §1. ........................................................................................................... 11
§2. Определение вероятности .................................................................................. 11
Контрольные вопросы к §2. .................................................................................. 17
Задания к §2. ........................................................................................................... 17
§3. Элементы комбинаторики .................................................................................. 19
Правило сложения. ................................................................................................ 29
Правило умножения. .............................................................................................. 30
Контрольные вопросы к §3. .................................................................................. 34
Задания к §3. ........................................................................................................... 35
§4. Вероятность суммы и произведения событий .................................................. 36
Контрольные вопросы к §4. .................................................................................. 42
Задания к §4. ........................................................................................................... 42
§5. Условная вероятность ......................................................................................... 43
Контрольные вопросы к §5. .................................................................................. 50
Задания к §5. ........................................................................................................... 50
§6. Формула полной вероятности. Формула Байеса .............................................. 51
Контрольные вопросы к §6. .................................................................................. 55
Задания к §6. ........................................................................................................... 55
§7. Независимые испытания. Схема Бернулли ...................................................... 56
Контрольные вопросы к §7. .................................................................................. 60
Задания к §7. ........................................................................................................... 60
§8. Предельные теоремы схемы Бернулли ............................................................. 61
Теорема Пуассона. ................................................................................................. 61
Локальная теорема Муавра-Лапласа. ................................................................... 62
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. ............................................................. 64
4
Контрольные вопросы к §8. .................................................................................. 65
Задания к §8. ........................................................................................................... 65
§9. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Функция
распределения ............................................................................................................ 66
Контрольные вопросы к §9. .................................................................................. 73
Задания к §9. ........................................................................................................... 73
§10. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной
величины .................................................................................................................... 74
Контрольные вопросы к §10. ................................................................................ 80
Задания к §10. ......................................................................................................... 81
§11. Числовые характеристики случайных величин ............................................ 82
Контрольные вопросы к §11. ................................................................................ 95
Задания к §11. ......................................................................................................... 95
§12. Основные законы распределения случайных величин. Нормальное
распределение ............................................................................................................ 97
1. Биномиальное распределение ........................................................................... 97
2. Геометрическое распределение ........................................................................ 99
3. Равномерное распределение ........................................................................... 101
4. Показательное распределение ........................................................................ 104
5. Нормальное распределение ............................................................................ 107
Контрольные вопросы к §12. .............................................................................. 111
Задания к §12. ....................................................................................................... 112
§13. Статистическая обработка данных ............................................................... 113
Дискретный вариационный ряд .......................................................................... 114
Интервальный вариационный ряд ...................................................................... 116
Числовые характеристики выборки ................................................................... 120
Контрольные вопросы к §13. .............................................................................. 127
Задания к §13. ....................................................................................................... 128
§14. Элементы регрессионного анализа ............................................................... 129
Уравнение линейной регрессии.......................................................................... 132
5
Контрольные вопросы к §14. .............................................................................. 136
Задания к §14. ....................................................................................................... 137
Ответы к заданиям в конце параграфов ................................................................ 138
Приложения ............................................................................................................. 145
1. Значения функции Гаусса ............................................................................. 145
2. Значения нормированной функции Лапласа............................................... 146
Литература: .............................................................................................................. 147
6
Введение
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности
случайных явлений. Так, теория вероятностей позволяет вычислить вероятность
наступления случайного события. Также объектом изучения теории
вероятностей являются случайные величины и их числовые характеристики.
Математическая статистика позволяет на основании эмпирических наблюдений
вычислить теоретические характеристики изучаемых явлений. Эти расчеты
имеют практическое значение, поскольку множество явлений в окружающей
действительности имеют случайную природу.
Учебно-методическое пособие включает в себя теоретический материал по
разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» рабочей
программы дисциплины «Математика», а именно элементы комбинаторики,
понятие случайных событий, определение вероятности, вычисление
вероятностей случайных событий, понятие случайных величин и их числовых
характеристик, элементы математической статистики. В каждом параграфе
рассматриваются примеры решения задач, и представлены задания для
самостоятельного решения с ответами и указаниями к решению.
7
§1. Случайные события
Рассмотрим основные определения, необходимые для дальнейшего
изложения материала. Эксперимент – это некоторое испытание (опыт) при
выполнении определенных условий, которые или воссоздаются искусственно,
или имеют естественную природу. В случайных экспериментах результат не
может быть предсказан заранее. Примером случайного эксперимента может
быть бросание игральной кости (результат эксперимента – выпадение
некоторого числа очков); измерение размера детали с учетом погрешности при
ее изготовлении (результат – линейный размер детали из некоторого интервала);
проверка состояния оборудования (результат – наличие или отсутствие
неполадок).
Случайное событие – это явление, которое может произойти или не
произойти в результате опыта. Случайные события, как правило, обозначают
прописными латинскими буквами: A, B, С, … Примерами случайных событий
являются: выпадение герба или решки при подбрасывании монеты; выявление
или отсутствие брака при проверке изделия; соответствие или несоответствие
результата измерений некоторой величины заданной характеристике и т.д.
Достоверное событие – это событие, которое всегда происходит в
результате некоторого испытания. Достоверное событие обозначают .
Невозможное событие – это событие, которое никогда не происходит в
результате испытания. Невозможное событие обозначают
Например, случайное событие А = «выпадение от 1 до 6 очков» при
подбрасывании игральной кости является достоверным событием. Случайное
событие В = «выпадение 0 очков» в этом испытании является невозможным
событием.
Два случайных события А и В называются совместными, если они могут
произойти одновременно в результате опыта. Если же появление одного события
исключает появление другого, то такие случайные события называются
несовместными.
8
В случае подбрасывания игральной кости события «выпадение четного
числа очков» и «выпадение нечетного числа очков» являются несовместными.
События «выпадение четного числа очков» и «выпадение более 4 очков»
являются совместными. В инженерной деятельности примером совместных
событий могут быть «отказало более 3 узлов оборудования из 10» и «отказало
менее 5 узлов из 10», пример несовместных событий – «узел оборудования
работает стабильно» и «узел оборудования вышел из строя».
События
называются попарно-несовместными, если любые
два из них попарно несовместны.
Группа событий образуют полную группу событий , если они
попарно несовместны и в результате испытания происходит только одно из них.
Отметим, что полную группу событий можно рассматривать как достоверное
событие, так как она описывает все возможные исходы опыта.
К примеру, при подбрасывании игральной кости события «выпало
очков»
попарно несовместны и образуют полную группу
событий. В инженерной сфере при проверке изделия на качество случайные
события А = «изделие соответствует ГОСТу» и В = «изделие не соответствует
ГОСТу» являются несовместными; кроме того, эти события также образуют
полную группу событий.
Возможные исходы опыта называются элементарными событиями;
множество всех исходов опыта называют пространством элементарных
событий. Пространство элементарных событий является полной группой
событий.
Суммой (объединением) событий А и В называется событие ,
состоящее в том, что происходит хотя бы одно из событий А и В. Для случайных
событий «отказал 1-ый узел оборудования» и «отказал 2-ой узел оборудования»
их сумма состоит в том, что отказал хотя бы один узел оборудования.
Произведением (пересечением) событий А и В называется событие
, состоящее в том, что происходят события А и В одновременно. Случайное
событие «падение напряжения в сети» и «отказ оборудования» являются
9
совместными событиями, и их пересечение состоит в их совместном
наступлении.
Если события несовместны, их произведение является невозможным
событием:
Разностью событий А и В называется событие , состоящее в том, что
происходит событие А и не происходит событие В. Для случайных событий
«падение напряжения в сети» и «отказ оборудования» разность событий состоит
в том, что произошло падение напряжения без отказа оборудования.
Противоположным событию А называется событие
, состоящее в том,
что событие А не происходит. Для случайного события «падение напряжение в
сети» противоположным событием является «напряжение постоянно или
повысилось»; для события «отказал хотя бы 1 узел оборудования»
противоположным является «не отказал ни один узел оборудования».
Отметим, что противоположные события образуют полную группу
событий:
Действия над событиями можно наглядно проиллюстрировать с помощью
диаграмм Эйлера-Венна (рисунок 1.1). Полную группу событий изображают в
виде прямоугольника, случайное событие – закрашенной областью внутри него.
Рисунок 1.1. Диаграммы Эйлера-Венна
10
Пример 1.1. Бросают игральную кость. Событие А = «выпадет четное
число», событие В = «выпадет число больше 3». Найти объединение,
пересечение и разность этих событий; события, противоположные событиям
А и В.
Решение
Рассмотрим возможные варианты выпадения числа очков на игральной
кости:
= «1, 2, 3, 4, 5, 6».
Опишем события А и В:
А = «2, 4, 6», В = «4, 5, 6».
Объединение событий: = «2, 4, 5, 6» – выпадет 2, 4, 5 или 6;
пересечение: = «4, 6» – выпадет 4 или 6; разность: = «2» – выпадет 2.
Противоположные события:
= «1, 3, 5» – выпадет нечетное число;
= «1, 2, 3» – выпадет число, меньше или равное 3.
Контрольные вопросы к §1.
1. Что такое случайное событие? Приведите примеры.
2. Что такое невозможное и достоверное событие? Приведите примеры.
3. Какие случайные события называются совместными? Несовместными?
Приведите примеры таких событий.
4. Что такое сумма (объединение) случайных событий? Приведите пример.
5. Что такое произведение (пересечение) случайных событий? Приведите
пример.
6. Какое случайное событие называется противоположным? Приведите
пример.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]