Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
131
Рисунок 14.1. Корреляционное поле
Выборочный коэффициент корреляции между признаками и :
где – ковариация признаков и ; и
– исправленные выборочные
среднеквадратические отклонения признаков и .
Если коэффициент корреляции больше нуля, то связь между признаками
и прямая (чем больше , тем больше ). Если коэффициент корреляции
меньше нуля, то связь обратная (чем больше , тем меньше ).
Для того, чтобы оценить силу связи, используют шкалу Чеддока.
132
Уравнение линейной регрессии
Связь между признаками и можно приближенно описать
эмпирическим уравнением регрессии (тренда), то есть функциональной
зависимостью между признаками. На практике часто применяют уравнение
линейной регрессии вида:
Также нередко применяют уравнение квадратичной регрессии
экспоненциальной регрессии
,
логарифмической , степенной
и других.
Эмпирическое уравнение линейной регрессии на имеет вид:
где – коэффициент корреляции между признаками и ,
, и
– исправленные выборочные среднеквадратические
отклонения признаков и .
Аналогично эмпирическое уравнение Х на У имеет вид:
Отметим, что уравнения линейной регрессии на и Х на У не являются
тождественными.
Пример 12.1. По заданным выборочным значениям пары признаков ,
где – плотность строительного покрытия (г/см2), – срок службы до появления
значимых дефектов (лет):
а) построить корреляционное поле для двумерной выборки;
133
б) найти коэффициент корреляции между и и сделать вывод о силе и
направлении связи признаков и ;
в) составить уравнение линейной регрессии на и нанести линию
регрессии на корреляционное поле;
г) сделать прогноз относительно срока службы покрытия при плотности
покрытия, равной 11 г/см2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 2
2,5
2,4
3
2,7
3,2
3,3
3,6
3,1
2,8
Решение
а) Построим корреляционное поле для двумерной выборки, отметив точки
на координатной плоскости, для которых абсцисса соответствует наблюдаемому
значению признака , ордината – значению признака (рисунок 14.2).
Рисунок 14.2. Корреляционное поле
б) Найдем коэффициент корреляции. Для этого найдем числовые
характеристики выборки. Составим расчетную таблицу (таблица 14.1).
Последняя строка таблицы является результатом суммирования остальных
строк с данными. Объем выборки
134
Таблица 14.1. Расчетная таблица для вычисления характеристик выборки
x
y
x2
y2
x y
1
20 1 400
20
2
25 4 625
50
3
24 9 576
72
4
30
16
900
120
5
27
25
729
135
6
32
36
1024
192
7
33
49
1089
231
8
36
64
1296
288
9
31
81
961
279
10
28
100
784
280
Сумма: 55
286
385
8384
1667
Средние выборочные значения:
Выборочные дисперсии:
135
Исправленные выборочные дисперсии:
Исправленные выборочные среднеквадратичные отклонения:
Ковариация признаков и :
Коэффициент корреляции признаков и :
В нашем случаем коэффициент корреляции больше нуля, следовательно,
связь прямая – чем больше плотность покрытия , тем больше срок его
службы . Так как по абсолютной величине коэффициент корреляции равен 0,65,
то связь между и заметная.
в) Составим уравнение линейной регрессии на .
Уравнение линейной регрессии на имеет вид:
Подставляя числовые характеристики выборки, найденные ранее,
получим:
– эмпирическое уравнение линейной регрессии на .
Нанесем линию регрессии на корреляционное поле (рисунок 14.3).
136
Рисунок 14.3. Линия регрессии на
г) Сделаем прогноз относительно срока службы покрытия при плотности
покрытия, равной 1 г/см
2
. Для этого подставим в эмпирическое уравнение
линейной регрессии значение плотности покрытия , равное 11:
Таким образом, можно сделать вывод, что при плотности покрытия
11 г/см2 срок его службы до появления значимых дефектов составит 34,87 лет, то
есть около 35 лет.
Контрольные вопросы к §14.
1. Что такое корреляционная связь?
2. Что такое факторный и результативный признаки? Приведите пример.
3. Что представляет собой корреляционное поле?
4. Что называется уравнением регрессии?
5. Как вычисляется коэффициент корреляции и что он характеризует?
6. Как составляется уравнение линейной регрессии на основании
выборочных данных?
137
Задания к §14.
12.1. По данным выборки 20 наблюдений признаков Х (масса груза) и У
(издержек) получены следующие характеристики:
т., тыс. руб., т., тыс. руб., коэффициент
корреляции равен 0,7. Составить уравнения линейной регрессии У на Х,
Х на У и построить график.
12.2. По данным выборки построить уравнение линейной регрессии У
(плотность сплава) на Х (прочность на разрыв). Сделать вывод о силе и
направлении связи. Нанести линию регрессии на корреляционное поле.
65,4
67,2
63,2
59,8
64,1
66,7
61,4
69,1
70,2
68,6
20,6
19,4
24,3
22,5
18,4
16,5
22,1
17,6
18,6
19,2
12.3. По данным выборки построить уравнение линейной регрессии У
(объем производства) на Х (средняя заработная плата в регионе). Сделать вывод
о силе и направлении связи. Нанести линию регрессии на корреляционное поле.
19,543
22,041
18,516
15,647
18,457
2,95
4,20
2,85
2,56
2,85
16,680
18,882
14,868
18,838
19,556
2,67
3,89
2,49
3,88
2,96
138
Ответы к заданиям в конце параграфов
1.1. А – обе путевки достанутся мужчинам, В – обе путевки достанутся
женщинам; С – одна путевка достанется мужчине, другая – женщине. 1.2. А –
обе плитки стандартные, В – одна плитка стандартная, одна с дефектом.
1.3. а) б) не работает первая тормозная система, автомобиль
управляем.
2.1. 2.2. а) 0,4; б) 0,6. 2.3. а) 0,0075; б) 0,75; в) 0,744.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7. Пусть длина двух обломков х и у, тогда
3.1. 3.2.
3.3.
3.4.
3.5. а)
б)
в)
; г)
; д)
3.6.
. 3.7. а)
б)
3.8. а)
; б)
4.1. а)
б)
в)
г)
4.2. а) б)
в)
4.3. Не допустит ошибки:
ошибется хотя бы в одном расчете:
1-0,995=0,005. Вероятнее, что не ошибется. 4.4. 0,5+(1-0,5)0,7+(1-0,5)·
(1-0,7)0,7=0,955. 4.5.
139
5.1. а) 0,000001; б) 0,9703; в) 0,0297. 5.2. а)
б)
; в)
5.3. а)
б)
5.4.
6.1. а)
б)
6.2. а)
б)
Значит, вероятнее всего стаж от 3 до 10 лет. 6.3.
– первое
изделие первого сорта,
– первое изделие второго сорта, А – второе изделие
второго сорта;
Таким образом, вероятность одинакова:
6.4.
6.5.
7.1. 7.2. а)
б)
7.3.
7.4. а)
б)
0,3174; в) 1-0,0778-
-0,3174=0,6048. 7.5.
8.1. а) б)
8.2. а) по локальной
теореме Лапласа:
б) по интегральной теореме Лапласа:
8.3. а) по локальной теореме Лапласа:
б) по интегральной теореме Лапласа:
; в) 8.4. По интегральной теореме
Лапласа:
8.5.
140
8.6.
9.1.
0 1 2
3 0,12
0,37
0,38
0,13
9.2.
0 1 2 3 4
0,084
0,302
0,380
0,198
0,036
9.3.
9.4.
0 1 2
0,75
0,2
0,05
10.1. а) б) графики:
в)
10.2. а)
график плотности:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]