Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
71
Исходя из свойств вероятности, функция распределения имеет
следующие свойства:
1. принимает значения от 0 до 1:
2.
3. – неубывающая функция, то есть для
4. вероятность попадания с. в. в промежуток равна:
5. непрерывна слева:
Для дискретной случайной величины, принимающей значения
с
вероятностями
, функция распределения равна сумме
соответствующих вероятностей:
Замечание. Вероятность события можно вычислить по формуле:
Действительно,
согласно определению функции распределения.
Пример 9.3. Найти функцию распределения с. в. – числа выпадений
герба при подбрасывании трех монет.
Решение
В примере 9.1. мы составили закон распределения с. в. :
72
0 1 2
3
Найдем функцию распределения с. в. . Согласно определению, для
Для
Для
Для
Для
Таким образом, функция распределения дискретной с. в. :
Построим график функции распределения (рисунок 9.3). Как видно по
графику, функция распределения дискретной случайной величины – это
разрывная кусочно-постоянная функция, непрерывная слева в точках разрыва.
73
Рисунок 9.3. График функции распределения дискретной случайной величины
Контрольные вопросы к §9.
1. Что такое случайная величина?
2. Какие случайные величины называются дискретными? Приведите
пример.
3. Какие случайные величины называются непрерывными? Приведите
пример.
4. Что такое закон распределения случайной величины?
5. Как задается закон распределения дискретной случайной величины?
6. Что такое функция распределения случайной величины? Какой вид
имеет функция распределения дискретной случайной величины?
Задания к §9.
9.1. Составить закон распределения случайной величины – числа
мальчиков в семье из трех детей, считая вероятность рождения мальчика
равной 0,51.
9.2. На производстве используется устройство, состоящее из четырех
независимо работающих блоков. Вероятности отказа каждого из блоков равны
соответственно: Найти закон
распределения случайной величины – числа отказавших блоков. Построить
многоугольник распределения.
74
9.3. Имеется лампочек, каждая из которых может иметь дефект с
вероятностью . Если лампа имеет дефект, при включении она перегорает, и ее
заменяют новой. Составить закон распределения случайной величины – числа
перегоревших лампочек.
9.4. На строительной площадке работает два грузовика. Вероятность того,
что один грузовик из двух будет в ремонте, равна 0,2. Вероятность того, что оба
будут в ремонте – 0,05. а) Составить закон распределения с. в. – количества
грузовиков, находящихся в ремонте; б) найти вероятность того, что в ремонте
будет не менее, чем один грузовик; в) найти функцию распределения с. в. и
построить ее график.
§10. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения
случайной величины
Непрерывной случайной величиной называется случайная величина,
принимающая значения из некоторого промежутка. В отличие от дискретной
случайной величины, принимающей определенный набор значений,
непрерывная случайная величина принимает бесконечно много значений.
Примером непрерывной случайной величины может быть рост человека,
скорость автомобиля, вес яблока и т.д.
Поскольку непрерывная случайная величина изменяется непрерывно, а не
дискретно, ее функция распределения исходя из определения является
непрерывной функцией. Приведем следующее определение: случайная величина
называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой
точке и дифференцируема (кроме, может быть, отдельных точек).
Пример 10.1. Задана функция распределения непрерывной с. в. Найти:
а) параметры ; б) вероятность того, что случайная величина примет значения
из интервала
Построить график функции распределения.
75
Решение
Функция должна быть непрерывна для непрерывной с. в.
В точке :
В точке :
Решая уравнение получим:
откуда
Функция распределения примет вид:
Вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала
:
Построим график функции распределения (рисунок 10.1). Как видно,
функция распределения непрерывной случайной величины – непрерывная
функция.
76
Рисунок 10.1. График функции распределения непрерывной случайной
величины
Кроме функции распределения, для задания закона распределения
непрерывной случайной величины используется плотность распределения
– производная функции распределения с. в. :
Согласно определению производной,
то есть плотность распределения – это предел отношения вероятности попадания
случайной величины в некоторый промежуток к длине этого промежутка, когда
длина промежутка стремится к нулю.
Свойства плотности распределения:
1. неотрицательна:
2. функция распределения и плотность распределения связаны равенством:
3. вероятность попадания с. в. в промежуток равна:
77
4. условие нормировки:
Геометрически вероятность попадания с. в. в промежуток равна
площади криволинейной трапеции, образованной прямыми осью
и графиком плотности распределения (рисунок 10.2). Условие
нормировки геометрически означает, что площадь между графиком плотности
распределения и осью равна единице.
Рисунок 10.2. Вероятность попадания непрерывной с. в. в промежуток
Замечание. Вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет фиксированное значение, равна нулю. Действительно, рассмотрим
вероятность события: с. в.
Отсюда также следует, что для непрерывной с. в. справедливо:
Пример 10.2. Непрерывная случайная величина задана плотностью
распределения:
78
а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения;
в) найти функцию распределения; г) построить график функции распределения;
д) найти вероятность того, что с. в. примет значения, больше
Решение
а) Найдем коэффициент из условия нормировки плотности
распределения:
б) Построим график плотности распределения (рисунок 10.3).
Рисунок 10.3. График плотности распределения с. в.
79
в) Найдем функцию распределения.
Функция распределения и плотность распределения связаны равенством:
При
При
При
Значит, функция распределения имеет вид:
г) Построим график функции распределения (рисунок 10.4).
80
Рисунок 10.4. График функции распределения с. в.
д) Найдем вероятность того, что с. в. примет значения, больше
Эту же вероятность можно найти и с помощью плотности распределения:
Контрольные вопросы к §10.
1. Что такое функция распределения случайной величины? Какой вид
имеет функция распределения непрерывной случайной величины?
2. Что такое плотность распределения случайной величины? Как связаны
функция распределения и плотность распределения?
3. Что такое условие нормировки?
4. Как вычислить вероятность попадания в заданный интервал
непрерывной случайной величины?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]