Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
31
Комбинаций, в которых 5 чисел совпадает с выигрышной (любые 5 чисел
из выигрышной комбинации и одно из оставшихся невыигрышных чисел):
Тогда вероятность
Пример 3.17. Регистрационные знаки транспортных средств имеют
следующий порядок символов: 1 буква, 3 цифры, 2 буквы (рисунок 3.4). Для
использования разрешены 12 букв русской кириллицы, имеющие графические
аналоги в латинском алфавите — А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У и Х.
Рисунок 3.4. Регистрационный знак автомобиля
а) Сколько существует возможных вариантов регистрационных знаков
установленного образца?
б) Какова вероятность совпадения цифровой части регистрационного знака
(3 цифры), если серии (буквы) могут быть различны?
в) Какова вероятность, что случайно выбранный номер содержит все
одинаковые цифры?
г) Какова вероятность, что номер содержит 2 пятерки?
Решение
а) Способов выбрать первую букву регистрационного знака: 12. Способов
выбрать цифры (от 0 до 9) по формуле умножения вероятностей: Способов
выбрать две последние буквы: Итого по правилу умножения число
вариантов регистрационных знаков:
32
б) Допустим, цифровая часть знака совпадает. Вариантов выбрать
буквенную часть (3 буквы): Тогда по классическому определению
вероятности:
в) Всего способов заполнить цифровую часть: Способов
заполнить цифровую часть знака так, чтобы цифры были одинаковые: (это
номера 000, 111, … 999). Тогда вероятность того, что случайно выбранный номер
содержит все одинаковые цифры:
г) Способов заполнить цифровую часть: Способов составить
номер так, чтобы было 2 пятерки: , так как нужно выбрать место, где
будет стоять другая цифра и саму цифру. Тогда вероятность того, что номер
содержит 2 пятерки:
Пример 3.18. Найти вероятность того, что среди группы 25 студентов хотя
бы у двух человек день рождения окажется в один день. Для простоты расчетов
високосные годы не рассматривать и считать, что в году 365 дней.
Решение
Рассмотрим противоположное событие
– дни рождения не совпадают.
Всего способов выбрать 25 дней случайным образом:
Это интересно
В группе из 23 человек и более вероятность того, что у двоих совпадет
день рождения, превышает 50%, а в группе от 60 человек такая вероятность
составляет около 99%.
33
Способов выбрать 25 дней так, чтобы даты не совпадали, и распределить
их как дни рождения для 25 человек:
Тогда вероятность события
:
Вероятность того, что дни рождения совпадают хотя бы у двух человек:
Пример 3.19. На строительном предприятии имеется 8 грузовых
автомобилей, при этом предприятие обслуживает 3 строительных объекта.
Грузовые автомобили со строительными материалами приезжают на объект
случайным образом. Найти вероятности того, что: а) все грузовые автомобили
приедут на один объект; б) 5 грузовых автомобилей приедет на один объект, 2 –
на другой и 1 – на третий; в) разгрузка автомобилей будет задержана, если на
объект приедет 5 и более грузовых автомобилей.
Решение
Всего способов выбрать для 8 грузовых автомобилей строительный объект
случайным образом:
а) Способов выбрать объект так, что все грузовые автомобили прибудут на
один объект: 3. Тогда вероятность этого события:
б) Способов выбрать объект так, что 5 грузовых автомобилей приедет на
один объект, 2 – на другой и 1 – на третий:
– пять автомобилей на одном объекте, два на втором, оставшийся
автомобиль на третьем, в разном порядке. Тогда вероятность этого события:
в) Способов выбрать объект так, что на него приедет 5 грузовых
автомобилей:
34
Способов выбрать объект так, что на него приедет 6 грузовых
автомобилей:
Способов выбрать объект так, что на него приедет 7 грузовых
автомобилей:
Способов выбрать объект так, что на него приедет 8 грузовых
автомобилей:
Тогда способов выбрать объект так, что на него приедет 5 и более грузовых
автомобилей:
Вероятность этого события:
Контрольные вопросы к §3.
1. Что такое сочетания элементов множества?
2. Как вычисляется число сочетаний?
3. Что такое перестановки элементов множества?
4. Как вычисляется число перестановок?
5. Что такое размещения элементов множества?
6. Как вычисляется число размещений?
7. Сформулируйте правило умножения для вычисления числа комбинаций
элементов множества. Приведите пример.
8. Сформулируйте правило сложения для вычисления комбинаций
элементов множества. Приведите пример.
35
Задания к §3.
3.1. Сколькими способами можно выполнить 5 этапов производства в
разном порядке?
3.2. Сколькими способами можно выбрать 3 работников предприятия из 20
для того, чтобы отправить их в командировку?
3.3. Сколькими способами можно выбрать 2 работников предприятия из
20, чтобы выдать им две премии – одна размером 10 000 руб, другая 5 000 руб.?
3.4. На стройке работает 24 человека. На складе есть 3 усиленные
строительные каски. Сколькими способами их можно распределить между
работниками?
3.5. В коллективе работает 12 женщин, 26 мужчин. Случайным образом
распределяют 3 профсоюзные путевки.
а) Сколькими способами можно распределить путевки, чтобы 1 путевка
досталась женщине и 2 путевки – мужчинам?
б) Какова вероятность того, что все путевки достанутся женщинам?
в) Какова вероятность того, что все путевки достанутся мужчинам?
г) Какова вероятность того, что хотя бы 1 путевка достанется женщине?
д) Какова вероятность того, что все путевки достанутся женщинам или все
– мужчинам?
3.6. В шахматном турнире участвуют 16 шахматистов. По правилам
каждый должен сыграть с каждым. Сколько дней потребуется на проведение
турнира, если ежедневно играется 12 партий?
3.7. За круглым столом на переговорах в строительной фирме
рассаживается 10 человек. Какова вероятность того, что два определенных
человека Х и У: а) окажутся рядом; б) окажутся напротив друг друга.
3.8. В три офиса компании закуплено новое оборудование. В каждый офис
планируется направить по 5 единиц оргтехники. В наличии имеется 7 мониторов,
3 МФУ и 5 системных блоков. Найти вероятность того, что: а) в каждый из
36
офисов поступит по одному МФУ; б) в случайно выбранный офис МФУ не
поступит.
§4. Вероятность суммы и произведения событий
Как уже говорилось выше, вероятность суммы двух несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий:
Вероятности противоположных событий связаны равенством:
Вероятность произведения независимых событий:
Пример 4.1. Работник предприятия находится в данный день на
больничном с вероятностью 0,01. Какова вероятность, что из 10 работников:
а) все не находятся на больничном; б) хотя бы один находится на больничном?
Решение
Обозначим: – все работники не находятся на больничном; – хотя бы
один находится на больничном.
Для одного работника вероятность того, что он не находится на
больничном: 1-0,01=0,99. Тогда по формуле умножения вероятностей
События и являются противоположными событиями, поэтому
Пример 4.2. Строительная фирма подала 4 заявки на участие в тендере.
Вероятности того, что контракт будет подписан и строительство начнется,
соответственно равны 0,2, 0,3, 0,4 и 0,5 для каждой из заявок. Найти вероятность
того, что будут подписаны 3 контракта из 4.
Решение
Обозначим – подписан -ый контракт. Тогда событие
«подписаны 3 контракта из 4» является суммой несовместных событий –
37
подписаны все контракты, кроме четвертого, – все контракты, кроме третьего,
– все, кроме второго, – все, кроме первого. Найдем вероятности этих
событий:
Отсюда вероятность того, что будут подписаны три контракта из четырех:
Пример 4.3. Инженер по технике безопасности проводит тестирование
среди работников по усвоению правил техники безопасности. Каждое задание
теста содержит 4 вопроса. Сколько заданий должен содержать тест, чтобы
исключить полное угадывание всех правильных ответов с вероятностью 0,999?
Решение
Пусть тест содержит заданий. Если задание теста содержит 4 варианта
ответа, то вероятность угадывания правильного ответа в одном задании:
Обозначим: – угаданы все правильные варианты во всех заданиях.
Вероятность угадывания правильного ответа во всех заданиях:
Вероятность противоположного события по условию должна быть больше
0,999:
Решая неравенство, получим:
Значит, тест должен содержать не менее 5 заданий.
Пример 4.4. Найти вероятность полной остановки производства, если
вероятности остановки каждого из этапов производства следующие:
38
, и отказы отдельных
этапов независимы (рисунок 4.1).
Решение
Производство полностью остановится, если откажут звенья и
этап 7. Найдем вероятность отказа звена , оно откажет, если откажет хотя бы
один из этапов 1, 2, 3. Найдем вероятность противоположного события – не
откажет ни один из этапов: Тогда вероятность отказа
звена :
Рисунок 4.1. Схема производства
Найдем вероятность отказа звена Оно откажет, если откажет звено
или Звено откажет с вероятностью , а звено с вероятностью
Тогда вероятность отказа звена
Вероятность отказа блока
Все производство остановится, если откажет блок или этап 7,
вероятность этого события:
39
Если события совместны, то вероятность наступления хотя бы одного
из них вычисляется по формуле:
Пример 4.5. В цехе работает два конвейера, причем первый может выйти
из строя с вероятностью , а второй – с вероятностью .
События – первый конвейер вышел из строя, – второй вышел из строя. Найти
вероятность того, что один из конвейеров вышел из строя.
Решение
Событие – один из конвейеров вышел из строя. События
совместны и независимы. Тогда вероятность суммы событий:
Действительно,
Для трех совместных событий формула вероятности суммы
событий приобретает вид:
Для совместных событий
формула суммы событий
имеет громоздкий вид, поэтому удобнее найти вначале
вероятность противоположного события
Приведенные формулы суммы трех и более событий иллюстрируют
рисунки 4.2, 4.3.
40
Рисунок 4.2. Сумма трех событий
Рисунок 4.3. Событие , противоположное событию
Пример 4.6. Электрическая сеть состоит из идентичных приборов,
вероятность отказа каждого из них равна (рисунок 4.4).
а) Определить надежность системы (вероятность того, что система
продолжит работать), считая, что приборы работают независимо друг от друга.
б) Насколько уменьшится надежность системы, если приборов будет
?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]