Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
61
§8. Предельные теоремы схемы Бернулли
При большом количестве испытаний вычисление вероятности по формуле
Бернулли становится затруднительным. В таком случае используют так
называемые асимптотические формулы. Рассмотрим три теоремы, описывающие
вероятность события в схеме Бернулли при большом количестве испытаний
Теорема Пуассона.
Если в серии опытов по схеме Бернулли число испытаний велико
и вероятность наступления события в каждом испытании мала , причем
их произведение является постоянной величиной , то вероятность
того, что событие наступит раз при испытаниях, удовлетворяет равенству:
Отметим, что формулу Пуассона используют, если число испытаний
велико , а величина На практике применяют приближенную
формулу:
Пример 8.1. Вероятность повреждения изделия при транспортировке
составляет 0,002. На предприятие поступает партия из 1500 изделий. Какова
вероятность, что из них при транспортировке будет повреждено не более
четырех изделий?
Решение
Не более четырех изделий – от 0 до 4. Вероятность этого события:
Используя формулу Пуассона, получим:
62
В случае, если число испытаний велико, но вероятность наступления
события при каждом испытании не близка к нулю, используют следующую
теорему.
Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Если в серии опытов по схеме Бернулли число испытаний велико
и вероятность наступления события в каждом испытании постоянная и
, то вероятность того, что событие наступит раз при испытаниях,
удовлетворяет приближенному равенству:
где
– функция Гаусса.
Функция Гаусса задается таблично (см. приложения). Основные свойства
функции Гаусса:
1) функция четная, то есть
2) при можно считать, что
Это интересно
Симеон Дени Пуассон (1781-1840) –
французский ученый, автор научных трудов не
только в области математики, но и
математической физики, теоретической физики
и астрономии.
Пуассону принадлежат слова: «Жизнь
украшается двумя вещами – занятием
математикой и ее преподаванием».
63
Пример 8.2. Вероятность того, что на участке трубопровода каждый метр
трубы не выйдет из эксплуатации при замерзании, равна 0,96. Найти вероятность
того, что из 200 метров трубопровода ровно 190 останутся в эксплуатации.
Решение
Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:
По таблице значений функции Гаусса определяем:
Тогда вероятность того, что ровно 190 метров трубы останутся в эксплуатации:
Пример 8.3. В условиях примера 8.2 с помощью локальной теоремы
Муавра-Лапласа вычислить вероятность того, что в эксплуатации останутся от
190 до 195 метров трубопровода.
Решение
Вероятность этого события:
Каждое из слагаемых в правой части этого равенства вычислим по
локальной теореме Муавра-Лапласа при для
Получим:
64
Тогда по локальной теореме Муавра-Лапласа:
Отметим, что для нахождения вероятности попадания числа наступлений
события в некоторый интервал при испытаниях локальная теорема
Муавра-Лапласа достаточно громоздка. В этих случаях используется следующая
теорема.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Если в серии опытов по схеме Бернулли число испытаний велико
и вероятность наступления события в каждом испытании постоянная и
, то вероятность того, что событие наступит не менее и не более
раз при испытаниях, удовлетворяет приближенному равенству:
где
– нормированная функция
Лапласа.
Нормированная функция Лапласа также задается таблично (см.
приложения). Ее основные свойства:
1) функция нечетная, то есть
2) при можно считать, что
Пример 8.4. В условиях примера 8.2 с помощью интегральной теоремы
Муавра-Лапласа вычислить вероятность того, что в эксплуатации останутся от
190 до 195 метров трубопровода.
65
Решение
Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
По таблице значений нормированной функции Лапласа определяем:
Тогда вероятность того, что что в эксплуатации останутся от 190 до 195
метров трубопровода:
Контрольные вопросы к §8.
1. Приведите теорему Пуассона. В каких случаях она используется?
2. Приведите локальную теорему Муавра-Лапласа. В каких случаях она
используется?
3. Какие основные свойства функции Гаусса?
4. Приведите интегральную теорему Муавра-Лапласа. В каких случаях она
используется?
5. Какие основные свойства нормированной функции Лапласа?
Задания к §8.
8.1. Вероятность брака в партии из 10000 изделий составляет 0,001. Найти:
а) наиболее вероятное число бракованных изделий; б) вероятность того, что брак
составит менее 0,2%.
66
8.2. На предприятии работает 84 работника. Вероятность того, что в
случайный день работник возьмет отгул, равна 0,01. Какова вероятность того,
что: а) ровно 2 работника возьмет отгул; б) более 3 работников возьмет отгул.
8.3. Известно, что 96% ламп служит не менее гарантийного срока. Какова
вероятность того, что в партии из 1500 ламп гарантийный срок: а) прослужат
ровно 1440 ламп; б) прослужит от 1300 до 1450 ламп; в) не прослужит менее 50
ламп.
8.4. Считая, что вероятность рождения девочки равна 0,49, найти такое
число , чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что среди 1000
новорожденных более девочек.
8.5. При какой вероятности брака в партии из 100 изделий можно
утверждать, что число бракованных изделий отклонится от наиболее вероятного
числа бракованных изделий более чем на 2 изделия с вероятностью 0,05?
8.6. В рыбном хозяйстве отлавливают 1000 рыб, метят их и отпускают.
Определить количество рыбы в озере, при котором будет наибольшая
вероятность того, что среди вновь пойманных 150 рыб будет ровно 10 меченых?
§9. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины.
Функция распределения
В теории вероятностей случайной называют величину, которая в
результате испытания принимает различные значения. Примерами случайной
величины (с. в.) являются: число очков, выпавших на игральной кости; число
забитых голов в матче; число детей в семье; курс валюты; рост человека и т.д.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина,
принимающая набор случайных значений (от лат. discretus – раздельный,
прерывистый).
Примеры дискретной случайной величины – число детей в семье, число
попаданий при нескольких выстрелах, число бракованных изделий в партии.
Дискретная случайная величина необязательно принимает целые значения –
67
например, курс валюты или цену бензина также можно считать дискретной
величиной, меняющейся с шагом 0,01.
Законом распределения случайной величины называется правило
(функция, график, таблица), определяющее вероятности того, что случайная
величина примет те или иные значения.
Поскольку, как правило, множество значений дискретной случайной
величины конечно, закон распределения дискретной с. в. задается в виде
таблицы.
…
…
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать
графически, построив ломаную, соединяющую точки
Такая ломаная называется многоугольником распределения.
Пример 9.1. Рассмотреть случайную величину – число выпадений герба
при подбрасывании трех монет. Составить закон распределения с. в. и
построить многоугольник распределения.
Решение
Обозначим:
– вероятность выпадения герба на одной монете.
Возможные значения с. в. : 0, 1, 2, 3. Найдем соответствующие вероятности по
формуле Бернулли:
68
Сделаем проверку: сумма вероятностей всех элементарных событий
должна равняться 1:
Запишем закон распределения с. в. .
0 1 2
3
Построим многоугольник распределения с. в. (рисунок 9.1).
Рисунок 9.1. Многоугольник распределения с. в.
Пусть дискретная с. в. принимает значения с вероятностями
дискретная с. в. принимает значения с вероятностями
Тогда сумма (разность, произведение, частное) с. в.
– это случайная величина ,
принимающая значения
с вероятностями
Если
значения с. в. совпадают, соответствующие вероятности суммируются.
Пример 9.2. Рассмотреть случайную величину – сумму очков при
подбрасывании двух игральных костей. Пусть
– число очков, выпавших
на игральных костях. Составить закон распределения с. в.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
69
Решение
Запишем закон распределения с. в.
1 2 3 4 5
6
Возможные значения с. в. : 2, 3, … 12. Найдем вероятности этих событий,
учитывая, что с. в.
– независимы.
70
Проверка:
Запишем закон распределения с. в. :
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
Построим многоугольник распределения (рисунок 9.2).
Рисунок 9.2. Многоугольник распределения с. в.
Закон распределения случайной величины (как дискретной, так и
непрерывной) можно задать функцией
, равной вероятности того, что
случайная величина примет значения, меньшие
Эта функция называется функцией распределения случайной величины
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0 2 4 6 8 10 12 14
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]