Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
11
Задания к §1.
1.1. На предприятии работает 40 женщин и 60 мужчин. Профсоюз выделяет
две путевки для отдыха в санатории. Кому может достаться эта путевка?
Опишите все возможные события.
1.2. В упаковке находится 10 керамических плиток, среди них 9
стандартных и 1 с дефектом. Наугад берут 2 плитки из коробки. Опишите все
возможные случайные события.
1.3. К механизмам управления автомобилем относят рулевое управление и
две тормозные системы. Пусть события: А – исправно рулевое управление, В –
исправна первая тормозная система, С – исправна вторая тормозная система.
а) Выразить событие, состоящее в том, что система управления работает, если
исправна хотя бы одна тормозная система; б) определить, управляем ли
автомобиль, если имеет место событие .
§2. Определение вероятности
Основная цель теории вероятностей – вычисление и прогноз возможности
наступления случайных событий. Очевидно, что некоторые события имеют
больший шанс наступить, чем другие. Оценкой возможности наступления
случайного события является его вероятность.
Вероятность случайного события – это число, выражающее возможность
его наступления в результате опыта.
На практике для оценки вероятности наступления случайного события
применяют относительную частоту наступления события в серии опытов. Пусть
проводится некоторое испытание, в результате которого может произойти или
не произойти событие . Относительной частотой события называется
отношение числа наступления события к общему числу испытаний :
12
Исходя из определения относительной частоты, можно дать
статистическое определение вероятности. Вероятностью случайного события
называется предел ее относительной частоты при достаточно большом
количестве испытаний:
Приведем также классическое определение вероятности. Пусть
проводится испытаний, при этом – теоретическое число испытаний,
благоприятных событию . Тогда вероятностью случайного события
называется отношение числа благоприятных событию исходов опыта к
общему числу исходов опыта :
Вероятность случайного события имеет следующие свойства:
1. Вероятность принимает значения от 0 до 1:
Это интересно
Жорж Бюффон провел 4040 испытаний
по бросанию монеты с целью выяснить
вероятность выпадения герба. Результаты
показали, что относительная частота
выпадения герба составила
Карл Пирсон пошел дальше – он провел
две серии опытов с бросанием монеты: по
12 000 и по 24 000 испытаний. Пирсон выяснил,
что относительная частота выпадения герба
при 12 тысячах испытаниях составила
, а при 24 тысячах опытов –
13
2. Вероятность невозможного события равна нулю:
3. Вероятность достоверного события равна 1:
4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме относительных
частот этих событий:
5. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:
6. Вероятность противоположных событий равна 1:
7. Вероятность произведения независимых событий:
Пример 2.1. Три раза бросают монету. Определить вероятность того, что:
а) герб выпадет ровно два раза; б) герб выпадет хотя бы один раз.
Решение
Обозначим события: А = «герб выпадет ровно два раза»; В = «герб выпадет
хотя бы один раз».
Рассмотрим все исходы опыта, введя условные обозначения: Г – выпал
герб, Р – выпала решка. Тогда возможные исходы опыта:
ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ, РРР
Всего 8 возможных исходов, Исходы, благоприятные событию А:
ГГР, ГРГ, РГГ, всего 3 исхода, Тогда вероятность события А по
классическому определению вероятности:
Исходы, благоприятные событию В: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ,
всего 7 исходов: . Вероятность события В:
14
Вероятность события В можно также найти другим способом. Рассмотрим
противоположное событие
– герб не выпал ни одного раза. Ему благоприятен
только один исход: РРР, то есть
, и вероятность
Тогда вероятность противоположного события – герб выпал хотя бы один
раз:
Пример 2.2. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма очков на них будет равна 5.
Решение
Рассмотрим все возможные исходы опыта (таблица 2.1).
Таблица 2.1. Возможные исходы опыта
1+1
1+2
1+3
1+4
1+5
1+6
2+1
2+2
2+3
2+4
2+5
2+6
3+1
3+2
3+3
3+4
3+5
3+6
4+1
4+2
4+3
4+4
4+5
4+6
5+1
5+2
5+3
5+4
5+5
5+6
6+1
6+2
6+3
6+4
6+5
6+6
Всего исходов, из них благоприятных исходов:
(выделены в таблице). Таким образом, искомая вероятность:
Рассмотрим также геометрическое определение вероятности. Пусть на
плоскости задана некоторая замкнутая область , содержащая в себе другую
замкнутую область (рисунок 2.1). Пусть в области случайным образом
выбирается некоторая точка, тогда вероятность попадания этой точки в область
равна отношению площадей этих областей:
15
Рисунок 2.1. Геометрическое определение вероятности
Пример 2.3 (Задача о встрече). Два грузовика со строительными
материалами прибывают на объект в течение часа. Разгрузка каждого грузовика
занимает 20 минут. Какова вероятность, что оба грузовика будут на объекте
одновременно, если прибытие каждого из них может произойти случайно в
течение условленного времени.
Решение
Пусть – время прибытия первого грузовика, – время прибытия второго.
По условию задачи Встреча состоится, если разница между не
более 20 минут:
Построим область, заданную этим неравенством. Для этого изобразим
линии
Если то Если , то
(рисунок 2.2).
16
Рисунок 2.2. Задача о встрече
Обозначим – площадь квадрата, заданного неравенствами
– площадь закрашенной области, заданной неравенством
. Тогда вероятность попадания в закрашенную область:
Отсюда
17
Контрольные вопросы к §2.
1. Что такое вероятность случайного события?
2. Что такое относительная частота случайного события?
3. Приведите классическое определение вероятности.
4. Чему равна вероятность невозможного события?
5. Чему равна вероятность достоверного события?
6. Чему равна вероятность суммы случайных событий, если они
несовместны?
7. Чему равна вероятность произведения случайных событий, если они
независимы?
8. Приведите геометрическое определение вероятности.
Задания к §2.
2.1. В партии из 1000 изделий есть 8 бракованных. Какова вероятность
того, что контролер возьмет: а) именно бракованное изделие? б) небракованное?
2.2. На предприятии работает 10 женщин и 15 мужчин. На корпоративе был
проведен розыгрыш туристической путевки. Какова вероятность, что путевка
а) достанется женщине? б) Мужчине?
Это интересно
Итальянский математик Джероламо Кардано
написал в XVI веке монографию «Книга об игре в кости»
(1526 г.). Он провёл комбинаторный анализ для значений
суммы очков и указал для разных событий ожидаемое
значение доли «благоприятных» событий: например, при
бросании трех костей доля случаев, когда значения всех
трех костей совпадают, равна 6/216 или 1/36. Кардано
сделал важное замечание: реальное количество
исследуемых событий может при небольшом числе игр
сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр
в серии, тем доля этого различия меньше.
18
2.3. На строительную площадку поступила партия кирпича в 2000 единиц,
из них 500 единиц – силикатного кирпича, 1500 – керамического кирпича. Среди
силикатного кирпича прораб обнаружил 3 битых, среди керамического –
12 битых.
а) Какова вероятность того, что взятый наугад кирпич битый?
б) Какова вероятность того, что взятый кирпич – керамический?
в) Какова вероятность того, что взятый наугад кирпич – керамический и не
битый?
2.4. Какова вероятность, что муха, случайно севшая на бутерброд
(рисунок 2.3), сядет на колбасу? Размер куска хлеба – 1015 см, диаметр
колбасы – 8 см.
Рисунок 2.3. Расположение колбасы на бутерброде
2.5. В круг радиуса вписан правильный треугольник. Найти вероятность
того, что точка, выбранная на круге случайным образом, попадет в этот
треугольник.
2.6 (по задаче о встрече). Два человека договорились встретиться в
оговоренное время в течение часа. Каким должно быть время ожидания, чтобы
вероятность встречи была не менее 0,8?
2.7. Стержень длины ломают в двух случайных точках. Найти
вероятность того, что из обломков стержня можно сложить треугольник.
19
§3. Элементы комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, изучающий задачи выбора
элементов из заданного множества. В таких задачах, как правило, нужно
ответить на вопрос «Сколькими способами?» Например, сколькими способами
можно распределить 3 премии между 20 сотрудниками? Сколько существует
способов расставить машины на парковке предприятия?
Выше мы рассматривали задачи с различными вариантами исхода опытов,
однако решали их методом перебора, выписывая все возможные исходы опыта.
Однако в случае, когда количество исходов опыта зависит от числа комбинаций
элементов некоторого множества, удобно использовать формулы
комбинаторики.
Рассмотрим три основные типа комбинаций элементов множества –
перестановки, сочетания и размещения.
Перестановки – это комбинации всех элементов множества,
различающиеся между только порядком элементов.
Число перестановок элементов вычисляется по формуле:
где – факториал числа
Замечание. Из определения факториала следует соотношение
откуда при получаем, что
Пример 3.1. Сколько аббревиатур можно составить из букв А, Б, В в
разном порядке, и какие?
Решение
Число перестановок:
20
Перечислим эти перестановки:
Пример 3.2. Сколькими способами можно наклеить 5 полос обоев на
стену?
Решение
Полосы можно наклеить в разном порядке,
Пять полос можно наклеить 120 способами (с одним направлением
рисунка, без поворота).
Пример 3.3. Сколькими способами можно расставить 10 автомобилей на
парковке предприятия, если число парковочных мест равно 10?
Решение
10 автомобилей требуется в разном порядке расставить на 10 местах, это
число перестановок:
Сочетания элементов из множества элементов – это
комбинации элементов, которые различаются составом элементов, но порядок
элементов при этом значения не имеет.
Число сочетаний элементов из элементов вычисляется по формуле:
Замечание. Отметим, что для
то есть выбрать 1 элемент из множества п элементов существует ровно п
способов.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]