Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
111
г) Найдем интервал, в котором с вероятностью 95% будет находиться масса
плитки.
Значит,
отсюда
Значит, с вероятностью 95% вес тротуарной плитки составит от 5,6256 до
6,1744 кг.
Контрольные вопросы к §12.
1. Какая случайная величина называется биномиально распределенной?
Приведите пример.
2. Какая случайная величина имеет геометрическое распределение?
Приведите пример.
3. Какая случайная величина называется равномерно распределенной?
Приведите пример.
4. Какая случайная величина имеет показательное распределение?
Приведите пример.
5. Какая случайная величина называется распределенной нормально?
Приведите пример.
6. Что представляет собой правило «трех сигм»?
112
Задания к §12.
12.1. Вероятность того, что на кирпиче после завершения строительства в
зимний период проступит соль, равна 0,01. Для строительства было
использовано 10 тысяч кирпичей. Найти среднее ожидаемое количество
кирпичей с проступившей солью.
12.2. Вероятность поломки одного из трех одинаковых перфораторов
неизвестна. Найти эту вероятность, если известно, что дисперсия числа поломок
перфораторов равна 0,0297.
12.3. Вероятность заключить договор о строительстве равна для данной
фирмы 0,2. а) Какова вероятность того, что менеджер сможет заключить
контракт после трех переговоров? б) Какое среднее число переговоров нужно
провести, чтобы заключить договор?
12.4. Возраст работников равномерно распределен между 23 и 45 годами.
Найти: а) средний ожидаемый возраст сотрудников: б) вероятность того, что
случайно выбранный сотрудник младше 30 лет; в) вероятность того, что из
10 сотрудников половина младше 30 лет.
12.5. Длина трубопровода 10 км, авария может случиться на любом участке
трубопровода. Определить: а) на каком километре трубопровода в среднем
может произойти авария; б) вероятность того, что авария может произойти на
первых трех км трубопровода; в) вероятность того, что авария может произойти
на первых двух или последних двух км трубопровода.
12.6. Производитель утверждает, что средний срок работы светодиодной
лампы равен 10000 часов. Определить вероятность того, что: а) лампа отработает
этот срок; б) из 10 ламп в цехе этот срок отработает 80% ламп.
12.7. Поставщик исследует случайную величину – рост сотрудников
предприятия – для изготовления партии рабочей униформы. Эта величина имеет
нормальный закон распределения с параметрами
Найти: а) вероятность того, что рост сотрудника отклонится от математического
ожидания более, чем на 10 см; б) наиболее вероятное число таких сотрудников,
если на предприятии работает 100 человек.
113
12.8. При производстве деталь проходит проверку на соответствие
качеству. Если ее размер отклоняется от среднего больше, чем на , деталь
бракуется. Средний ожидаемый размер детали: Найти стандартное
отклонение, если вероятность отбраковки детали равна 0,01.
§13. Статистическая обработка данных
В результате эмпирических наблюдений (в результате опыта) на практике
получают некоторый набор данных, которые необходимо проанализировать
математическими методами. В математической статистике изучают случайные
величины и их характеристики распределения, восстанавливая их теоретическое
распределение и его характеристики на основании эмпирических данных.
Приведем основные определения математической статистики.
Генеральная совокупность – это множество всех наблюдаемых элементов
некоторого множества.
Выборка – это часть элементов генеральной совокупности. Количество
наблюдений называется объемом выборки.
Мы будем рассматривать выборки, состоящие из некоторых числовых
значений наблюдаемого признака Х.
Статистический ряд – это последовательность всех элементов выборки,
расположенных в произвольном порядке.
Вариационный ряд – это упорядоченная последовательность значений
(вариант) всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке.
Вариационный ряд может быть дискретным (при небольшом числе
различных значений случайного признака в случае, если случайный признак
является дискретной случайной величиной) и интервальным (при большом числе
значений в случае, если случайный признак является непрерывной случайной
величиной).
114
При повторении некоторых значений выборки принято подсчитывать
частоты, с которой они встречаются. На практике нередко используется
относительная частота (частость) значений случайного признака
где – объем выборки (количество всех наблюдений),
– частота, с которой
встречается определенное значение случайного признака.
Согласно закону больших чисел в форме Э. Бореля, относительная частота
случайного события (в данном случае состоящего в том, что случайный признак
примет то или иное значение) при увеличении объема выборки стремится к
теоретической вероятности этого события.
Дискретный вариационный ряд
Если количество вариант (отдельных значений) признака Х невелико,
вариационный ряд записывают в виде таблицы с указанием отдельных значений
и соответствующих им частот, такой вариационный ряд называется дискретным.
Графически дискретный вариационный ряд можно изобразить с помощью
полигона частот, то есть ломаной, у которой оси абсцисс соответствуют
значения признака , а оси ординат – частоты или относительные частоты этих
значений.
Кумулята частот (относительных частот) – это ломаная, где оси абсцисс
также соответствуют значения признака , а оси ординат – накопленные частоты
(относительные частоты) этих значений, то есть сумма частот (относительных
частот), меньших либо равных определенному значению случайного признака .
Пример 13.1. Степень готовности строительных объектов к сдаче была
получена при приближенной оценке 20 объектов. По заданным выборочным
значениям признака 1) составить дискретный вариационный ряд; 2) найти
относительные частоты и построить полигон относительных частот;
3) построить кумуляту относительных частот.
115
30%
60%
50%
40%
70%
10%
70%
20%
50%
90%
30%
80%
40%
10%
60%
40%
70%
20%
90%
60%
Решение
1) Составим вариационный ряд. Для этого упорядочим данные по
возрастанию:
10%
10%
20%
20%
30%
30%
40%
40%
40%
50%
50%
60%
60%
60%
70%
70%
70%
80%
90%
90%
Подсчитаем частоты, с которыми они встречаются в выборке, и запишем
данные в таблицу. Получим дискретный вариационный ряд.
Значение
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Частота
2 2 2 3 2 3 3 1 2
2) Найдем относительные частоты. Для краткости запишем значение
степени готовности
в виде десятичной дроби.
Значение
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Относительная
частота
0,1
0,1
0,1
0,15
0,1
0,15
0,15
0,05
0,1
Построим полигон относительных частот, отложив по оси абсцисс
значения признака , по оси ординат – относительные частоты
(рисунок 13.1).
3) Подсчитаем накопленные относительные частоты.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2 2 2 3 2 3 3 1 2
2 4 6
9
11
14
17
18
20
116
Рисунок 13.1. Полигон относительных частот дискретного вариационного ряда
Построим кумуляту относительных частот (рисунок 13.2).
Рисунок 13.2. Кумулята относительных частот дискретного вариационного ряда
Интервальный вариационный ряд
Если количество вариант велико (несколько десятков и более), то их
объединяют в интервалы, обычно одинаковой ширины. Такой вариационный
ряд, с указанием числа наблюдений в каждом интервале, называется
интервальным.
117
Число интервалов выбирается произвольно или по формуле Стёрджесса:
где – число наблюдений выборки.
Ширина интервала вычисляется как:
где – число интервалов;
– размах выборки.
Интервальный вариационный ряд можно изобразить с помощью
гистограммы частот, где оси абсцисс также соответствуют значения признака ,
а оси ординат – частоты или относительные частоты этих значений.
Интервальный вариационный ряд также можно изобразить с помощью полигона
частот, где по оси абсцисс отмечают середины интервалов.
Пример 13.2. Масса строительных материалов в грузовом автомобиле
(тонн) была измерена при 20 разгрузках. По заданным выборочным значениям
признака а) составить интервальный вариационный ряд; б) вычислить
относительные частоты и построить гистограмму относительных частот;
в) построить кумуляту относительных частот.
5,42
5,43
5,21
5,22
4,20
5,67
5,00
4,99
4,85
4,58
4,89
4,40
4,81
4,75
5,69
5,60
6,00
4,60
4,43
4,42
Решение.
а) Составим интервальный вариационный ряд. Для этого упорядочим
данные по возрастанию:
4,20
4,40
4,42
4,43
4,58
4,60
4,75
4,81
4,85
4,89
4,99
5,00
5,21
5,22
5,42
5,43
5,60
5,67
5,69
6,00
Размах выборки:
Разобьем данные выборки на 5 интервалов.
Ширина интервала составит:
118
Для удобства, поскольку исходные данные были измерены с точностью до
одного знака после запятой, округлим это значение до 0,4. Составим
интервальный ряд, выписав границы интервалов и подсчитав число наблюдений
в каждом их них.
Замечание. Значения, которые находятся на границе интервалов, следует
включать в один из граничных интервалов.
В данном случае мы включаем их в левый интервал.
Интервал
6 6 4 3 1
б) Вычислим относительные частоты. Общее число наблюдений: .
Относительные частоты:
В качестве
принимаем середины интервалов.
Интервал
Относительная
частота
0,3
0,3
0,2
0,15
0,05
Построим гистограмму относительных частот, отложив по оси абсцисс
значения середины интервалов , по оси ординат – относительные частоты
(рисунок 13.3).
в) Подсчитаем накопленные относительные частоты.
Интервал
6 6 4 3
1
6
12
16
19
20
119
Рисунок 13.3. Гистограмма относительных частот
интервального вариационного ряда
Построим кумуляту относительных частот (рисунок 13.4).
Рисунок 13.4. Кумулята относительных частот
интервального вариационного ряда
120
Числовые характеристики выборки
Основной числовой характеристикой выборки является ее среднее
выборочное значение:
где – объем выборки,
– наблюдаемые значения (в случае интервального ряда
– середины интервалов), – соответствующие им частоты, – число вариант.
Замечание. Среднее выборочное значение является несмещенной оценкой
математического ожидания случайного признака . По теореме Я. Бернулли
(слабый закон больших чисел) среднее выборочное значение сходится по
вероятности к математическому ожиданию:
для любого
Мерой отклонения случайного признака от его среднего значения, а
точнее, квадратом этого отклонения является выборочная дисперсия:
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой теоретической
дисперсии случайного признака Она дает оценку, которая меньше реальной
дисперсии. Несмещенной оценкой дисперсии является исправленная выборочная
дисперсия
:
Мерой отклонения случайного признака от его среднего значения является
выборочное среднеквадратическое отклонение:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]