Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
41
в) Сколько должно быть установлено приборов, чтобы надежность
системы была не менее 99%, если известно, что вероятность отказа каждого из
приборов равна 0,1?
Рисунок 4.4. Схема электрической сети
Решение
а) Обозначим событие – -ый прибор работает нормально, –
система работает. Система будет работать, если работает хотя бы один из
приборов, то есть
. Вероятность этого события:
Так как приборы работают независимо друг от друга, то
б) Если приборов будет , надежность системы станет:
таким
образом, надежность системы уменьшится на величину
в) Установим, сколько должно быть установлено приборов, чтобы
надежность системы была не менее 99%:
Значит, должно быть установлено не менее двух приборов.
42
Контрольные вопросы к §4.
1. Чему равна вероятность суммы несовместных событий?
2. Чему равна вероятность суммы совместных событий?
3. Чему равна вероятность противоположного события?
4. Чему равна вероятность произведения независимых событий?
Задания к §4.
4.1. Пусть события – выпадение герба соответственно при первом,
втором и третьем бросании монеты. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет
все три раза; б) герб не выпадет ни разу; в) герб выпадет хотя бы 1 раз; г) герб
выпадет ровно 2 раза из 3.
4.2. Три товарища, выпускника вуза, собираются пойти на собеседование.
Вероятности того, что каждого из них примут на работу, соответственно равны
Найти вероятность того, что: а) их всех примут на
работу; б) примут на работу двоих из них; в) примут хотя бы одного.
4.3. Инженер проводит два расчета. Вероятность того, что он допустит
ошибку при вычислениях, для первого расчета равна 0,003, а для второго – 0,002.
Что вероятнее, что инженер не допустит ошибки в двух расчетах или что он
ошибется хотя бы в одном из них?
4.4. Работник может сдать квалификационный тест не более трех раз.
Вероятность сдать тест с первой попытки равна 0,5, со второй попытки (при
условии неудачной первой) – 0,7, с третьей попытки (при неудачных первых
двух) – 0,7. Найти вероятность сдачи квалификационного теста.
4.5. Для повышения надежности (вероятности безотказной работы)
производства прибор дублируется вторым идентичным прибором (рисунок 4.5).
При отказе первого прибора происходит переключение на запасной прибор с
помощью переключающего устройства. Надежность каждого прибора равна
, а надежность переключающего устройства Определить
надежность системы.
43
Рисунок 4.5. Схема производства
§5. Условная вероятность
Случайные события называются зависимыми, если наступление одного из
них влияет на наступление другого. Аналогично события называются
независимыми, если наступление одного события не влияет на наступление
другого события.
Например, выпадения определенного числа очков на двух игральных
костях являются независимыми событиями. В то же время выпадение
суммарного числа очков при поочередном бросании двух игральных костей
зависит от того, сколько очков выпало на первой кости.
В инженерной сфере примером независимых событий являются: заявка на
ремонт от независимых абонентов; выполнение этапов производства, не
связанных между собой и т.д. Примером зависимых событий являются: выход из
строя одного элемента электрической цепи при выходе из строя другого
элемента; задержка выполнения одного этапа производства при остановке этапа,
связанного с ним и т.д.
Условной вероятностью события A при условии, что наступило событие
В, называется отношение вероятности пересечения (произведения) этих событий
к вероятности события В:
где , то есть событие В не является невозможным событием.
44
Аналогично условной вероятностью события В при условии, что
наступило событие А, будет:
Пример 5.1. (Задача о везении №1) Какова вероятность того, что при
последовательном подбрасывании игральной кости во второй раз выпадет
6 очков, если в первый раз также выпало 6 очков?
Решение
Обозначим события: – первый раз выпало 6 очков, – второй раз выпало
6 очков.
Вероятность выпадения 6 очков в первый раз:
Событие состоит в том, что оба раза выпадет 6 очков. Его
вероятность:
Тогда
То есть вероятность выпадения шестерки второй раз подряд такая же, как
вероятность выпадения шестерки при каждом подбрасывании игральной кости.
Пример 5.2. (Задача о везении №2) Какова вероятность, что при
99 выпадениях герба при подбрасывании монеты на 100-ый раз все-таки выпадет
решка?
Решение
Обозначим: – 99 раз выпадал герб, – в 100-ый раз выпала решка.
Вероятность того, что 99 раз подряд выпал герб (одна комбинация из
):
45
Вероятность того, что 99 раз выпадал герб и на 100-ый раз выпала решка
(одна комбинация из
):
Тогда условная вероятность того, что выпадет решка, при условии, что 99
раз выпадал герб:
Таким образом, вероятность выпадения решки такая же, как при любом
подбрасывании монеты. Количество выпадений орла в предыдущие попытки
никоим образом не влияет на вероятность выпадения решки при очередном
подбрасывании монеты.
Замечание. В серии однотипных опытов вероятность наступления
случайного события не меняется от опыта к опыту и не зависит от того,
наступило ли событие в прошлом опыте.
По классическому определению вероятности, условная вероятность
равна отношению числа исходов , благоприятных одновременно А и В,
к числу исходов , благоприятных только событию В:
Пример 5.3. На складе 2 оранжевых и 7 черных униформ. Заведующий
складом выдает последовательно две униформы. Какова вероятность того, что
вторая униформа окажется оранжевой, если первая была черной?
Решение
Обозначим события: – первая униформа черная, – вторая униформа
оранжевая. Решим задачу двумя способами.
46
1) Если событие А произошло, то на складе осталось 2 оранжевых и
6 черных униформ. Тогда
2) Найдем условную вероятность по определению:
Вероятность того, что первая форма черная:
Вероятность того, что первая форма черная и вторая оранжевая:
Тогда
Пример 5.4. В цехе №1 из-за скачка напряжение вышло из строя 3 прибора
из 10, в цехе №2 – 2 прибора из 12. Все приборы были сняты с эксплуатации и
присланы на проверку. Наугад проверяют один прибор, какова вероятность, что
он вышел из строя, если он из первого цеха? Какова вероятность, что прибор
вышел из строя, если он из второго цеха? Какова вероятность, что прибор из
первого цеха, если он оказался непригодным?
Решение
Обозначим – прибор вышел из строя, – прибор из первого цеха,
–
из второго цеха. Тогда условная вероятность, что прибор вышел из строя, если
он из второго цеха:
Условная вероятность, что прибор вышел из строя, если он из второго цеха:
47
Найдем вероятность, что прибор из первого цеха, если он оказался
непригодным по определению условной вероятности:
Вероятность того, что прибор из первого цеха и вышел из строя:
Вероятность того, что прибор вышел из строя:
Тогда вероятность, что прибор из первого цеха, если он оказался
непригодным:
Из определения условной вероятности следует, что вероятность
произведения событий равна:
Событие А является независимым от события В, если его условная
вероятность равна безусловной, то есть
Замечание. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не
зависит от события А.
Действительно, из определения условной вероятности события:
если событие А не зависит от события В.
Для независимых событий вероятность произведения событий равна:
48
Эта формула может быть использована для проверки независимости
событий: если , то события А и В зависимы.
Пример 5.5. Бросают игральную кость. Событие А – выпало четное число
очков, событие В – выпало не более 3 очков. Зависимы ли эти события?
Решение
Событие В – выпало 1, 2 или 3 очка. Найдем вероятности этих событий:
Событие состоит в том, что выпало четное число очков не более 3, –
это 2 очка. Вероятность этого события:
Значит, события А и В зависимы.
События
называются независимыми в совокупности, если
каждое из них не зависит от остальных событий. При этом выполняется
равенство:
Замечание. Из попарной независимости событий
не следует
их независимость в совокупности.
Пример 5.6. Имеется четыре флага: красный, синий, белый и трехцветный
(бело-сине-красный). Пусть события А – флаг имеет красный цвет, В – флаг
имеет синий цвет, С – флаг имеет белый цвет. Исследовать эти события на
независимость.
Решение
Вычислим соответствующие вероятности:
49
Событие – флаг имеет красный и синий цвета, – красный и
белый цвета, – синий и белый цвета. Найдем вероятность произведения
событий:
то есть события А и В независимы. Аналогично
то есть события А и С, В и С попарно независимы. В то же время событие
– флаг имеет красный, синий и белый цвета, и его вероятность:
Значит, данные события не являются независимыми в совокупности.
Если события
зависимы, то вероятность их совместного
наступления равна произведению вероятности одного из них на условные
вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого
последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже
наступили:
Пример 5.7. Студент пришел на экзамен, изучив при этом 20 вопросов из
25. Пусть события – студент знает первый вопрос,
– знает и второй вопрос,
– и третий; – студент знает все три вопроса. Найти вероятности этих
событий.
Решение
События
– зависимы. Найдем вероятности:
50
Тогда
Действительно, найдем вероятность события , используя классическое
определение вероятности:
Контрольные вопросы к §5.
1. Какие события называются зависимыми? Приведите пример.
2. Какие события называются независимыми? Приведите пример.
3. Что такое условная вероятность случайного события?
4. Чему равна вероятность произведения зависимых событий?
Задания к §5.
5.1. Автомат производит заготовки. В среднем, одна партия из ста
содержит заготовку с дефектом. Проверяют три партии заготовок на наличие
дефектов. Считая, что наличие заготовок с дефектом в одной партии не связано
с наличием заготовок с дефектом в другой партии, найти вероятность того, что:
а) в каждой из трех партий окажутся заготовки с дефектом; б) все три партии
содержат только заготовки без дефектов; в) хотя бы в одной партии есть
заготовки с дефектом.
5.2. Работа некоторого устройства прекратилась из-за выхода из строя
одного из четырех блоков. Производится замена наудачу взятого блока новым до
тех пор, пока устройство не начнет работать, (новые блоки не заменяются).
Какова вероятность того, что придется заменить: а) один блок; б) два блока;
в) четыре блока?
5.3. Для повышения надежности электросистемы прибор дублируется
четырьмя идентичными приборами, подключенными параллельно (рисунок 5.1).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]