Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
81
Задания к §10.
10.1. Задана функция распределения непрерывной случайной величины:
а) Найти плотность распределения; б) построить графики функции
распределения и плотности распределения; в) найти вероятность того, что при
четырех независимых испытаниях с. в. ровно три раза примет значение из
интервала (2,4; 2,6).
10.2. Профиль имеет длину м. Пусть случайная величина –
расстояние от конца профиля, на котором профиль может быть сломан при
деформации. Закон распределения с. в. задан плотностью распределения:
а) Найти коэффициент и построить график плотности распределения;
б) найти вероятность того, что место слома профиля будет расположено не
дальше, чем в
от середины профиля.
10.3. Пусть – непрерывная случайная величина, равная толщине слоя
снега, выпадающего зимой. Задана ее плотность распределения:
а) Найти коэффициент и построить график плотности распределения;
б) найти вероятность того, что толщина снега составит не менее 10 см.
10.4. Плотность распределения непрерывной с. в. задана графически
(рисунок 10.5). Найти: а) формулу плотности распределения; б) функцию
распределения; в) вероятность того, что с. в. примет значения от
82
Рисунок 10.5. Плотность распределения с. в.
§11. Числовые характеристики случайных величин
Числовыми характеристиками случайных величин называются величины,
характеризующие отдельные свойства их закона распределения. К ним относятся
математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и
другие.
Математическое ожидание случайной величины – это ее среднее
ожидаемое значение.
Математическое ожидание дискретной случайной величины ,
принимающей значения с вероятностями
вычисляется по формуле:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины ,
заданной плотностью распределения , вычисляется по формуле:
Если этот несобственный интеграл расходится, то говорят, что с. в. не
имеет математического ожидания.
83
Математическое ожидание (м. о.) случайной величины имеет следующие
свойства:
1. м. о. константы равно этой константе:
2. постоянный множитель можно вынести за знак м. о.:
3. м. о. суммы случайных величин равно сумме их математических
ожиданий:
4. м. о. произведения независимых случайных величин равно
произведению их математических ожиданий:
5. м. о. отклонения случайной величины от ее м. о. равно нулю:
Пример 11.1. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, из них 10 билетов
дают выигрыш в размере 500 руб., 50 – выигрыш в размере 50 руб., 100 –
в размере 10 руб. а) Определить среднее ожидаемое значение выигрыша;
б) исходя из этого, определить стоимость билета, при которой организаторы
лотереи не понесут убытки; в) определить прибыль от продажи 1000 билетов,
если стоимость билета составляет 12 руб.
Решение
а) Обозначим – размер выигрыша.
84
Запишем закон распределения:
500
50
10
0 0,01
0,05
0,1
0,84
Математическое ожидание:
б) Значит, лотерейный билет не должен стоить меньше 8,5 руб.
в) Прибыль от продажи 1000 билетов, если стоимость билета составляет
12 руб.:
Замечание. Математическое ожидание функции дискретной
случайной величины вычисляется по формуле:
и для непрерывной случайной величины
Пример 11.2. На строительной площадке работает два грузовика.
Случайная величина – количество грузовиков, находящихся в ремонте, имеет
следующий закон распределения:
0 1 2 0,75
0,2
0,05
Издержки, связанные с простоем грузовиков, задаются формулой:
85
Определить среднюю ожидаемую сумму издержек.
Решение
Найдем математическое ожидание с. в.
Дисперсией случайной величины (от лат. dispersio – рассеяние)
называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от среднего
ожидаемого значения:
Согласно определению, дисперсия дискретной случайной величины ,
принимающей значения с вероятностями
вычисляется по формуле:
Дисперсия непрерывной случайной величины , заданной плотностью
распределения , вычисляется по формуле:
Это интересно
Еще в VII веке в трактате Христиана Гюйгенса
(1657 г.) было введено понятие математического
ожидания, то есть теоретического среднего
значения случайной величины. Гюйгенс также указал
классический способ его подсчёта:
«Если число случаев, в которых получается
сумма , равно , а число случаев, в которых получается
сумма , равно , то стоимость моего ожидания
равна
».
86
На практике удобнее использовать следующую формулу для вычисления
дисперсии:
Действительно,
Тогда дисперсия дискретной с. в. может быть вычислена по формуле:
и дисперсия непрерывной с. в.:
Исходя из определения дисперсии и свойств математического ожидания,
дисперсия имеет следующие свойства:
1. дисперсия принимает неотрицательные значения:
2. дисперсия постоянной величины равна нулю:
3. постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии (в квадрате):
4. дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий:
5. дисперсия произведения независимых случайных величин равна:
87
Действительно, по определению дисперсии:
для независимых величин , поэтому
Для оценки отклонения случайной величины от ее среднего ожидаемого
значения той же размерности, что и с. в., используют среднеквадратическое, или
стандартное, отклонение , равное корню из дисперсии с. в.:
Свойства стандартного отклонения (с. о.) случайной величины следуют из
свойств дисперсии:
1. с. о. постоянной величины равно нулю:
2. постоянный множитель можно вынести за знак с. о. (под модулем):
3. с. о. суммы (разности) независимых случайных величин равно:
4. с. о. произведения независимых случайных величин равно:
Пример 11.3. В условиях примера 11.1 найти дисперсию и стандартное
отклонение случайной величины – суммы выигрыша.
Решение
Запишем закон распределения с. в. :
88
500
50
10
0 0,01
0,05
0,1
0,84
Математическое ожидание: руб. Вычислим
Тогда дисперсия:
и стандартное отклонение:
Пример 11.4. Пусть – срок службы прибора – описывается плотностью
распределения:
Найти: а) математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение
срока службы прибора; б) исходя из величины математического ожидания срока
службы, определить, сколько понадобится таких приборов предприятию на пять
лет, если при производстве одновременно используется 10 таких приборов.
Решение
а) Найдем математическое ожидание:
Интегрируем по частям:
89
Найдем
Интегрируем по частям дважды:
Дисперсия:
90
Стандартное отклонение:
б) Определим, сколько в среднем понадобится таких приборов
предприятию на пять лет, если при производстве одновременно используется 10
таких приборов:
Значит, в среднем (округляя до целых) понадобится 33 таких прибора.
Коэффициентом асимметрии случайной величины называется
величина:
где – математическое ожидание, – дисперсия с. в.
Коэффициент асимметрии характеризует асимметрию распределения
случайной величины. Если , то кривая распределения более полога справа
от . Если , то кривая распределения более полога слева от . Если
, то распределение случайной величины симметрично относительно ее
математического ожидания (рисунок 11.1).
Рисунок 11.1. Асимметрия распределения с. в.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]