Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
21
Для
и для
то есть выбрать ноль предметов или выбрать все предметы можно одним
способом.
Пример 3.4. Сколько пар букв можно выбрать из букв А, Б, В, Г, Д, и
какие?
Решение
Число сочетаний:
Перечислим эти сочетания:
Пример 3.5. Сколькими способами можно выбрать 2 студента из группы
25 студентов для помощи в библиотеке?
Решение
Порядок выбора значения не имеет, это также число сочетаний:
Значит, выбрать двух помощников можно 300 способами.
Пример 3.6. Сколькими способами можно выбрать для проверки качества
3 изделия из 20?
Решение
Порядок выбора и проверки не имеет значения, значит, это число
сочетаний:
22
Значит, существует 45 вариантов проверки изделий.
Размещения элементов из множества элементов – комбинации
элементов, различающиеся между собой не только составом элементов, но и
их порядком.
Число размещений вычисляется по формуле:
Замечание. Отметим также, что для
то есть выбрать 1 элемент из множества п элементов существует ровно п
способов.
Пример 3.7. Сколько аббревиатур из двух букв можно составить из букв
А, Б, В, Г без повторения, и какие?
Решение
Число размещений:
Перечислим эти размещения:
23
Замечание. Число размещений, сочетаний и перестановок связывает
следующее равенство:
Пример 3.8. Сколькими способами можно выбрать старосту и его
заместителя из группы 25 студентов?
Решение
Выбирается 2 элемента из множества 25 элементов, при этом порядок
элементов имеет значение (например, Петров – староста, Иванов – зам или
Петров – зам, Иванов – староста – это различные комбинации).
Значит, при количестве студентов 25 человек старосту и его заместителя
можно выбрать 600 способами.
Пример 3.9. Сколько электросхем можно составить последовательно из
трех элементов цепи, если в наличии имеется 30 элементов?
Решение
Выбирается 3 элемента из 30, при этом порядок элементов имеет значения.
Значит, это число размещений:
Значит, существует 24360 вариантов возможных последовательных схем.
Пример 3.10. Студенты изучают в семестре 10 дисциплин. Сколькими
способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот
день должно быть четыре различных занятия?
Решение
Необходимо выбрать 4 элемента из 10, их порядок имеет значение:
24
Замечание. Отметим, что число комбинаций (перестановок, сочетаний и
размещений) – всегда целое число.
Формулы вычисления числа перестановок, сочетаний и размещений
используются при решении задач на нахождение вероятностей случайных
событий. Приведем схему, по которой можно определить вид комбинации
элементов изучаемого множества и необходимую формулу (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1. Схема определения числа комбинаций
Приведем далее примеры применения комбинаторных формул для
вычисления вероятности случайного события.
Пример 3.11. В лотерее необходимо угадать 6 чисел из 36. Какова
вероятность выиграть джек-пот?
Все элементы
входят в
комбинацию?
Число
перестановок:
да
нет
Порядок
имеет
значение?
да
Число
размещений:
нет
Комбинация элементов
множества
Число сочетаний:
25
Решение
Всего способов выбрать комбинацию из 6 чисел:
а) вероятность выиграть джек-пот.
Выигрышных комбинаций: . По классическому определению
вероятности:
Таким образом, вероятность выигрыша в такую лотерею приблизительно
равна 1:2 000 000.
Пример 3.12. На склад поступило 5 бракованных изделий и 23 –
стандартного качества. Наугад выбирают 3 изделия.
а) Сколькими способами можно выбрать 3 изделия?
б) Сколькими способами можно выбрать 3 небракованных изделия?
в) Сколькими способами можно выбрать 3 бракованных изделия?
г) Найти вероятность того, что 3 выбранных случайным образом изделия –
бракованные.
д) Найти вероятность того, что партия изделий будет забракована, если
известно, что партия признается бракованной, если при проверке трех изделий
хотя бы одно – бракованное.
Решение
Это интересно
Самый большой джек-пот в истории лотереи – $1 586 400 000 – был
разыгран в США в 2016 г. Выигрыш разделили сразу три победителя. По
правилам лотереи, необходимо угадать пять основных чисел от 1 до 69 и
одно число «Powerball» от 1 до 26. Вероятность угадать такую комбинацию
равна приблизительно
26
Всего 5+23=28 изделий. Порядок выбора изделий не имеет значения, это
число сочетаний.
а) Способов выбрать 3 изделия случайным образом:
б) Способов выбрать 3 небракованных изделия:
в) Способов выбрать 3 бракованных изделия:
г) Обозначим: событие А – три изделия бракованные. По классическому
определению вероятности:
д) Обозначим: событие B – партия признана бракованной, то есть среди
трех изделий хотя бы одно бракованное. Противоположное событие
– среди
трех изделий нет бракованных. По классическому определению вероятности:
Тогда вероятность того, что партия будет признана бракованной:
Пример 3.13. В условиях примера 3.12 определить число деталей,
подлежащих проверке, чтобы партия была признана бракованной с
вероятностью, меньшей 0,25.
Решение
Как и в прошлом примере, обозначим событие B – партия признана
бракованной, то есть среди трех изделий хотя бы одно бракованное.
Противоположное событие
– среди трех изделий нет бракованных. По
классическому определению вероятности:
27
Пусть число проверяемых изделий равно , тогда
Тогда
Тогда вероятность того, что партия будет признана бракованной:
Получим неравенство
Решим его графически (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2. График функции
28
При ограничениях
получим решения:
Значит, чтобы вероятность признания партии изделий бракованной была
менее 0,25, необходимо проверить не более двух деталей.
Пример 3.14. В условиях примера 3.12 определить возможное число
бракованных деталей, если вероятность того, что при проверке трех изделий нет
бракованных, должна быть не меньше 0,85.
Решение
В введенных ранее обозначениях событие
– среди трех изделий нет
бракованных. По классическому определению вероятности:
Пусть число бракованных изделий равно , тогда
Тогда
Решим его графически (рисунок 3.3).
При ограничениях
получим решения:
29
Значит, чтобы вероятность того, что при проверке трех случайно
выбранных изделий не будет бракованных, была больше 0,85, бракованных
изделий в партии должно быть не более 1.
Рисунок 3.3. График функции
Рассмотрим далее важные правила комбинаторики, необходимые для
подсчета комбинаций элементов из более чем одного множества.
Правило сложения.
Если элемент х можно выбрать т способами, а элемент у – п способами, то
набор элементов (х или у) можно выбрать т+п способами.
Пример 3.15. На предприятии работает 5 женщин и 30 мужчин. Сколькими
способами можно выбрать двух работников одного пола, чтобы отправить их в
командировку?
Решение
Способов выбрать двух женщин (порядок не имеет значения, это число
сочетаний):
30
Способов выбрать двух мужчин:
По правилу сложения способов выбрать двух работников одного пола:
Правило умножения.
Если элемент х можно выбрать способами, а элемент у – способами,
то набор элементов (х и у) можно выбрать способами.
Пример 3.16. На предприятии работает 20 работников 5-ого тарифного
разряда и 30 работников 6-ого тарифного разряда. Определить, сколькими
способами можно выбрать трех человек для курсов повышения квалификации,
если необходимо отправить на них двух работников 5-ого разряда и одного –
6-ого разряда.
Решение
Способов выбрать двух работников 5-ого разряда (порядок выбора не
имеет значения):
Способов выбрать одного работника 6-ого разряда:
Тогда по правилу умножения способов выбрать двух работников 5-ого и
одного 6-ого разрядов:
Пример 3.17. В лотерее необходимо угадать 6 чисел из 36. Какова
вероятность угадать 5 чисел из 6?
Решение
Всего способов выбрать комбинацию из 6 чисел:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]