Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
121
Выборочное среднеквадратическое отклонение, так же как выборочная
дисперсия, является смещенной оценкой среднеквадратического отклонения.
Несмещенной оценкой является исправленное среднеквадратическое
отклонение:
Замечание. При большом объеме выборки исправленная и выборочная
дисперсии мало отличаются:
Выборочный коэффициент вариации характеризует, насколько выборка
однородна:
где – выборочное среднеквадратическое отклонение, – среднее выборочное
значение. Если коэффициент вариации больше 30%, выборку следует считать
неоднородной.
В качестве структурных средних значений выборки используют также
такие показатели, как моду и медиану выборки.
Мода выборки – наиболее часто встречающееся значение признака. Если
таких значений несколько, выборка называется полимодальной.
Мода применяется в качестве оценки средних значений, когда выборка
достаточно неоднородна, и требуется определить наиболее часто встречающиеся
значения – например, наиболее популярный размер одежды, наиболее
востребованный в городской местности объем двигателя автомобиля, наиболее
часто покупаемый объем пищевой тары и т.д.
Мода интервального вариационного ряда:
122
где – начало модального интервала (интервала с наибольшей частотой),
– ширина интервала, – частота модального интервала,
– частота
предмодального интервала,
– частота послемодального интервала.
Медиана выборки – значение случайного признака, находящееся
посередине упорядоченной выборки. В случае, если дискретный вариационный
ряд содержит четное число наблюдений, медианой является среднее
арифметическое центральных значений упорядоченной выборки.
Медиана в качестве оценки структурных средних значений выборки также
применяется в случае, если выборка неоднородна. Например, для определения
среднего дохода населения, среднего возраста для анализа старения населения и
т.д.
Медиана интервального вариационного ряда:
где
– начало медианного интервала (интервала, в котором сумма
накопленных частот впервые превышает половину объема выборки), – ширина
интервала, – частота медианного интервала, – объем выборки,
–
накопленная частота предмодального интервала.
Пример 13.3. Дан вариационный дискретный ряд степени готовности
строительных объектов к сдаче, полученный при наблюдениях 20 строительных
объектов. Вычислить числовые характеристики выборки: среднее выборочное
значение , выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое
отклонение; исправленную выборочную дисперсию и исправленное выборочное
среднеквадратическое отклонение; моду Мо и медиану Ме, коэффициент
вариации.
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
2 2 2 3 2 3 3 1 2
123
Решение
Найдем числовые характеристики выборки. Составим расчетную таблицу.
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
0,1
0,1
0,1
0,15
0,1
0,15
0,15
0,05
0,1
1
0,01
0,02
0,03
0,06
0,05
0,09
0,105
0,04
0,09
0,495
0,001
0,004
0,009
0,024
0,025
0,054
0,0735
0,032
0,081
0,3035
Среднее выборочное значение :
Среднее значение степени готовности строительных объектов к сдаче в
выборке составляет 0,495, или 49,5%.
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднеквадратическое отклонение:
Исправленная выборочная дисперсия:
Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:
124
Как видим, исправленная дисперсия и исправленное среднеквадратическое
отклонение дают бóльшую оценку, чем выборочная дисперсия и выборочное
среднеквадратическое отклонение соответственно.
В нашем случае выборка содержит три значения признака с наибольшей
частотой 3, то есть выборка имеет три моды:
Полимодальное распределение говорит о неоднородности выборки.
Подсчитаем накопленные относительные частоты.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2 2 2 3 2 3 3 1 2
2
4
6
9
11
14
17
18
20
В нашем случае рассмотрим значение признака, при котором накопленная
частота
впервые превысила
(накопленная частота составила ):
Таким образом, медиана выборки составляет 0,5, или 50%.
Коэффициент вариации:
Так как коэффициент вариации больше 30%, данную выборку следует
считать неоднородной.
Пример 13.4. Дан интервальный ряд массы строительных материалов в
грузовом автомобиле, измеренной при 20 разгрузках (тонн). Вычислить
числовые характеристики выборки: среднее выборочное значение ,
выборочную дисперсию и выборочное среднеквадратическое отклонение;
исправленную выборочную дисперсию и исправленное выборочное
среднеквадратическое отклонение; моду Мо и медиану Ме, коэффициент
вариации.
125
Интервал
6 6 4 3 1
Решение
Найдем числовые характеристики выборки. Составим расчетную таблицу.
Интервал
Середина интервала,
4,4
6
0,3
26,4
5,808
4,8
6
0,3
28,8
6,912
5,2
4
0,2
20,8
5,408
5,6
3
0,15
16,8
4,704
6
1
0,05 6 1,8
Сумма
20 1 98,8
24,632
Среднее выборочное значение :
Средняя масса груза в выборке составляет 4,940 тонны.
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднеквадратическое отклонение:
126
Исправленная выборочная дисперсия:
Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:
Найдем моду выборки. В нашем случае интервальный ряд содержит
2 интервала с наибольшей частотой 6, то есть выборка имеет 2 моды.
Первый модальный интервал: .
Второй модальный интервал: :
Как видим, моды совпадают, то есть мода выборки равна 4,6 тонн.
Для нахождения медианы подсчитаем накопленные относительные
частоты.
Интервал
6 6 4 3
1
6
12
16
19
20
Медиана интервального вариационного ряда:
Медианный интервал: , в котором накопленная частота 12
впервые превышает половину объема выборки
127
Таким образом, в половине случаев масса загрузки грузового автомобиля
меньше 4,867 тонны, а в половине – больше.
Коэффициент вариации:
Так как коэффициент вариации меньше 30%, данную выборку можно
считать однородной.
Контрольные вопросы к §13.
1. Что такое генеральная совокупность?
2. Что такое выборка?
3. Приведите определение статистического и вариационного ряда.
4. Что такое дискретный вариационный ряд? Как его изобразить
графически?
5. Что такое интервальный вариационный ряд? Как его изобразить
графически?
6. Приведите определение среднего выборочного значения и формулу для
его вычисления.
7. Приведите определение выборочной дисперсии и формулу для ее
вычисления.
8. Что такое мода вариационного ряда? Как вычисляется мода
интервального вариационного ряда?
9. Что такое медиана вариационного ряда? Как вычисляется медиана
вариационного ряда?
10. Как вычисляется коэффициент вариации и что он характеризует?
128
Задания к §13.
13.1-13.4. В результате наблюдений были получены значения числа
покупателей отдела супермаркета (человек в день). По заданным выборочным
значениям:
1) составить дискретный вариационный ряд;
2) вычислить относительные частоты;
3) построить полигон относительных частот;
4) вычислить числовые характеристики выборки: среднее выборочное
значение , моду Мо и медиану Ме, коэффициент вариации.
13.1.
40
50
35
43
43
45
36
36
45
38
46
33
36
40
45
33
50
48
43
46
13.2.
27
25
24
20
28
26
26
28
29
22
24
21
25
22
24
21
29
27
23
23
13.3.
20
17
17
20
23
16
17
20
20
22
19
16
24
22
16
23
16
19
22
24
13.4.
30
34
38
42
41
35
37
35
41
37
40
35
30
38
30
41
40
37
37
32
13.5-13.7. В результате наблюдений были получены значения дневной
выручки торговых точек сети кофеен ( ). По заданным выборочным
значениям признака :
1) составить интервальный вариационный ряд;
2) вычислить относительные частоты;
3) построить гистограмму относительных частот;
129
4) вычислить числовые характеристики выборки: среднее выборочное
значение , моду Мо и медиану Ме, коэффициент вариации.
13.5.
6,67
4,67
6,67
6,00
5,56
5,11
6,22
6,00
6,22
4,89
6,44
5,78
5,33
6,22
4,14
4,34
6,22
6,44
4,67
4,24
13.6.
13,12
17,14
12,54
12,55
13,68
14,29
16,00
12,00
16,57
11,43
14,45
12,02
16,00
14,53
14,75
12,57
15,35
13,71
11,42
17,14
15,43
17,23
11,39
14,86
17,33
13,14
14,45
14,77
16,48
16,32
13.7.
16,50
18,75
17,25
21,75
21,75
21,00
21,00
16,50
18,75
19,50
17,25
16,50
17,25
18,00
20,25
16,50
15,00
21,00
21,00
22,50
15,75
15
21
15,75
20,25
21
17,25
21
21
16,5
21,75
15,75
15,75
18
21,75
15
20,25
15,75
16,5
18
§14. Элементы регрессионного анализа
Корреляционная связь – это статистическая связь между случайными
величинами, когда изменение одной из них ведет к изменению другой. Факторы,
которые влияют на исследуемый признак, называют факторными, а сам
исследуемый признак – результативным. На практике на результативный
признак воздействует несколько факторных признаков – например, на свойства
сплава влияет температура, наличие примесей, давление, которому он
подвергается и т.п.; на скорость автомобиля влияет качество дорожного
покрытия и материал шин, наличие льда на дороге и т.д.
Зависимость между случайными признаками называется регрессией.
Уравнения, описывающие связь между факторными и результативным
признаком, называются уравнениями регрессии.
130
В рамках данного курса мы рассмотрим случай парной регрессии, то есть
зависимость результативного признака от одного факторного. В этом случае в
результате серии испытаний имеется двумерная выборка – это выборка,
состоящая из наблюдаемых значений пары случайных признаков и .
Пусть двумерная выборка имеет объем
Графически данные выборки можно изобразить как корреляционное поле,
представляющее собой множество точек, абсциссы которых соответствуют
значениям признака , ординаты – значениям признака (рисунок 14.1).
Характеристиками силы и направления связи между двумя признаками
являются ковариация признаков и и коэффициент корреляции.
Выборочная ковариация признаков и определяется как:
где
Это интересно
Термин «регрессия» в математической
статистике впервые ввел Фрэнсис Гальтон (18221911 гг.) – британский антрополог, психолог, географ
и статистик. При изучении зависимости роста
родителей и детей он обнаружил, что у родителей с
высоким ростом часто рождаются дети с ростом,
близким к среднему в популяции. Дословно этот
термин обозначает результат регресса и происходит
от лат. regression – движение назад.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]