Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
51
Надежность каждого прибора (вероятность безотказной работы) равна
а) Найти надежность электросистемы; б) сколько приборов должна содержать
электросистема, чтобы ее надежность была не менее 0,95?
Рисунок 5.1. Схема электросистемы
5.4. Изделие поступает в продажу, если пройдет три стадии
последовательного контроля: 1) контроль на конвейере, с вероятностью
; 2) соответствие ГОСТу с вероятностью или ТУ с
вероятностью ; 3) маркетинговый контроль с вероятностью
(рисунок 5.2). Какова вероятность, что изделие поступит в продажу?
Рисунок 5.2. Схема контроля производства
§6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Пусть события
попарно несовместны и образуют полную
группу событий, и событие происходит в результате опыта при условии
52
наступления одного из этих событий. Тогда имеет место формула полной
вероятности:
Действительно, так как события
образуют полную группу
событий, то
с другой стороны,
События
принято называть гипотезами. Они описывают
возможные результаты первого этапа опыта, а событие – один из возможных
результатов следующего этапа опыта.
Пример 6.1. На предприятие поступает 20% продукции с первого завода,
50% – со второго завода, остальная продукция – с третьего завода. При этом
продукция первого завода содержит 2% брака, продукция второго завода – 3%
брака, третьего – 4%. Найти вероятность, что наугад выбранное изделие –
бракованное.
Решение
Обозначим: гипотезы – изделие первого завода, – второго,
–
третьего, событие – изделие бракованное. По условию,
Тогда по формуле полной вероятности вероятность того, что изделие
бракованное:
Пример 6.2. Завод в среднем производит 0,5% брака. Изделие проверяет
контролер, который может обнаружить дефект с вероятностью 0,99. Контролер
может также по ошибке забраковать качественное изделие с вероятностью 0,01.
Какова вероятность того, что изделие будет признано качественным?
53
Решение
Обозначим: гипотезы – изделие бракованное,
– изделие
качественное; событие – изделие признано качественным. По условию,
тогда
По формуле полной вероятности вероятность того, что изделие будет
признано качественным:
Пусть события
образуют полную группу событий, и событие
произошло в результате опыта при условии наступления одного из этих
событий. Тогда условная вероятность наступления события
при условии, что
произошло событие , вычисляется по формуле Байеса:
где безусловная вероятность события вычисляется по формуле полной
вероятности:
Действительно, применяя определение условной вероятности и формулу
вероятности произведения событий, получим:
Это интересно
Томас Байес (1702-1761) родился в
Лондоне в семье священника,
впоследствии он также стал священником.
При его жизни было опубликовано всего
две печатные работы, одна из них
богословская, другая – по математике.
54
Пример 6.3. В условиях примера 6.1 определить, каким заводом, вероятнее
всего, изготовлено изделие, если оно оказалось бракованным.
Решение
Как было сказано выше,
По формуле Байеса, при условии, что изделие оказалось бракованным,
вероятность того, что это изделие первого завода:
второго завода:
и третьего завода:
Значит, наиболее вероятно, что это изделие второго завода.
Пример 6.4. В условиях примера 6.2 найти вероятность того, что изделие
признано бракованным по ошибке.
Решение
Обозначим: гипотезы – изделие бракованное,
– изделие
качественное; событие – изделие признано бракованным. Как и в примере 6.2,
По условию,
По формуле полной вероятности вероятность того, что изделие будет
признано бракованным:
55
По формуле Байеса вероятность того, что изделие признано бракованным
по ошибке, то есть при условии, что оно было качественным:
Таким образом, бльшая часть изделий признается бракованной по
ошибке, и работу контролера следует признать неудовлетворительной.
Контрольные вопросы к §6.
1. Что такое полная группа событий?
2. Приведите формулу полной вероятности.
3. Что называется гипотезами в формуле полной вероятности?
4. Приведите формулу Байеса.
Задания к §6.
6.1. В цехе работает 8 автоматических станков и 6 полуавтоматических.
Автоматический станок изготавливает продукцию высшего сорта с
вероятностью 0,99, а полуавтоматический – с вероятностью 0,92. Какова
вероятность того, что: а) цех выпустит изделие высшего сорта; б) изделие
высшего сорта изготовлено автоматическим станком?
6.2. На предприятии работает 20 сотрудников. Из них 5 имеет стаж менее
3 лет, 12 – стаж от 3 до 10 лет, остальные – более 10 лет. Вероятность получить
премию для сотрудников со стажем менее 3 лет составляет 25%, от 3 до 10 лет –
36%, более 10 лет – 40%. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный
сотрудник получит премию? б) При условии, что сотрудник получил премию,
какой стаж у него вероятнее всего?
6.3. Из 40 изделий 35 первого сорта, остальные – второго. Наугад
проверяют два изделия. При проверке какого изделия, первого или второго,
вероятность того, что оно второго сорта, выше?
56
6.4. В первой партии изделий брак составил 1%, во второй – неизвестно.
Объем первой партии в 3 раза больше, чем второй. В среднем по двум партиям
брак составил 1,2%. Какова вероятность брака во второй партии?
6.5. На строительной площадке работает два датчика охранной
сигнализации, которые никогда не срабатывают одновременно. Вероятность
срабатывания сигнализации при нарушении охранного контура на первом
датчике 0,03, на втором – 0,07. Охранный контур нарушается в среднем с
вероятностью 0,06 за смену. Какова вероятность того, что сработал второй
датчик?
§7. Независимые испытания. Схема Бернулли
Опыты (испытания) называются независимыми, если результат одного
опыта не зависит от результата других опытов. Это происходит в том случае,
если для каждого опыта воссоздаются одинаковые условия его проведения.
Примерами независимых испытаний могут быть: подбрасывание монеты или
игральной кости, проверка изделий на брак и т.д.
Пусть проводится серия независимых испытаний, в каждом из которых
случайное событие может произойти с вероятностью и не произойти
с вероятностью
Такая последовательность опытов называется
схемой Бернулли. Вероятность того, что событие произойдет ровно раз в
испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:
Действительно, если событие произойдет раз с вероятностью , то
противоположное событие
произойдет
раз с вероятностью
,
причем эти события могут происходит в разном порядке. Число таких
комбинаций событий и определяется выбором порядковых номеров
опытов, в которых произойдет событие , и равно
57
Пример 7.1. Вероятность того, что оборудование на строительном объекте
отработает гарантийный срок, равна 0,85. а) Какова вероятность того, что
оборудование на трех объектах из пяти отработает гарантийный срок? б) Какова
вероятность того, что на половине объектов из четырех оборудование отработает
гарантийный срок? Опишите возможные исходы опытов. в) Какова вероятность,
что из четырех объектов не более чем на одном оборудование выйдет из строя
раньше гарантийного срока?
Решение
а) Обозначим: По формуле Бернулли:
б)
Опишем возможные исходы опыта, обозначив – оборудование на одном
из объектов отработает гарантийный срок. Возможные исходы опыта:
в) Не более чем на одном объекте оборудование выйдет из строя раньше
гарантийного срока – на всех объектах оборудование отработает гарантийный
срок или только на одном выйдет из строя:
Наиболее вероятное число наступления события в серии опытов
определяется следующим неравенством:
где – вероятность наступления события в каждом из опытов,
58
Пример 7.2. Известно, что вероятность рождения девочки равна 0,49.
а) Найти вероятность того, что среди троих детей в семье родятся
3 девочки; 2 девочки и 1 мальчик; 1 девочка и 2 мальчика; 3 мальчика. Сделать
вывод о наиболее вероятном исходе.
б) Определить наиболее вероятное число девочек среди 100 случайным
образом выбранных детей.
Решение
а) По формуле Бернулли вероятность рождения
3 девочек:
Вероятность рождения 2 девочек и 1 мальчика:
Вероятность рождения 1 девочки и 2 мальчиков:
Вероятность рождения 3 мальчиков:
Таким образом, наиболее вероятный исход – в семье с тремя детьми
1 девочка и 2 мальчика.
б)
Наиболее вероятное число девочек среди 100 детей:
На практике при вычислениях наиболее вероятного числа наступления
события в серии опытов можно использовать приближенную формулу:
59
Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом
испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностями
. Вероятность появления раз ого события, при
испытаниях находится по формуле:
где Эта формула называется обобщенной формулой
Бернулли.
Пример 7.3. В партии изделий 80% изделий первого сорта, 15% – второго,
5% – третьего сорта. Для проверки взяли наугад 6 изделий. Какова вероятность
того, что среди них три изделия первого сорта, два изделия второго сорта и одно
изделие третьего сорта?
Решение.
По обобщенной формуле Бернулли:
Это интересно
Якоб Бернулли (1655-1705), чьим именем
названа формула вычисления вероятности
наступления события в серии независимых опытов,
читал лекции по физике в Базельском университете.
Позже он самостоятельно начал изучать
дифференциальное и интегральное исчисление, а
заодно приобщил к этому брата Иоганна. Физик
Даниил Бернулли, один из создателей
кинетической теории газов, гидродинамики и
математической физики, был его племянником.
60
Контрольные вопросы к §7.
1. Что такое независимые опыты? Приведите пример.
2. Что такое схема Бернулли? Приведите пример.
3. Приведите формулу Бернулли.
4. Как вычислить наиболее вероятное число наступления случайного
события в серии опытов?
Задания к §7.
7.1. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,99. Сколько
деталей должно быть в партии, чтобы наиболее вероятное число бракованных
деталей равнялось 10?
7.2. Вероятность того, что работник предприятия находится на
больничном, равна 0,01. Какова вероятность того, что из 6 сотрудников отдела^
а) ровно два находятся на больничном; б) хотя бы один находится на
больничном?
7.3. Вероятность выявления хотя бы одного нарушения правил трудового
распорядка на предприятии при четырех проверках равна 0,59. Какова
вероятность нарушения правил, если при каждой проверке она одинакова?
7.4. Устройство состоит из пяти независимых элементов, каждый из
которых работает с надежностью 0,6. Устройство продолжает работу, если
откажет 1 или 2 элемента, но со сниженной эффективностью. Устройство
отказывает, если вышло из строя более двух элементов. Найти вероятности того,
что: а) не откажет ни один элемент; б) устройство откажет; в) устройство
работает со сниженной эффективностью.
7.5. Вероятность отказа прибора при испытании составляет 0,2. Сколько
таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно
было считать, что произойдет не менее трех отказов прибора?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]