Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
91
Коэффициентом эксцесса случайной величины называется величина:
где – математическое ожидание, – дисперсия с. в.
Коэффициент эксцесса характеризует островершинность распределения
случайной величины. Если , то пик распределения около математического
ожидания острый (рисунок 11.2). Если , то пик распределения около
математического ожидания гладкий. Если , то пик распределения
считается нормальным.
Рисунок 11.2. Островершинность распределения с. в.
Пример 11.5. На строительной площадке работает два грузовика.
Случайная величина – количество грузовиков, находящихся в ремонте, имеет
следующий закон распределения:
0 1 2
0,25
0,7
0,05
а) построить многоугольник распределения; б) найти математическое
ожидание и дисперсию с. в. ; в) вычислить коэффициенты асимметрии и
эксцесса.
Решение
92
а) Построим многоугольник распределения (рисунок 11.3).
Рисунок11.3. Многоугольник распределения с. в.
б) Найдем математическое ожидание и дисперсию с. в. .
в) Вычислим коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Значит, центр симметрии распределения смещен вправо, ломаная
распределения более пологая слева от математического ожидания.
Вычислим коэффициент асимметрии:
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
93
Значит, распределение островершинное.
Пример 11.6. Случайная величина – толщина слоя снега, выпадающего
зимой. Задана ее плотность распределения:
а) построить график плотности распределения; б) найти коэффициенты
асимметрии и эксцесса.
Решение
а) построим график плотности распределения (рисунок 11.4).
Рисунок 11.4. Плотность распределения с. в.
б) Найдем математическое ожидание:
94
Найдем дисперсию:
Вычислим коэффициент асимметрии:
Значит, центр симметрии распределения смещен вправо, кривая
распределения более пологая слева от математического ожидания.
Вычислим коэффициент асимметрии:
95
Значит, распределение плосковершинное.
Контрольные вопросы к §11.
1. Что такое числовые характеристики числовых величин?
2. Приведите определение математического ожидания.
3. Как вычисляется математическое ожидание дискретной случайной
величины?
4. Как вычисляется математическое ожидание непрерывной случайной
величины?
5. Приведите определение дисперсии.
6. Как вычисляется дисперсия дискретной случайной величины?
7. Как вычисляется дисперсия непрерывной случайной величины?
8. Приведите определение среднеквадратического отклонения.
9. Как вычисляется среднеквадратическое отклонение дискретной
случайной величины?
10. Как вычисляется среднеквадратическое отклонение непрерывной
случайной величины?
Задания к §11.
11.1. На производстве используется устройство, состоящее из четырех
блоков. Вероятности отказа каждого из блоков соответственно равны
96
Согласно этим данным, составлен закон
распределения случайной величины – числа отказавших блоков:
0 1 2 3 4
0,084
0,302
0,380
0,198
0,036
Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших
приборов.
11.2. Профсоюз ведет подсчет количества детей в семье для социальных
льгот работникам. Известно, что случайная величина – количество детей –
имеет следующее распределение:
0 1 2 3 4 0,07
0,60
0,30
0,02
0,01
Найти среднее ожидаемое число детей в семье, дисперсию и стандартное
отклонение от этого значения.
11.3. Известно, что случайная величина – количество отказов прибора в
течение производственной смены – имеет математическое ожидание 0,25 и
дисперсию 0,2875. Вероятность того, что прибор ни разу не откажет за смену,
равна 0,8. Найти закон распределения с. в. , если известно, что прибор может
отказать не более двух раз за смену.
11.4. Рабочий имеет право на 8 технических перерывов за смену, из них 6
– коротких, и 2 – более длинных. Какой длины должны быть эти перерывы,
чтобы их среднее значение равнялось 7,5 минут, а дисперсия – 18,75
?
11.5. Для обучения специалиста требуется 5 лет. Предприятие нанимает на
работу стажеров, заканчивающих обучение. Случайная величина – это время,
которое отучился стажер, – имеет плотность распределения:
97
Найти: а) неизвестный параметр ; б) математическое ожидание и
дисперсию времени, которое отучился стажер.
11.6. Случайная величина – температура воды в нагревателе,
0
С – задана
функцией распределения:
Найти: а) значения ; б) математическое ожидание и стандартное
отклонение с. в. .
11.7. Случайная величина – срок службы электроприбора – имеет
следующую функцию распределения:
При найти средний ожидаемый срок работы прибора и
стандартное отклонение этой величины.
§12. Основные законы распределения случайных величин. Нормальное
распределение
1. Биномиальное распределение
Рассмотрим схему Бернулли, пусть случайная величина – число
наступления события в серии независимых испытаний, причем вероятность
наступления события равна Тогда распределение с. в. называется
биномиальным и задается формулой Бернулли:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей
биномиальное распределение:
Пример 12.1. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий
второго сорта. Проверяют партию из 100 изделий. Случайная величина – число
98
изделий первого сорта. Найти закон распределения с. в. , ее математическое
ожидание и дисперсию.
Решение
Выбор одного из изделий партии можно считать независимым
испытанием. Вероятность выбора изделия первого сорта одинакова: .
Таким образом, с. в. имеет биномиальный закон распределения с параметром
. Математическое ожидание: (изд.),
дисперсия:
Пример 12.2. Вероятность аварии на узле трубопровода в течение месяца:
После ремонта аварий в этом месяце не происходит. Составить закон
распределения числа аварий за месяц, учитывая, что на каждом из трех узлов
может произойти не более одной аварии в месяц. Найти математическое
ожидание и дисперсию числа аварий.
Решение
Возможные значения с. в. : 0, 1, 2, 3. Используя формулу Бернулли,
найдем соответствующие вероятности.
Вероятность того, что аварий не будет:
Вероятность того, что авария произойдет на одном узле:
Вероятность того, что авария произойдет на двух узлах:
Вероятность того, что авария произойдет на всех трех узлах:
99
Закон распределения с. в.
0 1 2
3
Математическое ожидание:
Дисперсия:
2. Геометрическое распределение
Рассмотрим схему Бернулли, пусть вероятность наступления события в
серии независимых испытаний одинакова и равна Случайная величина –
число испытаний до первого успеха, то есть наступления события , имеет
геометрическое распределение. Ее возможные значения: 1, 2, 3, …, и
соответствующие вероятности:
Эти вероятности образуют бесконечную геометрическую прогрессию, изза чего распределение и названо геометрическим:
Геометрическое распределение имеют число выстрелов до первого
попадания, число испытаний прибора до первого отказа и т.д.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей
геометрическое распределение:
Пример 12.3. Студент сдает тесты, причем количество попыток не
ограничено. Вероятность пройти тест для этого студента составляет 40%.
Сколько попыток скорее всего ему понадобится?
100
Решение
Поскольку испытания независимы и вероятность успеха одинакова для
каждого испытания, , то число попыток – случайная величина,
имеющая геометрическое распределение. Ее математическое ожидание:
Значит, вероятнее всего, ему понадобится две или три попытки.
Пример 12.4. В партии 2% изделий бракованных. Наугад проверяют
несколько изделий. Если попадается бракованное в числе первых 5 изделий,
партию считают непригодной к реализации. а) Какова вероятность, что это
произойдет? б) Какова должна быть вероятность брака, если партия признается
бракованной менее, чем в 5% случаев?
Решение
а) Случайная величина – число испытаний до обнаружения брака – имеет
геометрическое распределение, . Партия признается
непригодной, если
б) Пусть вероятность брака
, и по условию задачи:
Построим график функции
(рисунок 12.1).
Решая неравенство графически, получим: Таким образом,
вероятность брака для одного изделия должна быть менее 1%.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]