Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие для студентов инженерных специальностей
.pdf
101
Рисунок 12.1. График функции
3. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на
отрезке , если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке:
Функция распределения равномерно распределенной с. в.:
Графики плотности распределения и функции распределения
представлены на рисунках 12.2, 12.3.
Примеры равномерно распределенной случайной величины – время
ожидания автобуса, погрешность округления чисел, положение стрелки часов в
случае их остановки и т.д.
102
Рисунок 12.2. График плотности равномерного распределения с. в.
Рисунок 12.3. График функции равномерного распределения с. в.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей
равномерное распределение:
Действительно,
103
Говорят, что дискретная с. в. имеет равномерное распределение, если она
принимает конечное число значений с равными вероятностями. Примеры таких
величин – число очков на игральной кости, число выпадений орла (0 или 1) при
подбрасывании монеты.
Пример 12.5. Интервал движения автобуса – 15 минут. а) Какова
вероятность того, что пассажир прождет автобус более 10 минут? б) Какое
среднее время ожидания автобуса?
Решение
а) Время ожидания автобуса – равномерно распределенная величина на
отрезке [0;15], Функция распределения:
Вероятность того, что пассажир прождет автобус более 10 минут:
б) Среднее время ожидания автобуса:
Пример 12.6. Говорят, что даже сломанные часы дважды в сутки
правильно показывают время. Какова вероятность, что с точностью до получаса
остановившиеся часы покажут правильное время, учитывая только положение
часовой стрелки?
Решение
Положение часовой стрелки остановившихся часов – равномерно
распределенная на отрезке случайная величина.
104
Она покажет правильное время с точностью до получаса, если попадет в
отрезок , где – положение стрелки на часах, показывающих
время правильно. Тогда искомая вероятность:
4. Показательное распределение
Непрерывная случайная величина имеет показательный
(экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность
распределения имеет вид (рисунок 12.4):
Рисунок 12.4. График плотности показательного распределения с. в.
Функция распределения показательно распределенной с. в. (рисунок 12.5):
Примеры показательно распределенной случайной величины – срок
службы прибора, время обслуживания покупателя, продолжительность
телефонного разговора, время между появлением автомобилей на заправке и т.д.
105
Рисунок 12.5. График функции показательного распределения с. в.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей
показательное распределение:
Действительно,
106
Пример 12.7. Срок службы прибора составляет в среднем 500 часов. Найти
вероятность того, что он отработает не менее 600 часов.
Решение
Срок службы прибора – показательно распределенная случайная
величина ,
Запишем функцию распределения:
Искомая вероятность:
Пример 12.8. Вероятность того, что длительность разгрузки вагона при
доставке строительных материалов составит более 10 мин, равна 20%. а) Найти
среднюю длительность разгрузки; б) определить, сколько вагонов разгружается
в среднем в час.
Решение
а) Длительность разгрузки – показательно распределенная величина с
функцией распределения вида:
Средняя длительность разгрузки:
б) Определим, сколько вагонов разгружается в среднем в час (60 мин.):
107
5. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина имеет нормальный (гауссовский) закон
распределения с параметрами , если ее плотность распределения имеет
вид (рисунок 12.6):
где – математическое ожидание, – стандартное отклонение
с. в.
Рисунок 12.6. График плотности нормального распределения с. в.
Функция распределения нормально распределенной с. в. (рисунок 12.7):
Рисунок 12.7. График функции нормального распределения с. в.
108
Примеры нормально распределенной случайной величины – рост
человека, масса детали, случайная ошибка измерения и т.д. На практике
множество величин имеет такое распределение, из-за чего в конце XIX века стал
использоваться термин «нормальное распределение».
Замечание. По центральной предельной теореме, одной из основных
теорем теории вероятностей, сумма независимых одинаково распределенных
с. в. также имеет распределение, близкое к нормальному, независимо вида их
распределения.
Если у нормально распределенной случайной величины
, то такая величина называется стандартной. Плотность распределения
стандартной с. в. имеет вид:
а функция распределения:
где – математическое ожидание, – стандартное
отклонение с. в., нормированная функция Лапласа (приложение 2).
Нормально распределенную с. в. с параметрами
можно привести к стандартной:
и ее функция
распределения может быть представлена в виде:
Тогда вероятность попадания нормально распределенной с. в. в
интервал
109
Действительно,
Вероятность того, что нормально распределенная с. в. отклонится от
своего среднего значения не более, чем на
Действительно,
в силу нечетности
Правило трех сигм
Полагая величину , получим:
то есть 99,74% значений нормально распределенной величины попадают в
интервал
Этот факт называется «правилом трех сигм».
Пример 12.9. Работнику необходимо некоторое время для получения
следующего разряда, это величина имеет нормальное распределение со средним
значением 2 года и стандартным отклонением 1 год. а) Записать плотность
распределения с. в. ; б) найти вероятность того, что работник получит
следующий разряд за время от 1 до 3 лет; в) найти вероятность того, что время
получения разряда отклонится от среднего не более, чем на 1,5 года.
Решение
а) Плотность распределения с. в. :
110
б) Найдем вероятность того, что работник получит следующий разряд за
время от 1 до 3 лет:
в) Найдем вероятность того, что время получения разряда отклонится от
среднего не более, чем на 1,5 года:
Пример 12.10. Средняя масса тротуарной плитки размером 300х300х30 мм
равна 5,9 кг, стандартное отклонение – 140 г. Найти вероятность того, что:
а) плитка будет весить меньше 5,95 кг; б) плитка будет весить от 5,85 кг до 6,0 кг;
в) плитка будет по массе отличаться от своего среднего значения больше, чем на
150 г; г) найти симметричный относительно средней массы плитки интервал, в
котором с вероятностью 95% будет находиться масса плитки.
Решение
а)
Плитка будет весить меньше 980 г с вероятностью:
б) Плитка будет весить от 5,85 кг до 6,0 кг с вероятностью:
в) Плитка будет по массе отличаться от своего среднего значения больше,
чем на 150 г, с вероятностью:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]