Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие-1
.pdf
31
n
𝐶
𝑝𝑞
n
= 𝐶
+ 𝐶
(3)
𝑃(𝐵)=𝑃
1
∗
5
4
5
+ 𝑃
1
∗
5
(4)
4
5
+ 𝑃
+ 𝐶
(5)
=
1
∗
5
4
=
5
=0,0512+0,0064+0,00032=0,05792.
Обозначим через Х случайную величину, равную числу появлений
события А в n испытаниях и найдем следующие вероятности:
nn
qqCP 0)0(
nn
)1(
;
nnn11
pqCP
;
……………..
n
pnP )(
n
.
Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:
X 0 1 … m … n
P q
p
2
…
… p
Построенный закон распределения дискретной случайной величины Х
называют законом биномиального распределения.
Найдем М(Х). Очевидно, что Хi – число появлений события А в каждом
испытании – представляет собой случайную величину со следующим
распределением:
X 0 1
p q p
Поэтому M(Xi)=0q+1p=p. Но так какX=X1+X2+…+Xk, то М(Х)=np.
Аналогично найдем D(X)=npq, 𝜎(𝑋)=𝑛𝑝𝑞.
Пример 2.12. Случайная величина Х – число выпавших гербов в
результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х.
Вероятность появления герба при каждом бросании монеты p=1/2.
Следовательно, вероятность непоявления герба q=1/2. Случайная величина
Х имеет биномиальное распределения при n=100, p=1/2. Поэтому
M(X)=np=50, D(X)=npq=25, (X)=5.
32
2.5.2. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа
Теорема 2.4 (локальная предельная теорема Лапласа). Пусть р=Р(А) –
вероятность события А, причем 0<p<1. Тогда вероятность того, что в
условиях схемы Бернулли событие А при n испытаниях появится точно m
раз, выражается приближенной формулой Лапласа
npq
npm
,
где q=1-p, 𝜑(𝑥)=
1
npq
mP
)(
n
𝑒
. Для функции (x) имеется таблица (Приложение
√
А) для ее положительных значений (функция (x) четная).
Пример 2.13. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном
выстреле равна p=0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель
будет поражена ровно 20 раз?
Здесь p=0,2, q=0,8, n=100, m=20. Отсюда
𝑡=
𝑃
√
(20)
∙,
=
≈ 0,40∙
= 0. Учитывая, что (0)=0,40, то получаем:
= 0,10.
𝑛𝑝𝑞=√100 ∙ 0,2 ∙ 0,8=4,
Перейдем к интегральной предельной теореме Лапласа. Поставим
следующий вопрос: какова вероятность того, что в условиях схемы
Бернулли событие А, имеющее вероятность р=Р(А), при n испытаниях
появится не менее k раз и не более l раз. Эту вероятность обозначим через
Pn(k,l). Справедлива формула:
x
x
npl
npq
2
x
l
2
dxedxxlkP
,
k
.
x
l
n
x
k
)(),(
x
k
npk
npq
1
2
x
,
l
Это составляет содержание интегральной предельной теоремы Лапласа.
Введем функцию
1
)(
2
2
dtex
0
,
2
t
x
33
m
!
называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
Так как, очевидно, (x) нечетная и она есть первообразная (x), то по
формуле Ньютона-Лейбница имеем:
)()(),(
xxlkP
.
kln
Это – интегральная формула Лапласа.
Пример 2.14. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК,
равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных
изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.
Здесь n=400, k=70, l=100, p=0,2, q=0,8. Поэтому xk=-1,25, xl=2,5,
(
𝑃
70,100)=Φ(2,5)− Φ(1,25)≈ 0,4938 + 0,3944=0,8882.
Значения функции Лапласа Φ(x) найдены по таблице Приложения Б.
2.5.3. Распределение Пуассона
Пусть производится серия n независимых испытаний, причем
вероятность появления события А в этой серии P(A)=pn>0 зависит от ее
номера n и стремится к нулю при n. Предположим, что для каждой серии
среднее значение числа появлений события А постоянно: npn==const. Если
n велико, то исходя из формулы Бернулли, для вероятности появления
события А в n-ой серии ровно m раз имеем выражение:
m
e
mP
)(
n
.
Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона,
если эта величина задана таблицей:
X 0 1 2 3 …
P
e
e
2
e
!2
3
e
!3
…
Можно показать, что
.
)()( XDXM
Пример 2.15. Пусть вероятность попадания в цель при каждом выстреле
составляет 0,001. По цели выстрелили 5000 раз. Найти вероятность
попадания в цель двумя или более выстрелами.
34
2
12
Данная задача совпадает со схемой испытаний Бернулли, где р=0,001. В
соответствии с этой схемой наиболее простой путь решения состоит в
вычислении выражения:
𝑃(𝑀≥2)=1 − 𝐶
𝑝𝑞
где М – число попаданий в цель при 5000 выстрелах.
Но вычисления в данном выражении довольно сложные.
Воспользуемся тем, что число испытаний в условии задачи велико, а
вероятность попадания весьма мала. Это позволяет использовать схему
Пуассона. Имеем:
=np=5000*0,001=5, 𝑃
Тогда искомая вероятность будет:
𝑃(𝑀≥2)=1 − 𝑒− 5𝑒≈ 0,9596.
Рассмотренный пример показывает, что если существуют основания
считать некоторую случайную величину распределенной по закону
Пуассона, то, определив только ее математическое ожидание или
дисперсию, можно получить ее закон распределения.
2.5.4. Равномерное распределение
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х,
принимающей все свои значения из отрезка [a,b], называется равномерным,
если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна c=1/(b-a), а вне его
равна нулю:
− 𝐶
(𝑚)
=
𝑝𝑞
!
,
𝑒
.
;,0
1
)(
xf
ax
;,
ab
bxa
.,0
bx
Можно показать, что
)(baXM ,
1
)( baXD .
2
)(
Пример 2.16. При бросании игральной кости случайная величина – число
выпавших очков из 6-ти возможных {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Верояность выпадения
одной точки из 6-ти равна 1/6, одинакова для каждой точки, поэтому данная
случайная величина имеет равномерное распределение.
35
2.5.5. Закон нормального распределения. Центральная предельная теорема
Закон распределения непрерывной случайной величины Х называется
нормальным, если ее дифференциальная функция f(x) определяется
формулой
2
)(
ax
1
)(
2
где a – математическое ожидание Х, - ее среднее квадратическое
отклонение.
График функции f(x) называется нормальной кривой. Изменение
параметра ведет к изменению форму кривой: чем меньше , тем кривая
круче, при увеличении , она становится более пологой. Нормальная кривая
симметрична относительно прямой x=a.
2
2
exf
,
Нормальное распределение с параметрами a=0 и =1 называется
нормированным. Дифференциальная функция в случае такого
распределения имеет вид:
36
2358
Φ=
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
(;) вычисляется по формуле:
𝑒
.
√
aaXP )(
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально
распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания по
абсолютной величине меньше заданного положительного числа :
2aXP
Пример 2.17. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному
закону с параметрами a=20 и =10. Найти P(|X-20|<3).
В случае нормированного распределения аналогичная формула тоже
имеет место:
𝑃(𝛼≤𝑋≤ 𝛽)= 2Φ
Примечательно, что рост нормированной функции Лапласа происходит
довольно быстро для значений аргумента от 0 до1, а затем резко замедляется.
При =2:
(2)
(3)
𝑃(𝛼≤𝑋≤ 𝛽)= 2Φ
а при =3:
𝑃(𝛼≤𝑋≤ 𝛽)= 2Φ
.
,01179,02)3,0(2320 XP
.
≈ 0,9544,
≈ 0,997.
.
.
Последнее соотношение говорит о том, что случайная величина
попадет в интервал, симметричный относительно математического
ожидания, длиной 6, практически со 100%-ной вероятностью. В этом
состоит т.н. правило «трех сигм».
Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей
большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при
стрельбе по цели, в измерениях и т.п. В частности, оказывается, что закон
37
распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных
величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, близок
к нормальному распределению. Этот факт называется центральной
предельной теоремой.
Пример 2.18. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному
закону с параметрами a=0, =20 мм. Записать функцию распределения и
найти вероятность того, что при измерении допущена ошибка от5 до 10 мм.
Подставим значения параметров в функцию распределения:
𝑓(𝑥)=
√
()
𝑒
=
√
𝑒
.
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал [0;5):
=Φ
𝑃(5 ≤𝑋< 10)=Φ
− Φ
=Φ(0,5)− Φ(0,25)= 0,19146− 0,09871=
𝛽 − 𝑎
𝜎
− Φ
𝛼 − 𝑎
𝜎
=
0,9275.
Здесь значения функции Лапласа взяты по таблице.
2.6. Закон больших чисел
2.6.1. Неравенство Чебышева
Теорема. 2.5. Для любой случайной величины Х при каждом
положительной числе имеет место неравенство
)(
)(
XDXMXP
.
2
Это неравенство называют неравенством Чебышева.
Пример 2.19. Пусть D(X)=0,001. Какова вероятность того, что Х
отличается от М(Х) более чем на 0,1?
По неравенству Чебышева
001,0
1,0)(
)(
2
1,0
1,0
XDXMXP
01,0
.
38
1
Замечание. Отметим другую форму неравенства Чебышева. Так как
событие, выражаемое неравенством |X-M(X)|<, противоположно событию
|𝑋 − 𝑀(𝑋)|≥𝜀, то
.1)()( XMXPXMXP
Отсюда имеем другую форму неравенства Чебышева:
)(
1)(
XDXMXP
2.6.2. Закон больших чисел Чебышева
Теорема 2.6 (Закон больших чисел Чебышева). Если дисперсии
независимых случайных величин Х1, Х2, …, Хn ограничены одной и той же
постоянной С, 𝐷(𝑋) ≤𝐶, то, каково бы ни было >0, вероятность
выполнения неравенства
будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин n
велико, т.е.
|
𝑋− 𝑀(𝑋
)|
< 𝜀, где 𝑋=
.
2
(
𝑋+ 𝑋+ ⋯ + +𝑋
)
,
n
)(lim XMXP
Частный случай теоремы Чебышева. Если все Xk имеют одинаковые
математические ожидания М(Х1)=…= М(Хn)=a и D(Xk)<C (k=1,2,…,n), то
n
Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем. Несмотря на то, что
каждая из независимых случайных величин Xk может принять значение,
далекое от математического ожидания М(X
достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью
весьма близко к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Теорема Чебышева имеет большое практическое значение. Пусть
измеряется некоторая физическая величина. Обычно принимают в качестве
искомого значения измеряемой величины среднее арифметическое
результатов нескольких измерений. Можно ли считать такой подход
верным? Теорема Чебышева отвечает на этот вопрос положительно.
Из теоремы Чебышева (частный случай) следует теорема Бернулли,
являющаяся простейшей формой закона больших чисел.
.
1lim aXP
.
), среднее арифметическое 𝑋
k
39
Теорема 2.7 (Я. Бернулли). Пусть m – число наступлений события А в n
независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в
каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было >0,
m
P
n
Практический смысл теоремы Бернулли следующий: при постоянстве
вероятности события А во всех испытаниях, при неограниченном
возрастании числа испытаний можно с вероятностью, сколь угодно близкой
к единице, утверждать, что наблюдаемая относительная частота случайного
события будет как угодно мало отклоняться от его вероятности.
Вопросы для контроля
1. Какая величина называется случайной?
2. Чем отличается дискретная случайная величина от непрерывной?
3. Как построить закон распределения дискретной случайной величины?
4. Назовите определение, формулу для нахождения и свойства
математического ожидания дискретной случайной величины.
5. Назовите определение, формулу для нахождения и свойства дисперсии
дискретной случайной величины.
6. Что называется начальным моментом распределения случайной
величины? Как он находится?
7. Что называется центральным моментом порядка k случайной величины?
Запишите формулу для его нахождения.
8. Какая функция называется функцией распределения непрерывной
случайной величины? Назовите ее свойства.
9. Какая функция называется плотностью распределения непрерывной
случайной величины?
10. Запишите формулы для нахождения математического ожидания и
дисперсии непрерывной случайной величины.
11. Запишите формулу Бернулли.
12. Сформулируйте локальную и интегральную предельные теоремы
Лапласа.
13. Когда говорят, что случайная величина распределена по закону
Пуассона?
14. Какое распределение называется равномерным?
15. Какое распределение называется нормальным?
16. Сформулируйте «правило трех сигм».
17. Запишите неравенство Чебышева.
18. Сформулируйте закон больших чисел Чебышева.
n
1lim
p
.
40
3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Цели и задачи изучения темы
Освоить основные понятия математической статистики.
Овладеть математическими методами обработки статистических
данных.
Знать основные теоремы математической статистики, уметь
использовать их для решения практических задач.
3.1. Генеральная совокупность и выборка
Математическая статистика изучает случайные явления и их
характеристики. Случайное явление можно понимать как результат
некоторого эксперимента, который может быть повторен в одних и тех же
условиях некоторое (или неограниченное) число раз.
Под генеральной совокупностью мы будем понимать случайную
величину, описывающую результаты изучаемого случайного явления
(эксперимента).
Проведя n раз этот эксперимент в одинаковых условиях, получим числа
х1, х2,…, хn значения наблюдаемой случайной величины в первом, втором и
т.д. экспериментах. Этот набор чисел называется выборкой объема n.
В серии уже произведенных экспериментов выборка – это набор чисел.
Но до того как эксперимент проведен, имеет смысл считать выборку
набором случайных величин X1, X2,…, Xn (независимых и распределенных
так же, как Х). Тогда конкретный набор выборочных значений следует
рассматривать как реализацию выборки – многомерной случайной величины
(x1, x2,…, xn).
Основной задачей математической статистики является оценка
распределения генеральной совокупности и ее характеристик по выборке.
Таким образом, в этом разделе нас будут интересовать выборочные оценки.
К этой же задаче можно свести и следующую ситуацию. Пусть требуется
изучить множество однородных объектов относительно некоторого
качественного или количественного признака, характеризующего эти
объекты. При чем обследовать все объекты невозможно. Препятствовать
сплошному обследованию может большое число объектов или их
недоступность. Тогда из всей совокупности выбирают для изучения часть
объектов. В этом случае вся совокупность понимается как генеральная
совокупность, а изучаемая часть объектов как выборка.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]