Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие-1
.pdf
n
2
случайная величина
61
1
X ...
21
XXX
тоже имеет нормальной
n
распределение. При этом
выполнялось соотношение
Имеем:
t
Выражая
Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно
утверждать, что доверительный интервал
покрывает неизвестный параметр а; точность оценки
t определяется из равенства
)(t . Надежность
Проиллюстрируем построение доверительного интервала для
математического ожидания на модификации примера 3.3 из п. 3.1.3.
Пример 3.10 (модификация примера 3.3). Пусть известно, что число
ошибок при передаче 100 пакетов из нулей и единиц на сервер распределено
нормально. При этом данные собраны в виде следующего интервального
ряда:
[хi-х
] [0–2) [2–4) [4–6) [6–8) [8–10) [10–12) [12–14) [14–16]
i+1
ni 1 2 6 11 20 30 20 10
При этом будем здесь дополнительно предполагать, что генеральная
совокупность Х распределена нормально с известным σ=3. Построим
доверительный интервал для параметра а с надежностью γ=0,99.
, получаем формулу:
n
обычно принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,999.
t
)(2 t
xP
xa
n
)( t
и далее по таблице значений функции
X )(
,
aXM )(
aXP
, где - заданная надежность.
)(2 taXP
, где
t
ВВ
n
. Потребуем, чтобы
n
n
t
.
.
t
x
n
t
n
t
xa
ВВ
n
. Здесь число
62
2
2
В пункте 3.2.2 для этой выборке уже была найдена точечная оценка для
параметра а – выборочное среднее: a
оценки, соответствующую надежности γ=0,99, известному среднему
квадратическому отклонению σ=3 и объему выборки n=100. Используем
надежность γ следующим образом:
значений функции Лапласа (прил. Б) находим t = 2,58. Следовательно,
3
58,2
100
0,77. Получаем следующие концы доверительного интервала: 10,340,77=9,57 и 10,34+0,77=11,11. Итак, доверительный интервал (9,57;11,11)
покрывает а с надежностью 0,99.
3.3.3. Доверительный интервал для математического ожидания
нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном σ
Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с
неизвестными нам параметрами а и σ. Случайная величина
77,0
. Значит, от точечной оценки 10,34 нужно отступить на
*
=𝑥= 10,34. Определим точность δ этой
99,0
)(
t
aXT
s
n
495,0
, по таблице
(n – объем выборки, X - выборочная средняя, s – исправленное среднее
квадратическое отклонение) имеет распределение Стьюдента, не зависящее
от а и σ.
Можно получить следующую формулу:
Следовательно, приходим к утверждению: с надежностью можно
st
XP
n
st
Xa
.
n
63
утверждать, что доверительный интервал
покрывает неизвестный параметр а, точность оценки
определяется по таблице значений этого параметра (прил. Г) с
),( ntt
n-1 степенью свободы и порядком квантиля
Проиллюстрируем построение доверительного интервала для
математического ожидания на модификации примера 3.3 из п. 3.1.3.
Пример 3.11 (модификация примера 3.3). Пусть известно, что число
ошибок при передаче 100 пакетов из нулей и единиц на сервер распределено
нормально. При этом данные собраны в виде следующего интервального
ряда:
[хi-х
] [0–2) [2–4) [4–6) [6–8) [8–10) [10–12) [12–14) [14–16]
i+1
ni 1 2 6 11 20 30 20 10
В отличие от анализа примера 3.10 в предыдущем пункте предполагаем,
что неизвестны оба параметра нормального распределения генеральной
совокупности – а и σ. Построим доверительный интервал для параметра а с
надежностью γ=0,99.
В этом случае для определения точности δ точечной оценки a
соответствующей надежности γ=0,99, точечной оценки среднего
квадратического отклонения σ*=s=3 и объему выборки n=100. По таблице
квантилий распределения Стьюдента (прил. Г) находим t = 2,861 по
параметру распределения Стьюдента (числу степеней свободы) 100-1=99 и
порядку квантиля (0,99+1)/2=0,995. Следовательно,
.
st
X
n
st
. Параметр
n
*
=𝑥= 10,34,
3
861,2
st
Xa
n
86,0
100
Значит, от точечной оценки 10,34 нужно отступить на 0,86. Получаем
следующие концы доверительного интервала: 10,34-0,86=9,48 и
10,34+0,86=11,2. Итак, доверительный интервал (9,48;11,2) покрывает а с
надежностью 0,99.
Заметим, что в этом случае длина интервала больше на 0,56 (по
сравнению с предыдущим пунктом). Это связано с дополнительным
оцениванием параметра σ.
.
64
3.3.4. Доверительный интервал для дисперсии нормально
распределенной генеральной совокупности
Точечной оценкой дисперсии нормального распределения является
исправленная выборочная дисперсия. Рассмотрим случайную величину Z,
определяемую следующим образом:
Z=
∑
=
Случайная величина Z имеет распределение χ2 с n-1 степенями свободы
[7]. Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном среднем
надежности γ имеет вид
()
≤𝜎≤
Здесь 𝑞 и 𝑞 удовлетворяют условию: 𝑃(𝑞≤𝑍≤𝑞
𝑞 и 𝑞
можно найти из таблицы квантилий распределения χ2 (Приложение
В) с n-1 степенями свободы и порядками квантилей
Таким образом, можно с вероятностью γ утверждать, что доверительный
интервал
()
()
;
покрывает σ
доверительный интервал несимметричный.
Проиллюстрируем построение доверительного интервала дисперсии на
модификации примера 3.3 из п. 3.1.3.
.
()
.
)
=𝛾. Значения
и
2
. Заметим, что полученный
соответственно.
Пример 3.12 (модификация примера 3.3). Пусть известно, что число
ошибок при передаче 100 пакетов из нулей и единиц на сервер распределено
нормально. При этом данные собраны в виде следующего интервального
ряда:
[хi-х
] [0–2) [2–4) [4–6) [6–8) [8–10) [10–12) [12–14) [14–16]
i+1
ni 1 2 6 11 20 30 20 10
Построим доверительный интервал для σ2 с надежностью γ = 0,99.
В п. 3.2.2 для этой выборке уже была найдена точечная оценка для
дисперсии: s2 = 9,06. В этом случае для определения границ интервала
находим по таблице квантилий распределения χ
𝑃(𝑞≤𝑍≤𝑞
)
= 0,99. Значение 𝑞
соответствует 99 степеням свободы и
порядку квантилю (1-0,99)/2 = 0,005, а значение 𝑞
2
(прил. В) 𝑞 и 𝑞 такие, что
соответствует 99
степеням свободы и порядку квантилю (1+0,99)/2 = 0,995. По таблице
квантилий распределения χ
2
(прил. В) находим 𝑞 = 66,51, 𝑞 = 138,99.
65
Получаем следующие левую и правую границы интервала:
и
51,66
06,9
99
49,13
. Итак, доверительный интервал (6,45;13,49) покрывает σ2
с надежностью 0,99.
99
06,9
45,6
99,138
3.4. Статистическая проверка гипотез
Основная задача математической статистики состоит в оценке
генеральной совокупности по выборочным данным. Одним из методов
решения тэтой задачи состоит в следующем: выдвигается некоторая
гипотеза о распределении или характеристиках генеральной совокупности и
проверяется на основании выборочных данных. Проверку гипотез на основе
выборочных статистических данных называют статистической проверкой
гипотез. Предположения-гипотезы могут быть самыми разными: о виде
распределения генеральной совокупности, о значении параметров
распределения генеральной совокупности, о независимости двух
генеральных совокупностей и т.п. Гипотезу, которая проверяется,
называется основной и обозначается H0. Относительно этой гипотезы
выдвигается альтернативная гипотеза, которая обозначается H1.
При проверке гипотез выделяют ошибки двух родов. Ошибка первого
рода состоит в том, что отвергается основаня гипотеза, когда на самом деле
она верна. Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается
альтернативная гипотеза, когда она верна. Будем обозначать ошибку
первого рода через α, второго рода – через β. Вероятность ошибки первого
рода называется уровнем значимости.
Выборку объема n можно представить как точку в n –мерном
пространстве, которое называется выборочным. Каждой конкретной
выборке соответствует одна точка в этом пространстве. Выборочное
пространство можно разделить на две области так, что попадание
полученной выборки в одну из частей ведет к принятию основной гипотезы,
а в другую – альтернативной. Область S, при попадании в которую
выборочной точки отвергается основная гипотеза, называется критической.
Тогда выбирается из равенства 𝑃
α. С другой стороны 𝑃
(𝑆)
=𝑃(𝑋, 𝑋, …, 𝑋
(
)
𝑆
= 𝑃(𝑋, 𝑋, …, 𝑋
)
∈ 𝑆|верна 𝐻 =
)
∉𝑆|верна 𝐻 =β.
Хорошим свойством критерия является минимальность ошибки второго
рода при фиксированном значении ошибки первого рода. Таким образом,
66
выбор критерия определяется выбором области S по заданному уровню
значимости α. Критическая область обычно определяется через неравенства
относительно некоторой функции K(x) от выборочных данных. Если
критическая область имеет вид S={(х1, х2,…, хn): K(х1, х2,…, хn)>K0}, то она
называется правосторонней; если критическая область имеет вид S={ (х1,
х2,…, хn): K(х1, х2,…, хn)<K0}, то она называется левосторонней; если
критическая область имеет вид S={(х1, х2,…, хn): K(х1, х2,…, хn)<K1 или
K2<K(х1, х2,…, хn)}, то она называется двусторонней. K0, K1, K2 называются
критическими точками [3]. Если гипотеза H0 верна, то можно определить
распределение K(x). Для нахождения критических точек используем
следующие соотношения: P{ K(x) >K0}=α в случае правосторонней области;
P{ K(x)<K0}=α в случае левосторонней области; P{K1<K(x)<K2}=α в случае
левосторонней области.
Приведем примеры статистической проверки гипотез.
3.4.1. Проверка гипотезы о равенстве средних и дисперсий двух
нормально распределенных генеральных совокупностей
Пусть есть две нормально распределенных генеральных совокупности X,
Y и две выборки (x1, x2,…, xn), (y1, y2,…, ym) соответственно. Следует
проверить гипотезу H
Точечными оценками 𝜎
выборочные дисперсии 𝑠
отношение
Если гипотеза H0 верна, то F имеет распределение Фишера с n1 = n-1 и
n2 = m-1 степенями свободы [7]. Ясно, что при выполнении H0 отношение F
должно быть близко к 1. Поэтому критерий выглядит следующим образом:
гипотеза H0 отвергается, если
Здесь c1 и c2 квантили распределения Фишера с (n1;n2) степенями свободы
и порядками квантилей α/2 и соответственно 1- α/2. Учитывая свойство
квантилей распределения Фишера Fα(n1;n2)=1/ F
c2. Тогда c1=1/ c2.
Если гипотеза о равенстве дисперсий генеральных совокупностей X и Y
0
: 𝜎
= 𝜎
против гипотезы H1: 𝜎
и 𝜎
и 𝑠
>𝑐
будут соответствующие исправленные
. В качестве критерия проверки используется
𝐹=
.
или
<𝑐
(c1<1<c2).
1-α(n1;n2
≠ 𝜎
.
), достаточно найти
67
не была отвергнута, то можно перейти к проверке гипотезы о равенстве
средних. Требуется проверить основную гипотезу H0: ax= ay при
альтернативной гипотезе H1: ax≠ ay. В качестве критерия используется
отношение
𝑇=
[(
)
()
]/()
Если гипотеза H0 верна, то T имеет распределение Стьюдента с n+m-2
степенями свободы [7]. Гипотеза H0 отвергается, если |T|>KT. Здесь KT –
квантиль распределения Стьюдента с n+m-2 степенями свободы и порядком
квантиля 1- α/2.
Проиллюстрируем проверку этих гипотез на модификации примера 3.1
из п. 3.1.3.
Пример 3.13 (модификация примера 3.1). Пусть на сервер поступают
информационные пакеты по двум каналам. Количество пакетов
поступающих в час по первому каналу образуют генеральную совокупность
X; количество пакетов поступающих в час по второму каналу образуют
генеральную совокупность Y. Выборка из данных о потоке информации за
16 часов по первому каналу имеет следующий вид:
хi 0 1 2 3
По второму каналу за эти же 16 часов были собраны следующие данные:
ni 4 7 3 2
хi 0 1 2 3
ni 4 5 5 2
Предполагая нормальную распределенность генеральных совокупностей,
проверим гипотезу H
: 𝜎
0
=𝜎
о равенстве дисперсий на уровне значимости
α=0,1. Найдем точечные несмещенные оценки математического ожидания и
дисперсии для каждой выборки:
𝐷=
∙∙∙∙
𝑥=
𝑠
=
−
∙ 0,902≈0,962 , 𝑠
=
, 𝑦=
≈ 0,902, 𝐷=
=
∙∙∙∙
∙ 0,965≈1,029 .
Тогда критерий F принимает следующие значение:
−
.
=
≈ 0,965,
,
68
F=0,962/1,029≈0,935.
С другой стороны найдем по Приложению Д квантиль порядка (1-α/2)=10,1/2=0,95 для распределения Фишера с n1=n2=16-1=15 степенями свободы:
c2=2,4. Тогда c1=1/2,4≈0,42. Таким образом, так как 0,42<0,935<2,4, то
гипотеза о равенстве гипотез не отвергается.
Проверим гипотезу о равенстве средних. Критерий принимает
следующие значение:
𝑇=
[
∙, ∙,]/( )
∙
≈ −0,35.
С другой стороны найдем по Приложению Г квантиль порядка 0,95 для
распределения Стьюдента с n + m – 2 = 16 + 16 – 2 = 30 степенями свободы:
KT = 2,0423. Таким образом, так как |-0,35|<2,0423, то гипотеза о равенстве
средних не отвергается.
3.4.2. Проверка гипотезы о виде распределения
генеральной совокупности
Пусть мы хотим проверить гипотезу о виде распределения генеральной
совокупности H0: FT(x)=F(x,θ). Здесь FT(x) – теоретическая функция
распределения генеральной совокупности, F(x,θ) – некоторая известная
функция из семейства стандартных распределений (например, Пуассона или
нормального). Заметим, что в этом случае альтернативная гипотеза не
выдвигается и задача ставится так: согласуются ли результаты наблюдений
с высказанным предположением (в этом случае критерий проверки гипотезы
называется критерием согласия). Есть различные критерии проверки
гипотезы о виде распределения: критерий Колмогорова, критерий Пирсона
и другие. Здесь мы приводим критерий согласия Пирсона (или критерий
согласия χ2).
Обозначим через Δ все возможные значения генеральной совокупности
X. Разобъем Δ на s подмножеств: Δ= Δ
1∪Δ2
∪…∪Δ
. Каждое значение
s
выборки попадет в одно из подмножеств. Таким образом, все выборочные
данные разобъются на s групп. Обозначим через n1, n2,…,ns количество
элементов выборки, попавших в соответствующие подмножество.
Величины ni называются наблюдаемыми (или эмпирическими) частотами.
При разбиении Δ на подмножества необходимо с одной стороны выбрать как
можно больше количество подмножеств s, но при этом, чтобы все
эмпирические частоты были не меньше пяти: ni ≥5. Найдем теоретические
69
вероятности – вероятности попадания значений генеральной совокупности
X в подмножества Δi разбиения: p
соответствует доле значений в выборке из подмножества Δi в случае, когда
гипотеза H
верна. Соответственно теоретическими частотами 𝑛
0
количество значений в выборке из подмножества Δi в случае, когда гипотеза
H
верна: 𝑛
0
= 𝑛𝑝
.
В качестве критерия используется отношение
𝑍=
Если гипотеза H0 верна, то Z имеет распределение χ2 с s-r-1 степенями
свободы [7], r – число параметров θ распределения F(x,θ) (параметры
неизвестны, их точечные оценки находятся по выборке). Гипотеза H0
отвергается, если Z>KT. Здесь KT – квантиль распределения χ2 с s-r-1
степенями свободы и порядком квантиля 1-α.
Проиллюстрируем проверку гипотезы о виде распределения на
модификации примера 3.3 из п. 3.1.3.
Пример 3.14 (модификация примера 3.3). На сервер передаются
одинаковые пакеты из нулей и единиц. Генеральная совокупность как и в п.
3.1.3 – это число ошибок при передаче пакета. Дана выборка об ошибках при
передачи 100 пакетов, заданная в виде следующего интервального ряда:
[хi-х
] [0–2) [2–4) [4–6) [6–8) [8–10) [10–12) [12–14) [14–16]
i+1
ni 1 2 6 11 20 30 20 10
Проверим согласованность данных с гипотезой H0 о нормальном
распределении генеральной совокупности: X~N(a,σ). Для параметров a и σ
используем точечные оценки, найденные в пункте 3.2.2: 𝑎∗= 𝑥=10,34,
𝜎∗=𝑠≈3. Таким образом, уточним гипотезу H0: X~N(10,34;3). Множество
значений Δ генеральной совокупности X – это все множество вещественных
чисел ℝ. Разобъем Δ в соответствии с интервальным рядом выборки Δ=(-∞;
2)∪[2;4)∪[4;6)∪[6;8)∪[8;10)∪[10;12)∪[12;14)∪[14; +∞). Заметим, что на
первых двух интервалах в выборке меньше пяти значений. Объединим
первые два интервала с третьим. Окончательно получаем следующие
разбиение:
∑
=P(X∈Δ
i
| H0 верна). Значение pi
i
.
будет
Δ=(-∞; 6)∪[6;8)∪[8;10)∪[10;12)∪[12;14)∪[14; +∞).
Найдем теоретические вероятности. Рассмотрим первый интервал (-∞; 6).
Ему соответствует теоретическая вероятность p1. Она означает вероятность
генеральной совокупности принять значение на интервале (-∞; 6), если она
70
распределена нормально с параметрами a = 10,34 и σ = 3. Для нормального
распределения в п. 2.5.5 был приведена следующая формула. Вероятность
того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (;) вычисляется
по формуле:
aaXP )(
.
Здесь Φ(x) – функция Лапласа, введенная в пункте 2.5.2 следующим
образом:
1
)(
2
2
dtex
0
.
2
t
x
Воспользуемся этой формулой для вычисления p1. Получим следующие:
p1=P(X<6 | H
верна)=Φ
0
,
– Φ(-∞)=Φ(+∞)-Φ(1,45)=0,5-0,43=0,07.
Здесь мы воспользовались нечетностью функции Лапласа – Φ(-x)= - Φ(x).
Обозначение Φ(+∞) понимается как предел функции Лапласа на +∞, он
равен 0,5. Значения функции Лапласа вычисляем по таблице из прил. Б.
Аналогично вычисляем теоретические вероятности для остальных
интервалов
p
= P(X∈[6;8)|H0 верна) = Φ
2
,
– Φ
,
=
= Φ(1,45) - Φ(0,78) = 0,43 - 0,28 = 0,15;
p
=P(X∈[8;10)| H0 верна) = Φ
3
,
– Φ
,
=
= Φ(0,78) - Φ(0,11) = 0,28 - 0,04 = 0,24;
p
= P(X∈[10;12)|H0 верна) = Φ
4
,
– Φ
,
=
= Φ(0,55) + Φ(0,11) = 0,21 + 0,04 = 0,25;
p
= P(X∈[12;14)|H0 верна) = Φ
5
,
– Φ
,
=
= Φ(1,22) - Φ(0,55) = 0,39 - 0,21 = 0,18;
p6 = P(X>14)|H
верна) = Φ(+∞) – Φ
0
,
=
= Φ(+∞) - Φ(1,22) = 0,5 - 0,39 = 0,11.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]