Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие-1
.pdf
21
Используя свойства 2 и 3 математического ожидания, получаем:
M(Z)=M(X+2Y)=M(X)+M(2Y)=M(X)+2M(Y)=5+23=11.
Пример 2.4. Независимые случайные величины заданы законами
распределения:
Х 1 2
р 0,2 0,8
Y 0,5 1
Р
0,3 0,7
Найти математическое ожидание случайной величины XY.
Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
,
XM
YM
8,18,022,01)(
.
85,07,015,07,013,05,0)(
Случайные величины X и Y независимы, поэтому:
.
YMXMXYM
53,185,08,1)()()(
2.3. Дисперсия дискретной случайной величины
2.3.1. Понятие дисперсии
Математическое ожидание случайной величины не позволяет определить
степень «отклонения» значений этой величины от среднего значения.
Поэтому необходимо рассмотреть новую числовую характеристику, по
которой можно судить о «рассеянии» возможных значений случайной
величины.
Пусть задана дискретная случайная величины Х:
X x
p p
1
1
x
2
p
2
x
3
p
3
… x
… p
n-1
n-1
x
n
p
n
Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания
М(Х) (или просто отклонением случайной величины Х) называют случайную
величину Х-М(Х).
Очевидно, что для того, чтобы отклонение случайной величины Х
приняло значение х1-М(Х), достаточно, чтобы случайная величина Х приняла
22
2
2
2
2
2
значение х1. Вероятность же этого события равна р1; следовательно, и
вероятность того, что отклонение случайной величины Х примет значение
х1-М(Х), также равна р1. Аналогично обстоит дело и для остальных
возможных значений отклонения случайной величины Х. Запишем закон
распределения отклонения случайной величины Х:
X-M(X) x1-M(X) x2-M(X) … x
p p
1
p
2
… p
Вычислим теперь математическое ожидание отклонения Х-М(Х):
Теорема. 2.2. Математическое ожидание отклонения Х-М(Х) равно нулю.
Рассмотрим квадрат отклонения случайной величины Х. Запишем закон
распределения случайной величины (X-M(X))2:
(X-M(X))
p p
(x1-M(X))
1
(x2-M(X))
p
2
… (x
… p
Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называют
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от
ее математического ожидания:
-M(X) xn-M(X)
n-1
0)()())((
.
p
n
(xn-M(X))
p
n
n-1
n-1
n-1
XMXMXMXM
-M(X))
2
)()( XMXMXD
.
Из закона распределения величины (X-M(X))2 следует:
1
2
21
2
2
2
pXMxpXMxpXMxXD
)(...)()()(
nn
2.3.2. Свойства дисперсии
1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между
математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее
математического ожидания:
22
)()()(
XMXMXD
.
2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
.
0)(CD
23
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя
его в квадрат:
2
)()(
XDCCXD
.
4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме
дисперсий этих величин:
.
)()()( YDXDYXD
Это свойство распространяется и на случай любого конечного числа
слагаемых.
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна
сумме их дисперсий:
.
)()()( YDXDYXD
Пример 2.5. D(X)=3. Найти D(-3X), D(4X+3).
D(-3X)=9D(X)=27.
D(4X+3)=D(4X)+D(3)=16D(X)+0=48.
В общем случае дисперсия суммы случайных величин выражается
через ковариацию. Ковариацией случайных величин X и Y называется
числовая характеристика пары случайных величин (X, Y), которая
определяется следующим образом:
cov(X, Y) = M(X – MX)(Y – MY).
Эту формулу можно преобразовать [7] к виду
cov(X, Y) = M(XY) – MX MY.
Ковариация характеризует совместное изменение значений случайных
величин . Наряду с ковариацией рассматривается и ее нормировка –
коэффициент корреляции, который определяется следующим образом:
(,)
𝑟=
Через ковариацию и коэффициент корреляции можно выразить
дисперсию суммы случайных величин
D(X+Y)=DX+DY+2cov(X, Y) =DX+DY+2rσX∙σY.
∙
.
24
Коэффициент корреляции характеризует степень линейности
взаимосвязи случайных величин . Это связано со следующими свойствами
коэффициента корреляции:
1) |r|≤1;
2) если X и Y связаны линейной функциональной связью, то есть Y=aX +b,
то |r| = 1; причем r = 1, когда a > 0 и r = -1, когда a < 0;
3) если X и Y независимы, то r = 0; обратное неверно; если r = 0, то X и Y
называются некоррелируемыми.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: чем ближе значения
коэффициента корреляции по модулю к 1, тем сильнее линейная связь между
соответствующими случайными величинами; чем ближе его значения по
модулю к 0, тем слабее линейная связь между соответствующими
случайными величинами.
2.3.3. Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением (Х) случайной величины Х
называется корень квадратный из ее дисперсии:
)()( XDX
.
Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что
дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности
самой случайной величины. В тех случаях, когда нужно иметь числовую
характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и
сама случайная величина, и используется среднее квадратическое
отклонение.
Пример 2.6. Случайная величина Х – количество очков, выпавших при
однократном бросании игральной кости. Определить (Х).
𝐷(𝑋)= (1 − 3,5)∙
+(4 − 3,5)∙
1
+(5 − 3,5
6
1
+(2 − 3,5
6
)( X
)
)
1
∙
+(6 − 3,5
6
35
12
1
∙
+(3 − 3,5
6
71,1
.
1
)
∙
+
6
1
)
35
∙
=
6
12
25
2.3.4. Понятие о моментах распределения
Начальным моментом распределения порядка k случайной величины Х
называют математическое ожидание величины Xk, k – натуральное число:
k
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х можно
выразить через начальные моменты 1 и 2 порядков:
Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется
математическое ожидание величины (X-M(X))k:
Из определения начального и центрального моментов распределения
следует:
k
k
1
2
kk
2211
)(
XM
,
1
22
)()()( XMXMXD
k
XMXM )(
XMXM
2
pxpxpxXM ...)(
.
nkn
2
.
12
.
0)(
,
)()(
XDXMXM
.
Сравнивая полученные соотношения, имеем:
2
.
122
Пример 2.7. Дискретная случайная величина Х задана законом
распределения:
X 1 3
p 0,4 0,6
Найти начальные моменты первого, второго порядков и центральный
момент второго порядка. Имеем:
XM
1
2,26,034,01)(
,
26
96
2
2
2
2
8,56,094,01)(
XM
,
,084,48,52,28,5
.
2.4. Непрерывные случайные величины
2.4.1. Функция распределения
Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя
построить таблицу распределения. Поэтому их изучают другим способом.
Пусть Х – непрерывная случайная величина с возможными значениями
из некоторого числового интервала (a, b) и х – действительное число. Под
выражением Х<х понимается событие «случайная величина Х приняла
значение, меньшее х». Вероятность этого события Р(Х<х) есть некоторая
функция переменной х:
.
)()( xXPxF
Интегральной функцией распределения (или кратко функцией
распределения) непрерывной случайной величины Х называется функция
F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение, меньшее х.
Укажем свойства F(x):
1. 0 ≤𝐹(𝑋)≤1.
2. F(x) – неубывающая функция, т. е. если x1<x2, то F(x1)<F(x2).
3. Вероятность попадания случайной величины в полуинтервал [a, b)
равна разности между значениями функции распределения в правом и левом
концах интервала (a, b):
.
)()()( aFbFbXaP
Пример 2.8. Случайная величина Х задана функцией распределения:
;1,0
)(
xF
x
1
x
4
4
x
;31,
x
.3,1
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение,
принадлежащее полуинтервалу [0, 2). Так как на полуинтервале [0, 2)
𝐹(𝑥)=
+
, то
27
2141412
1
)0()2()20( FFXP
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет
какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:
0)(
xXP
.
1
5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал,
отрезок и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы:
6. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат
интервалу (a, b), то
1) F(x)=0 при 𝑥≤𝑎; 2) F(x)=1 при 𝑥≥ 𝑏.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины
расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные
соотношения:
.
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP
𝐹(−∞)= lim
2.4.2. Плотность распределения
Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной
величины Х (или ее плотностью распределения) называется функция f(x),
равная производной интегральной функции.
Так как F(x) – неубывающая функция, то 𝑓(𝑥)≥0.
Теорема. 2.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины
Х в интервал (a, b) равна определенному интегралу от дифференциальной
функции распределения величины Х, взятому в пределах от a до b:
Следствие 1. Если f(x) - четная функция и концы интервала симметричны
относительно начала координат, то
𝐹(𝑥)= 0, 𝐹(+∞)= 1.
→
b
a
.
dxxfbXaP )()(
28
4
a
0
Следствие 2.
.
1)( dxxf
Пример 2.9. Задана плотность вероятности случайной величины Х
A
xf
1)(x
,
2
x
Найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность
попадания случайной величины Х в интервал (0, 1).
Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением из следствия 2:
1 + 𝑥
𝐴
𝑑𝑥 +
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
=
𝐴
1 + 𝑥
𝑑𝑥=
=𝐴arctg(−∞)− arctg(+∞) =1.
.
dxxfaXPaXaP
)(2)()(
.
)(
𝐴
𝑑𝑥=
1 + 𝑥
Откуда, 𝐴π=1, 𝐴 =
.
Найдем функцию распределения F(x):
x
xF
)(
dx
1
2
x
)1(
)(
1
1
2
arctgxarctgarctgx
Найдем искомую вероятность:
1
.
)0()1()10( FFXP
2.4.3. Математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с
плотностью распределения f(x) называют величину несобственного
интеграла (если он сходится):
dxxxfXM )()(
.
29
3
Дисперсией непрерывной случайной величины Х, математическое
ожидание которой M(x)=a и f(x) является ее плотностью распределения,
называется величина несобственного интеграла (если он сходится):
Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и
математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Для непрерывной случайной величины Х среднее квадратическое
отклонение (X) определяется, как и для дискретной величины, формулой
Пример 2.10. Случайная величина Х задана плотностью вероятности
)(
xf
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение величины Х.
Согласно определениям имеем:
𝐷(𝑋)= 𝑥 −
=
1
𝑥−
2
8
3
𝑥+
4
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3
16
𝑥𝑑𝑥
9
x
2
2
dxxfaxXD )()()(
x
x
x
1
)()(
2
= 𝑥 −
= 𝑥 −
2
)()( XDX
.
)()( XDX
.
;0,0
;20,
.2,0
2
0
4
2
dxxdxxxfXM
3
4
1
𝑥𝑑𝑥
1
2
2
𝑥𝑑𝑥
=
2
=
9
3
4
3
47,0
.
30
2.5. Некоторые законы распределения случайных величин
2.5.1. Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления
события А в каждом испытании равна p и не зависит от исхода испытания
(независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в
одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1-p.
Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m
раз (𝑚≤𝑛).
Пусть событие А наступило в первых m испытаниях m раз и не наступило
во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в
виде произведения:
AAAAAA
......
mnm
.
Общее число сложных событий, в которых событие А наступает m раз,
равно числу сочетаний из n элементов по m элементов. При этом вероятность
каждого сложного события равна: qmp
являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их
вероятностей. Пусть P
испытаниях, тогда
- вероятность появления события А m раз в n
n(m)
n-m
. Так как эти сложные события
n
)(
Эту формулу называют формулой Бернулли.
Пример 2.11. При проведении зачета методом тестирования
используется 5 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 вариантов
ответов, среди которых только один верный, а остальные правдоподобны.
Зачет ставится, если студент лает не менее 3 правильных ответов. Какова
вероятность получения зачета студентом, совершенно не знающим
предмета, для которого все варианты ответов кажутся правдоподобными?
Для студента, совершенно не знающего учебной дисциплины,
вероятность правильного ответа на любой из 5 вопросов билета p=1/5.
Полным набором элементарных событий является получение числа
правильных ответов на вопросы в количестве 0, 1, 2, 3, 4, 5. Сумма последних
в этом ряду трех элементарных событий составляет событие В - получение
зачета. Поэтому
qpCmP
nn
!
mnm
)!(!
mnmmnmm
qp
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]