Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие-1
.pdf
11
30
Вероятность их встречи можно вычислить как отношение площади
заштрихованной части к площади квадрата:
60
5
=
.
9
𝑃(𝐴)=
1.1.4. Основные формулы комбинаторики
60− 40
Комбинаторика — раздел математики, изучающий вопросы о том,
сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных
элементов.
Размещениями из n различных элементов по m элементов называют
комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые
отличаются либо самими элементами, либо их порядком.
Формула для нахождения числа различных размещений из n элементов
по m элементов:
m
n
Пример 1.4. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного
цвета, взятых по 2?
2
56
A
6
.
)1)...(2)(1( mnnnnA
.
Пусть даны n различных видов элементов, которые можно разместить по
k различным местам, причем выбирать элементы можно с повторениями, т.е.
12
1
брать несколько элементов одного вида. Такие выборки называются
размещениями с повторениями, и их количество вычисляется по формуле:
𝐴
= 𝑛
.
Пример 1.5. Сколько пятизначных чисел можно составить из множества
цифр {5,7,2}?
Общее число упорядоченных выборок из указанных трех цифр по 5 будет
равно:
𝐴
=3=243.
Перестановками из n различных элементов называют размещения из
этих n элементов по n.
Формула для нахождения числа различных перестановок из n элементов:
n
nnnnP
23)...2)(1(!
.
Пример 1.6. Для лечения заболевания применяют 3 лекарства.
Последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает
существенное влияние на результат лечения. Сколько имеется различных
порядков назначения этих лекарств?
P
n
6123!3
.
Пусть даны n1 элементов первого типа, n2 - элементов второго типа, …,
nk – k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по n различным
местам называются перестановками с повторениями. Формула для их
вычисления следующая:
(
𝑃
𝑛, 𝑛, …, 𝑛
)
=
!!…!
!
.
Пример 1.7. Сколько различных пятибуквенных слов можно составить
из букв слова «манна»?
В слове буквы «а» и «н» повторяются 2 раза, а буква «м» один раз.
Поэтому:
(
𝑃
2,2,1)=
!
!∙!∙!
= 30.
Сочетаниями из n различных элементов по m элементов называют
комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые
отличаются хотя бы одним элементом.
13
Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не
учитывается порядок элементов.
Формула для нахождения числа различных сочетаний из n элементов по
m элементов:
m
C
n
n
.
)!(!!mnm
Пример 1.8. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7
человек, можно составить из 15 преподавателей?
В данном случае порядок выбора не существенен. Поэтому
!
С
=
!∙!
=6435.
Пусть имеются элементы n различных видов, из них составляются
наборы по k элементов. Такие выборки называются сочетаниями с
повторениями. Их число вычисляется по формуле:
С
= 𝐶
= 𝐶
.
Пример 1.9. На конвейере конфетной фабрики движутся конфеты
четырех сортов. Будем вытаскивать конфеты по 20 штук. Сколько
различных комбинаций конфет может оказаться в горсти?
Если принять, что первому сорту соответствует число 1, второму – 2 и
т.д., то исходное множество в данной задаче будет {1,2,3,4}. Из этого
множества выбираем по 20 элементов. При этом порядок конфет различного
сорта не важен, т.е. выборки не упорядочены. Поэтому:
(
)!
𝐶
=
(
)!∙!
!
=
!∙!
=1771.
1.2. Свойства вероятности
1.2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Суммой событий А и В называют событие С=А+В, состоящее в
наступлении , по крайней мере, одного из событий А или В.
Например, А – попадание в мишень первым стрелком, В – попадание в
14
мишень вторым стрелком. А+В – попадание в мишень, по крайней мере,
одним стрелком.
Произведением событий А и В называют событие С=АВ, состоящее в том,
что в результате испытания произошло и событие А и событие В.
В условиях предыдущего примера АВ – попадание в мишень двух
стрелков.
Теорема. 1.1. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В
равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и A
равна единице.
Пример 1.10. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 4 белых астр.
Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают
одну астру?
1.2.2. Теорема умножения вероятностей
Два события называют независимыми, если вероятность появления
каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В
противном случае события называют зависимыми.
Пример 1.11. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Событие
А – вынут белый шар, 𝑃(𝐴)=
. После первого испытания вынутый шар
кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар.
Событие В – во втором испытании вынут белый шар – также имеет
вероятность 𝑃 (𝐵)=
, т. е. события А и В – независимые.
Предположим теперь, что вынутый в первом испытании шар не кладется
обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, т. е. в первом испытании
был вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается: 𝑃(𝐵)=
Если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В
увеличивается: 𝑃(𝐵)=
. События А и В – зависимые.
Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью 𝑃(𝐵|𝐴)
события В называют вероятность события В, найденную в предположении,
что событие А уже наступило.
Тогда в примере 1.11 вероятность вынуть во второй раз белый шар, если
первый раз был вынут белый (при вытаскивании без возвращения) является
условной вероятностью: 𝑃(𝐵|𝐴)=
.
.
15
61312
491717
Теорема 1.2. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность
другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
𝑃(𝐴𝐵)= 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴).
В примере 1.11 возьмем случай, когда вынутый в первом испытании шар
не кладется обратно в урну. Поставим вопрос: какова вероятность вынуть
первый и второй раз белые шары? Имеем:
1
)( AP
.
Теорема 1.3. Вероятность произведения двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий:
.
)()()( BPAPABP
Пример 1.12. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету
равна 1/7. Какова вероятность выигрыша по двум билетам.
События выигрыша по каждому из двух купленных лотерейных билетов
- независимые. Поэтому
1
)( ABP
.
1.2.3. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема. 1.4. Вероятность суммы двух совместимых событий равна
сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:
).()()()( ABPBPAPBAP
Пример 1.13. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету
равна 95%. Определить вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух
купленных билетов.
Пусть событие А – выигрыш по первому билету, В - выигрыш по второму
билету. А и В – совместимые события. Поэтому:
.
BAP
9975,095,095,095,095,0)(
16
1.2.4. Формула полной вероятности
Теорема. 1.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при
условии наступления одного из n попарно несовместимых событий В1, В2,…,
Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей
каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность
события А:
𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵
)𝑃(𝐴|
𝐵
)
+ 𝑃(𝐵
)𝑃(𝐴|
)
𝐵
+ ⋯ + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)
(формула полной вероятности).
Пример 1.14. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20
задач по дифференциальному исчислению, 30 – по интегральному
исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же
доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет,
если он умет решать 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 – по
интегральному исчислению?
Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению
(событие В1) равна Р(В1)=0,4, по интегральному исчислению (событие В2) –
Р(В
)=0,6. Если событие А означает, что задача решена, то
2
𝑃(𝐴|𝐵
)
= 0,9, 𝑃(𝐴|𝐵
)
=0,5.
Тогда по формуле полной вероятности имеем:
.
AP
66,05,06,09,04,0)(
1.2.5. Формула Байеса
Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной
вероятности, произведено одно испытание, в результате которого
произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что
событие А уже произошло) величины 𝑃(𝐵).
Найдем уловную вероятность 𝑃(𝐵|𝐴). По теореме умножения
вероятностей имеем:
𝑃(𝐴𝐵
)=𝑃(𝐴)𝑃(
|𝐴)
𝐵
= 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵).
Отсюда, используя формулу полной вероятности:
𝑃(𝐵
|𝐴)
()(|)
=
∑
()(|)
- формула Байеса.
17
Пример 1.15. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и
«тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире»
встречаются в соотношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что
искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире»
(искажение приводит к замене «точка» на «тире» и наоборот). Определить
вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: 1) принят сигнал
«точка»; 2) принят сигнал «тире».
Обозначим события:
А – принят сигнал «точка»;
С – принят сигнал «тире»;
В1 –послан сигнал «точка»;
В2 – послан сигнал «тире».
По условию Р(В1)=5/8, Р(В2)=3/8.
Имеем:
Р(A|B1)=3/5, P(A|B2)=1/3,
P(C|B1)=2/5, P(C|B2)=2/3.
Согласно формуле полной вероятности:
𝑃(𝐴)=
∙
+
∙
=
, 𝑃(𝐶)=
По формуле Байеса имеем:
1) 𝑃(𝐵
2) 𝑃(𝐵
|𝐴)
|𝐶)
∙
()(|)
=
()
()(|)
=
()
+
∙
=
,.
∙
=
=
.
/
∙
=
=
.
/
Вопросы для контроля
1. Сформулируйте классическое определение вероятности.
2. Сформулируйте статистическое определение вероятности.
3. Назовите основные виды комбинаций и формулы для нахождения их числа.
4. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместимых событий.
5. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.
6. Сформулируйте теорему сложения вероятностей совместимых событий.
7. Запишите формулу полной вероятности.
8. Запишите формулу Байеса.
18
2. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Цели и задачи изучения темы
Освоить понятия дискретной и непрерывной случайных величин.
Уметь строить закон распределения дискретной случайной величины.
Уметь находить функцию распределения непрерывной случайной
величины.
Освоить понятия математического ожидания, дисперсии, среднего
квадратического отклонения случайных величин.
Знать виды распределений случайных величин.
2.1. Случайные величины
2.1.1. Понятие случайной величины
Случайной величиной называют переменную величину, которая в
зависимости от исхода испытания случайно принимает одно из множества
возможных значений.
Случайные величины обозначают прописными латинскими буквами: X,
Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами: x,
y, z. Например, случайная величина Х имеет три возможных значения: x1, x2,
x3.
Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно
записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется
дискретной.
Например, число очков выпавших при однократном бросании игральной
кости – дискретная случайная величина, которая может принять одно из
значений:1, 2, 3, 4, 5, 6.
Случайная величина, которая может принимать все значения из
некоторого числового промежутка, называется непрерывной.
Например, прирост веса домашнего скота за месяц – непрерывная
случайная величина, которая может принять значение из некоторого
числового промежутка.
2.1.2. Закон распределения дискретной случайной величины
Рассмотрим дискретную случайную величину Х с конечным множеством
возможных значений. Величина Х считается заданной, если перечислены все
ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина Х может
19
принять эти значения. Указанный перечень возможных значений и их
вероятностей называют законом распределения дискретной случайной
величины. Он задается при помощи таблицы:
X x
p p
1
1
Так как в результате испытания величина Х всегда примет одно из
значений х1, х2,…,хn, то
Пример 2.1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100000 р.,
10 выигрышей по 10000 р. И 100 выигрышей по 100 р. При общем числе
билетов 10000.Найти закон распределения случайного выигрыша Х для
владельца одного лотерейного билета.
Здесь возможные значения для Х: х1=0, х2=100, х3=10000, х4=100000.
Вероятности их будут: р2=0,01, р3=0,001, р4=0,0001, р1=1-0,01-0,0010,0001=0,9889. Значит, закон распределения можно задать таблицей:
X 0
p 0,9889 0,01
2.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
2.2.1. Понятие математического ожидания
Часто встречаются случаи, когда закон распределения дискретной
случайной величины неизвестен. Тогда ее изучают по числовым
характеристикам. Одной из них является математическое ожидание.
Пусть некоторая дискретная случайная величина задана законом
распределения:
X x
p p
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х
называют сумму произведений всех возможных значений величины Х на
соответствующие вероятности:
1
1
x
2
p
2
x
3
p
3
… x
… p
n-1
n-1
x
n
p
n
p1+р2+…+рn=1.
100
10000 100000
0,001 0,0001
x
2
p
2
x
3
p
3
… x
… p
n-1
n-1
x
n
p
n
pxpxpxXM
...)(
2211
.
nn
20
YXZ2
Пример 2.2. Найдем математическое ожидание в примере 2.1.
M(X)=00,09889+1000,01+100000,001+1000000,0001=1+10+10=21.
Т. е. 21 р. – справедливая цена одного лотерейного билета.
Теорема. 2.1. Математическое ожидание дискретной случайной
величины приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений
(при достаточно большом числе испытаний).
2.2.2. Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной:
.
CCM)(
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания:
.
)()( XCMCXM
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме
их математических ожиданий:
.
)()()( YMXMYXM
4. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон
распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение
приняла другая величина.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий:
.
)()()( YMXMXYM
5. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно
разности их математических ожиданий:
.
)()()( YMXMYXM
Примечание. Свойства 3 и 4 имеют место и для любого конечного числа
случайных величин.
Пример 2.3. Найти математическое ожидание случайной величины
, если М(Х)=5, М(Y)=3.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]