Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
ñ параметром
λ > 0
найти реализации оценок параметраλïî первому è
второму моментàì, è оценки ìàêсимального правдоподобия.
12.13
распределения íà отрезкå
Ïî реализации
x = (−2; 3; 4; −2; 1)
[θ1; θ2]
найти реализации оценок параметров,
выборки èç равномерного
предлоæенных â примере 11.5, è оценки ìàêсимального правдоподобия èç
примера 12.4.
12.14
Äàíà выборкàX ⊂= U
[0,θ]
, θ > 0
неизвестный параметр. Ñðàâ-
íèòü, êàêàÿ èç оценок äëÿ параметраθлучше â среднеквадратичном:
∗
θ
= 2X,θ
1
12.15
∗
θ
= X
1
ÏóñòüX ⊂= F (t, θ),
n+1
∗
=
X
.
2
(n)
n
ãäå
θ = EθX1, DX1< ∞
. Ïîêазать, ÷òî оценкà
являетсÿ наилучшей â среднеквадратичном среди âñåõ несмещен-
íûõ оценок âèäà
θ∗= C1X1+ C2X2+ ··· + CnXn, C1+ C2+ ··· + Cn= 1.
12.16
Исследовать ñ помощью неравенства Ðао-Крамера оптимальность
ÎÌÏ äëÿ неизвестного параметра â ìîделях
à)X ⊂= Bp, 0 < p < 1
á)X ⊂= B
â)X ⊂= N
ã)X ⊂= N
ä)X ⊂= G
12.17
Äàíà выборкà èç распределения ñ плотностью
, 0 < p < 1, m
m,p
, −∞ < θ < ∞
θ,1
, 0 < θ < ∞
0,θ
, θ > 1
1/θ
;
.
fθ(t) =
.
.
известно.
θ−t
e
, t ≥ θ,
0, t < θ.
Найти оценку äëÿθà) ìåòîäîì моментов; á) ìåòîäîì ìàêсимального
правдоподобия. Áóäóò ëè полученные оценки несмещенными è состоÿ-
тельными?
12.18
Вычислить смещения оценок â çàäà÷å
12.17
è получить исправ-
ленные несмещенные оценки.
121
Ãëàâà 13
Ñòатистическàÿ обработкà â
ïàêåòå Excel
Ïàêåò программ Microsoft Excel äëÿ ÎÑ Windows íå являетсÿ специализи-
рованным ïàêåòîì ñòатистическîãî анализа, íî широкî распространен è
ñíàáæåí набором функций, äîñòаточным äëÿ решения большинства ñòàòè-
стических çàäà÷.
13.1. Пример ñòатистическîé обработки
Ðассмотрим процедуры ñòатистическîãî анализа íà примере èñêóсственно
сгенерированной выборки.
Пример 13.1.
ïî ôîðìóëå
зацию выборки èç ðàâíîмерного ðаспределения íà
лизацию вариационного ðÿäà è гистогрàììû, âûáðàâ ÷èñëî ïðîмежутков
ïî ôîðìóëå Стеджесà. Выдвинуть äâå двухпараметрических гипотезы î
ðаспределении выборочных значений. Оценить ïàðаметры ðаспределений
методоì ìîментов (ïî первоìó è второìó ìîментам) è методоì ìàê-
симального ïðавдоподобия. Íà основании ïîлученных ðåализаций оценок
построить ðåализации оценок функций ðаспределения. Ñäåëàòü вывод î
наибоëåå адекватной ìîäåëè.
Ðешение.
òаблицы. Äëÿ этого â ячейкуA1введем формуëó
xi= 1 −100 ln ui, ãäå
Сгенерировать ðåализацию выборки îáúåìà
ui ñлучайные ÷èñëà îáðазуют ðåàëè-
[0; 1]
. Построить ðåà-
Получим реализацию выборки â столбикåAэлектронной
=1-LN(СЛЧИС())*100
122
n = 30
(здесь
случайные числа, равномерно распределенные íà отрезкå îò 0 äî 1).
столбикàAâ òîò æå столбик (äëÿ этого щелкнем правой кнопкîé ìûøè ïî
буквеAè â выпадающем ìåíþ выберем
чения îò последующего пересчетà.
B1
СЛЧИС()ìàòåматическая
Ñêопируåì ñîäåðжимое ячейки â ячейки
Копирование çíàчений ôèêñèðóåò реализацию выборки, ñîхраняя çíà-
Вычислим êоличество промежуткîâ ïî формуëå Стеджåñà: â ячейку
введем формуëó
=ЦЕЛОЕ(LOG(30;2))+1
функция, реализующая независимые
A2-A30
специальная вставка⇒значения
. Ñêопируåì
значения
.
 ячейкàõ
наименьшее çíàчения, размах реализации выборки è длину промежуткà:
Последовательно прибавляя длину промежуткà ê минимальному çíà-
чению, хранящемуñÿ â ячейкåA1, получаем â столбикåCправые границы
промежуткîâ: 61,5; 117; 173; 229; 284 (округленно). Отметим, ÷òî здесь
íàäî специально позаботитьсÿ î òîì, чтобы âñå элементы попали левее
самой правой границы промежуткà, äëÿ этого прибавим ê самой правой
границе 1, получив 285 вместо 284.
Ïîдсчитàåì êоличества элементов, попавших â êаждый èç промежут-
êîâ. Äëÿ этого воспользуåìñÿ функцией
ìóëó
Затем выделим ячейки
формуëó массива, íàæàâ клавиши
 столбикåFполучим çíàчения гистограммы, разделив çíàчения ñòîë-
áèêàDíà
строим гистограмму ïî столбикуFñ помощью функции
ðèñ. 13.1).
Ïî âèäó гистограммы íàì предстоит решить, êàêèå гипотезы î ðàñ-
пределении выборки следуåò выдвинуть. Вспомним, êàê âûãлядят ãðà-
ôèêè плотности распределения изученных íàìè двухпараметрических ñå-
мейств распределений: равномерного, ñдвинутого ïîêазательного, Парето,
нормального.
B2, B3, B4, B5
=×ÀÑÒÎÒÀ(A1:A30;C1:C5)
D1:D5
n = 30
è íà длину промежуткà, хранящуюсÿ â ячейкåB5. Ïî-
найдем последовательно наибольшее è
ячейкà формуëà
B2 =ÌÀÊÑ(A:A)
B3 =ÌÈÍ(A:A)
B4 =B2-B3
B5 =B4/B1
ЧАСТОТА
, нажмем клавишу F2 è введем формуëó êàê
CTRL+SHIFT+ENTER
. Введем â ячейкуD1ôîð-
.
диагрàììà
(ñì.
123
Ðèñ. 13.1: Òàáëèöà Excel è гистогрàììà выборочных данных.
Заметим, ÷òî толькî ñдвинутое ïîêазательное распределение è распре-
деление Парето имеют плотности, ïîõîæèå íà полученную гистограмму
(ðèñ. 13.2). Íà рисункå слева изображåí график плотности ñдвинутого ïî-
124
êазательного распределения, справа распределения Парето. Напомним,
÷òî формуëû äëÿ плотностей распределений имеют следующий âèä.
−α(t−θ)
f
(t) =
α,θ
αe
0
,
åñëè
èíà÷å
t ≥ θ;
;
f
γ,h
(t) =
γhγt
0
−(γ+1)
,
åñëè
èíà÷å
t ≥ h;
.
Ðèñ. 13.2: Плотности сдвинутого показательного ðаспределения
è ðаспределения Парето
Ó ñдвинутого ïîêазательного распределения параметрαïîëîжитель-
íûé, à параметрθ любое действительное число. Ó распределения Парето
îáà параметраγèhïîëîжительны. Соответствующие функции распреде-
125
ления имеют âèä
F
(t) =
α,θ
1 −e
0
−α(t−θ)
,
åñëè
èíà÷å
t ≥ θ;
;
F
γ,h
(t) =
1 −hγt−γ,
0
åñëè
èíà÷å
t ≥ h;
.
Построим оценки параметров ïî первому è второму моментàì. Äëÿ
ñдвинутого ïîêазательного распределения элементы выборки
Xi= θ+ Yi, ãäå
раметромα, àθ параметр ñäâèãà. Êàê известно,
Yiобразуют выборку èç ïîêазательного распределения ñ ïà-
EYi= 1/α,DYi= 1/α2.
Xiравны
Пользуÿñü свойствами математическîãî îжидания è дисперсии, получаем
систему уравнений
EXi= θ + 1/α,
DXi= 1/α2.
Выразим параметры:
α = (DXi)
θ = EXi− (DXi)
−1/2
,
1/2
.
Заменим математическîå îжидание è дисперсию íà выборочное ñðåä-
íååXè выборочную дисперсию
S2, à параметрыαèθíà èõ оценки
α∗è
θ∗. Получим оценки параметров:
α∗= S−1,
θ∗= X − S.
Найдем реализации ýòèõ оценок. Выборочное ñòандартное отклоне-
íèåS ýòî функция
СРЗНАЧ
. Вычислим èõ çíàчения â ячейкàõG1èG2, введя òóäà функции
=СТАНДОТКЛОНП(A:A)è=СРЗНАЧ(A:A)
öèè оценок
θ∗è
α∗. Äëÿ òîãî, чтобы понять, íàñêîëüêî õороши оценки ìå-
СТАНДОТКЛОНП
, à выборочное среднее функция
. Â ячейкàõH1èH2получим реализа-
òîäîì моментов, построим графики реализаций параметрическîé оценки
функции распределения
∗
íèÿ
F
(t)
. Получим формуëó äëÿ интервала дискретизацииdtпеременной
n
t
, èñõîäÿ èç òîãî, чтобыdtáûëî целой степенью числа 10, è ìíîæество âû-
F (t, α∗, θ∗)
è эмпирическîé функции распределе-
борочных çíàчений делилось íå менее ÷åì íà 100 интервалов. Обозна÷èâ
через
R = X
(n)
− X
размах выборки, получаем:
(1)
R/100 ≥ dt, dt = 10k, dt ≤ 10
lg R−2
.
Выбирая â êàчествеdtнаибольшее èç òàêèõ чисел, ïðèõîäèì ê формуëå
dt = 10
[lg R]−2
,
126
ãäå
[·]
целая часть числа.
Ïîñêольку â нашем примере размах выборки равен 279, получаем
[lg 279] = 2
ïî формуëå
, è
dt = 1
. Найдем çíàчения оценки функции распределения
=ЕСЛИ(СТРОКА()<H$1;0;1-EXP(-H$2*(СТРОКА()-H$1)))
è ñêопируåì ýòó формуëó â ячейки
Получим çíàчения эмпирическîé функции распределения â òåõ æå òî÷-
êàõ. Äëÿ этого создадим вспомогательный столбикM, ñîäåðæàùèé грани-
öû промежуткîâ дискретизации, ñêопировав функцию
M1:M285
èç промежуткîâ. Äëÿ этого воспользуåìñÿ функцией
ячейкуP1формуëó
Затем выделим ячейки
êàê формуëó массива, íàæàâ клавиши
÷èì çíàчения эмпирическîé функции распределения â столбикåJ, введя â
первую ячейку формуëó
. Потом ïîдсчитàåì, ñêîëüêî элементов выборки попало â êаждый
=×ÀÑÒÎÒÀ(A1:A30;M1:M285)
P1:P285
=ÑÓÌÌ(P$1:P1)/30
I1:I285
, нажмем клавишу F2 è введем формуëó
.
=СТРОКА()
ЧАСТОТА
CTRL+SHIFT+ENTER
â ячейки
. Введем â
. Òеперь ïîëó-
è ñêопировав åå â îñòальные ячейки. Здесь
Построим диаграмму ïî столбикàìIèJ(ðèñ. 13.3).
30 = n
127
объем выборки.
Ðèñ. 13.3: Оценка функции сдвинутого показательного ðаспределения
методоì ìîментов.
Òеперь получим оценки ìàêсимального правдоподобия äëÿ параметров
αèθ
ñдвинутого ïîêазательного распределения. Заметим, ÷òî плотность
распределения
f
α,θ
(t) =
−α(t−θ)
αe
0
,
åñëè
èíà÷å
t ≥ θ;
;
непрерывна ïî параметру
α > 0
è разрывна ïî параметруθ. Ñíà÷àëà
найдем оценку параметраθнепосредственно отысканием точки ìàêсимума
функции правдопобобия. Функция правдоподобия равна
n
−α(Xi−θ)
èëè
Π(X,α, θ) =
Π(X,α, θ) =
(αe
i=1
0
αne
−α(
∑
n
i=1
0
Xi−nθ)
),
,
åñëè âñå
èíà÷å
åñëè
θ ≤ min{Xi};
èíà÷å
.
Xi≥ θ;
;
128
Зависимость функции правдоподобия îò параметраθизображåíà íà
ðèñ 13.4. Åå ìàêсимум достигàåòñÿ â òî÷êåθ = min{Xi}
оценкîé ìàêсимального правдоподобия параметраθ.
, êоторая являетсÿ
Ðèñ. 13.4: Зависимость функции ïðавдоподобия îò ïàðаметрàθ.
Найдем оценку ìàêсимального правдоподобия параметраα. Äëÿ этого
последовательно вычислим
ln f (t, α, θ) = ln α − α(t −θ)
ïðè
t ≥ θ
;
∂
ln f (t, α, θ) =
∂α
1
− (t − θ)
α
129
ïðè
t ≥ θ
;
n
i=1
1
− (Xi− θ),
α
åñëè âñå
∂
ln Π(X,α, θ) =
∂α
Xi≥ θ
. Приравнивая произвоäíóþ ëîãарифма функции правдо-
n
i=1
∂
ln f (Xi, α, θ) =
∂α
ïîдобия ê íóëþ, получаем уравнение äëÿ определения оценки параметра
α
:
n
1
− (Xi− θ)= 0,
α
i=1
решением êоторого являетсÿ
α =
n
i=1
n
Xi− nθ
=
1
X − θ
.
Ïîñêольку параметрθнеизвестен, заменим åãî íà оценку ìàêсималь-
íîãî правдоподобияθ = min{Xi}
è получим
1
X − min{Xi}
.
Óсловие
Xi≥θ
α =
îêазываетсÿ выполненным автоматически.
Найдем реализации оценок ìàêсимального правдоподобия è построим
графики реализаций параметрическîé оценки функции распределения
F (t,α,θ)
распределения
(êàê äëÿ оценок ìåòîäîì моментов) è эмпирическîé функции
∗
F
(t)
. График приведен íà ðèñ. 13.5.
n
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]