Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
B = {
выпал ïî крайней ìåðå îäèí ãåðá è õîòÿ áû îäíà ðåøêà}.Описать
òàêæå событияAB,AB.
2. Â шахматном турнире участвуют 16 человек, êоторые разбиваютсÿ
íà ïàðû ïî жребию è играют ïî олимпийскîé системе (проигравший âû-
бывает èç èãðû, ничьих íåò). Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî второй ïî ñèëå
шахматист íå попадет â финал?
3. Íà отрезкå единичной длины íàóäà÷ó ïîñòавлены äâå точки, â ðå-
çóëüòàòå ÷åãî ýòîò отрезок îêазываетсÿ разделенным íà òðè части. Опреде-
ëèòü âåðîятность òîãî, ÷òî сумма äëèí первых äâóõ частей íå превосõîäèò
длины последней части.
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
A
4
-
A
3
A
1
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ элементà
-
A
2
Akравна 0,1. Предполагàåòñÿ,
÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ независимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîÿò-
ность òîãî, ÷òî öåïü íå áóäåò пропуñêàòü òîê.
5. Íà сборку поступают äåòàëè ñ òðåõ автоматов. Первый автомат äà-
åò 50 %, à второй 30 % âñåõ äåòàëåé, íåîáõîдимых äëÿ сборки. Áðàê â
ïðîдукции первого автоматà ñîñòавляет 1 %, второго 2 %, à третьего
4 %. Äåòàëü, изготовленная автоматом, îêазалась áðàêованной. Êàêîâà
âåðîятность òîãî, ÷òî îíà изготовлена íà первом автомате?
6. Âåðîятность îòêàçà сервера ïðè êаждом èç независимых ïîäêëþ-
чений ñ помощью ìîäåìà равна 0,2. Попытки ïîдключения произвоäÿòñÿ
äî óñòановления связи. Найти ðÿä распределения, математическîå îæèäà-
íèå è дисперсию числа произведенных попыток ïîдключения, åñëè число
попыток ограничено пятью. Построить график функции распределения.
7. Çàêîí Эрлангà ñ плотностью распределения
f(x) =
Ax2e
−αx
ïðè
x ≥ 0;
0
ïðè
x < 0
описывает распределение времени прибытия äâóõ вызовов â ïóассоновскîì
потокå. Найти êоэффициентA, математическîå îжидание è дисперсию.
(Ðåêомендуåòñÿ использовать òаблицы определенных интегралов). Постро-
èòü график плотности распределения.
201
8. Íà 5 êарточкàõ написаны цифры îò 1 äî 5. Найти совместное распре-
деление числа, написанного íà выбранной íàóäà÷ó êарточкå, è индикатора
òîãî, ÷òî ýòî число нечетное. Найти êоэффициент êорреляции между íè-
ìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
âèä:
f(x, y) = c
, åñëè
x2+ y2≤ 4
, è0èíà÷å. Найти êîíñòàíòócè
X, Y
ρ(X, Y )
имеет
10. Количество âîäû, ðàñõîäóåìîå жителями îäíîé квартиры â ñóò-
êè, имеет ïîêазательное распределение ñî средним çíàчением 200 литров.
Найти, ñ êàêîé âåðîятностью äëÿ óдовлетворения потребностей жильцов
500 квартир áóäåò äîñòаточно 12 000 литров âîäû.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 0
ïî первому моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
θ
2
1
−x/θ
e
2
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
5,38 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,08
4,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,93
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà óровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
1,23 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,10
1,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 2 3 4 5
Y −3 −1 2 −4 4
.
202
Вариант 16
1. Случайная òî÷êàAíàóäà÷ó выбираетсÿ â ïðямоугольникå ñî сторо-
íàìè 1 è 2. Описать событие, îçíàчающее, ÷òî расстоÿíèå îòAäî êаждой
стороны ïðямоугольникà íå превосõîäèò1.
2. Íà ïîëêå â случайном ïîðÿäêå расставлены 8 êíèã, â òîì числе äâóõ-
томник Мандельштàìà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî îäèí èç томов Ìàí-
дельштàìà îêàæåòñÿ ó правого êðàÿ полки, à другой ó левого.
3. Íà отрезкå единичной длины íàóäà÷ó ïîñòавлены äâå точки, â ðå-
çóëüòàòå ÷åãî ýòîò отрезок îêазываетсÿ разделенным íà òðè части. Îïðå-
делить âåðîятность òîãî, ÷òî сумма äëèí последних äâóõ частей íå ïðå-
âîñõîäèò длины первой части.
4. Âåðîятность попадания â мишень ïðè îäíîì выстреле равна 0,9. Ïî
мишени стреляют îдиночными выстрелами äî первого попадания, после
÷åãî стрельбу прекращают. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî áóäåò ñделано áî-
ëåå òðåõ выстрелов.
5. Ñòóäåíò выучил ê экзамену толькî 30 вопросов èç 40. Äëÿ ñäà÷è
экзамена äîñòаточно ответить íà äâà èç четырех разных вопросов. Êàêîâà
âåðîятность òîãî, ÷òî экзамен áóäåò ñäàí? Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî
ñòóäåíò ответил íà âñå четыре вопроса, åñëè известно, ÷òî îí ñäàë экзамен?
6. Пользователь êомпьютера забыл пароль è перебирает íàóäà÷ó 6 âîç-
ìîæíûõ. После òðåõ íåóäà÷íûõ попыток êомпьютер блокируåòñÿ. Найти
ðÿä распределения, математическîå îжидание è дисперсию числа попыток.
Построить график функции распределения.
7. Время достижåíèÿ ñòандартным броуновским äâèæением уровня
имеет плотность распределения
−3/2e−a2/(2t)
f(t) =
At
ïðè
t ≥ 0;
0
ïðè
t < 0.
a
Найти нормирующую êîíñòàíòóA. Äîêазать, ÷òî математическîå îæèäà-
íèå времени достижåíèÿ íå существуåò. (Сделать замену
a/√t = y
. Ìîæíî
использовать òаблицы определенных интегралов).
8. Â течение òðåõ äíåé недели температура áûëà 30 градуñîâ, à âëàæ-
ность 60 процентов. Â течение других òðåõ äíåé температура 20 градуñîâ,
à влажность 90 процентов, à â последний äåíü 10 градуñîâ è 100 процен-
òîâ. Найти совместное распределение температуры è влажности â выбран-
íûé íàóäà÷ó äåíü. Найти êоэффициент êорреляции между температурой
è влажностью.
203
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
êîíñòàíòócè
f(x, y) = cxy
ρ(X, Y )
.
, åñëè
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1
, è0èíà÷å. Найти
X, Y
çàäà-
10. Участник лотереи бросает 5 шаров, êаждый èç êоторых ìîæåò ïî-
пасть â ëóçû ñ номерами îò 1 äî 6. Участник получает ценный ïðèç, åñëè
сумма î÷êîâ больше 23. Оценить âåðîятность получения ценного приза.
11. Äëÿ выборки
распределения
(X1, X2, . . . , Xn)
f(x)
найти оценки параметра
èç распределения ñ плотностью
θ > 0
ïî третьему момен-
òó è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность
полученных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
3√x
e
2
2θ
−x√x/θ
2
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
4,61 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64
-2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,26
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
1,64 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,43
1,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 0 2 4 6 8
Y −3 −1 2 −4 4
204
Вариант 17
1. Случайная òî÷êàAíàóäà÷ó выбираетсÿ â ïðямоугольникå ñî сторо-
íàìè 1 è 2. Описать событие, îçíàчающее, ÷òî расстоÿíèå îòAäî áëèæàé-
øåé стороны ïðямоугольникà íå превосõîäèò
1/2
.
2. Èç êîëîäû êàðò â 36 листов вынимаютсÿ òðè êàðòû. Найти âåðîÿò-
ность òîãî, ÷òî среди íèõ îêажутсÿ õîòÿ áû äâå красные êàðòû.
3. Íà отрезкå
AB
íàóäà÷ó выбираютсÿ äâå точкиMèN. Êàêîâà âåðî-
ятность òîãî, ÷òî òî÷êàMîêàæåòñÿ ïî крайней ìåðå втрое áëèæå ê òî÷êå
N
, ÷åì ê òî÷êåA?
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
A
3
-
A
2
A
1
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ элементà
òîâ
Ak ïî 0,04. Предполагàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçà-
-
A1равна 0,1, îñòальных элемен-
висимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü
òîê.
5. Прибор состоит èç òðåõ независимо работающих áëîêîâ, âåðîятности
îòêàçà êоторых çà смену равны соответственно 0,01, 0,05 è 0,08. Âåðîÿò-
ность âûõîäà èç ñòðîÿ прибора ïðè îòêàçå îдного èç áëîêîâ равна 0,5; ïðè
îòêàçå äâóõ áëîêîâ 0,8, ïðè îòêàçå âñåõ òðåõ áëîêîâ 1. Определить
âåðîятность âûõîäà прибора èç ñòðîÿ çà смену. Найти âåðîятность òîãî,
÷òî îòêазали âñå òðè áëîêà, åñëè известно, ÷òî прибор вышел èç ñòðîÿ.
6. Ïðè èãðå ñ автоматом игрок получает 50 рублей ñ âåðîятностью 0,1,
10 рублей ñ âåðîятностью 0,3. Найти суммуxрублей, êоторую игрок броса-
åò â автомат è òåðÿåò â случае проигрыша, åñëè математическîå îжидание
выигрыша равно ìèíóñ 2 рублям. (Â случае проигрыша сумма выигры-
øà ñ÷èòàåòñÿ отрицательным числом, равным сумме проигрыша, взятой
ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿.) Найти ðÿä распределения è дисперсию суммы âûèã-
ðûøà. Построить график функции распределения.
7. Плотность распределения âåðîятностей случайной величиныξимеет
âèä
f(x) =
1 +
A
ïðè
2
x
|x| ≤ θ;
θ
0
ïðè
|x| > θ
205
(óсеченное распределение Êîøè). Найти êоэффициентA, вычислить ìàòå-
матическîå îжидание è ñòандартное отклонение. Найти âåðîятность òîãî,
÷òî случайная величинаξпримет çíàчение, большее
θ/√3
.
8. Â äâóõ èç четырех àóдиторий ïî 20 ñòóдентов è уровень øóìà 60 äå-
цибелл, â третьей 10 ñòóдентов è уровень øóìà 50 децибелл, à â четвертой
àóдитории íåò ñòóдентов è уровень øóìà 20 децибелл. Найти совместное
распределение числа ñòóдентов è уровня øóìà â выбранной íàóäà÷ó àóäè-
тории. Найти êоэффициент êорреляции между числом ñòóдентов è óðîâ-
íåì øóìà.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
êîíñòàíòócè
f(x, y) = cx
ρ(X, Y )
.
, åñëè
x, y ≥ 0,x + 2y ≤ 2
, è0èíà÷å. Найти
X, Y
çàäà-
10. Количество 10-êопеечных монет, íåîáõîдимое äëÿ âûäà÷è êаждой
ñäà÷è â êàññå, принимает çíàчения îò 0 äî 4 ñ равными âåðîятностÿìè.
Найти, ñ êàêîé âåðîятностью íà 100 âûäà÷ ñäà÷è áóäåò äîñòаточно 220
10-êопеечных монет .
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
1 < θ < 2
ïî первому момен-
òó è ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность
полученных оценок. Плотность распределения равна
1
−θ/(θ−1)
f(x) =
θ−1
x
ïðè
x > 1;
0
ïðè
x ≤ 1.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
2,92 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,22
13,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13
-5,28 3,00 10,04
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
1,82 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,57
1,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57
206
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 2 3 4 5
Y 3 −1 2 −4 4
Вариант 18
1. Брошены òðè игральные êîñòè. Описать событие, îçíàчающее, ÷òî
õîòÿ áû íà îäíîé êîñòè ïîявилась единица è íå более ÷åì íà äâóõ выпали
двойки.
2. Номер лотерейного билетà состоит èç 6 öèôð. Êàêîâà âåðîятность
òîãî, ÷òî õîòÿ áû äâå цифры взятого íàóäà÷ó билетà совпадают?
3. Ñòåðæåíü единичной длины
òî÷êàõXèY. Ñ êàêîé âåðîятностью расстоÿíèå между этими òî÷êàìè íå
превзойдет ìàêсимального èç äâóõ отрезкîâ
4. Ïî мишени ïî îдному ðàçó стреляют 4 стрелкà. Âåðîятность ïîïà-
дания äëÿ первого равна 0,5, äëÿ второго 0,6, äëÿ третьего 0,7, äëÿ
четвертого 0,9. Найти âåðîятность ровно äâóõ попаданий.
5. Â ñåìè урнах ñîäåðæèòñÿ ïî 3 белых è 2 черных øàðà, à â òðåõ урнах
ïî 7 белых è 3 черных øàðà. Êàêîâà âåðîятность, ÷òî èç óðíû, взятой
íàóäà÷ó, áóäåò извлечен белый øàð? Найти âåðîятность, ÷òî øàð извлечен
èç óðíû ñ 7 белыми è 3 черными шарами, åñëè îí îêазалсÿ белым.
6. Прибор состоит èç òðåõ малонадежных элементов. Îòêàçû элементов
çà íåêоторый периоä времени независимы, à èõ âåðîятности равны ñîîò-
ветственно 0,2; 0,3; 0,4. Найти ðÿä распределения, математическîå îæèäà-
íèå è дисперсию числа îòêазавших элементов. Построить график функции
распределения.
7. Òî÷êàMäâèæåòñÿ ïî îñèOxïî çàêîíó
ìåíò времени, равномерно распределенный íà отрезкå
êîîðдинатàξточкиM. Найти математическîå îжидание è ñòандартное
отклонение случайной величиныξ. Ïðè
найти âåðîятность òîãî, ÷òî
8. Четыре автобуñà, óõîдящие ñ интервалом â 5 минут, увезли ïî 20
пассажиров. Äâà автобуñà, óõîдящие ñ интервалом â 10 минут, увезли ïî
30 пассажиров. Äâà автобуñà, óõîдящие ñ интервалом â 15 минут, увезли ïî
ξ > 0
AB
разломан â äâóõ íàóäà÷ó выбранных
AX
èëèAY.
x = vt−at2. Â случайный ìî-
[0; T ]
, наблюдаетсÿ
v = 10
.
ì/ñ,
a = 10
ì/ñ2,
T = 3
c
207
35 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров è èí-
тервала äâèæåíèÿ äëÿ выбранного íàóäà÷ó автобуñà. Найти êоэффициент
êорреляции.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
Найти êîíñòàíòócè
f(x, y) = c(x2+y2+xy)
ρ(X, Y )
.
, åñëè
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1è0
X, Y
çàäà-
èíà÷å.
10. Количество áðàêованных изделий â êоробкå имеет распределение
Ïóассона ñ параметром 2. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî â 16 êоробкàõ более
40 áðàêованных изделий.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 2
ïî второму моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
−(θ+1)
f(x) =
θx
ïðè
x > 1;
0
ïðè
x ≤ 1.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
13,29 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,93
5,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,09
8,47 6,79
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà уровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
0,19 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,62
0,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,33
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
нейной регрессии.
X 1 3 5 7 9
Y −3 −1 2 −4 4
208
Вариант 19
1. Некто написалnадресатàì письма, â êаждый êонверт âëîæèë ïî
îдному письму è затем íàóäà÷ó написал íà êаждом êонверте îäèí èç
адресов. Ïóñòü событие
Aiсостоит â òîì, ÷òîi-å письмо попало â ñâîé
êонверт. Описать событие, заключающеесÿ â òîì, ÷òî ровно îäíî письмо
попало â ñâîé êонверт.
2. Â áðèãàäå 4 рабочих. Êàêîâà âåðîятность òîãî, ÷òî ïî крайней ìåðå
òðîå èç íèõ ðîдились â îäèí è òîò æå äåíü недели? Ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿò-
ности ðîдитьсÿ â êаждый èç äíåé îдинакîâû.
3. Ñòåðæåíü единичной длины
AB
разломан â äâóõ íàóäà÷ó выбранных
òî÷êàõXèY. Ñ êàêîé âåðîятностью расстоÿíèå между этими òî÷êàìè íå
превзойдет длины отрезкàAX.
4. Электрическàÿ öåïü состоит èç элементов
Ak, соединенных ïî ñëå-
дующей ñõåìå:
A
-
Âåðîятность âûõîäà èç ñòðîÿ элементà
ментов
2
A
A
1
3
-
A
4
A2равна 0,01, îñòальных ýëå-
Ak ïî 0,1. Предполагàåòñÿ, ÷òî элементы âûõîäÿò èç ñòðîÿ íåçà-
висимо äðóã îò äðóãà. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî öåïü áóäåò пропуñêàòü
òîê.
5. Òелеграфное сообщение состоит èç сигналов ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿. Èç-
вестно, ÷òî среди передаваемых сигналов ¾òî÷êà¿ è ¾òèðå¿ встречаютсÿ â
отношении 7:3. Èç-çà помех èñêàæàåòñÿ â среднем 25 % сигналов ¾òî÷êà¿
è 20 % сигналов ¾òèðå¿, причем ¾òî÷êà¿ èñêàæàåòñÿ â ¾òèðå¿, à ¾òèðå¿ â
¾точку¿. Найти âåðîятность èñêàæåíèÿ сигнала. Определить âåðîятность
òîãî, ÷òî передавали ¾точку¿, åñëè известно, ÷òî приняли ¾òèðå¿.
6. Äâà игрокà играют â шахматы íà деньги. Известно, ÷òî â среднем
èç 5 партий îäíó выигрывает первый игрок, äâå çàêанчиваютсÿ вничью, è
äâå выигрывает второй игрок. Â случае проигрыша первый игрок платит
второму 50 рублей. Ñêîëüêî îí äîëæåí получать â случае выигрыша, ÷òî-
áû математическîå îжидание åãî выигрыша равнялось íóëþ? Найти ðÿä
распределения è дисперсию суммы выигрыша (отрицательная сумма âû-
игрыша ýòî сумма проигрыша, âçÿòàÿ ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿). Построить
график функции распределения.
7. Случайная величинаξимеет плотность распределения
A
−(x−a)2/(2σ2)
f(x) =
σ√2π
e
ïðè
|x −a| ≤ 2σ;
0
ïðè
|x −a| > 2σ.
n
209
Найти нормирующую êîíñòàíòóA, вычислить математическîå îжидание.
Построить график плотности распределения ïðè
a = σ = 1
.
8. Â ïîдъезде 5 îäíîêомнатных квартир площадью ïî 40 êâ. ì., 10 äâóõ-
êомнатных квартир ïî 60 êâ. ì., 10 трехкомнатных квартир ïî 70 êâ. ì. è
5 четырехкомнатных ïî 90 êâ. ì. Äëÿ выбранной íàóäà÷ó квартиры найти
совместное распределение числа êомнат è площади. Найти êоэффициент
êорреляции между íèìè.
9. Двумерная плотность распределения случайных величин
åòñÿ формуëîé
è
ρ(X, Y )
.
f(x, y) = c
, åñëè
|x| + |y| ≤ 1
, è0èíà÷å. Найти êîíñòàíòó
X, Y
çàäà-
10. Суммарное время работы машины складываетсÿ èç 1000 интервалов
времени, êаждый èç êоторых измерÿåòñÿ ñî ñòандартным отклонением â 10
минут. Найти âåðîятность òîãî, ÷òî фактическîå время работы îòличаетсÿ
îò измеренного больше, ÷åì íà 10 часов.
11. Äëÿ выборки
распределения
f(x)
(X1, X2, . . . , Xn)
èç распределения ñ плотностью
найти оценки параметра
θ > 0
ïî первому моменту è
ìåòîäîì ìàêсимального правдоподобия. Проверить состоятельность ïîëó-
ченных оценок. Плотность распределения равна
f(x) =
θ
2
x
−x/θ
e
4
ïðè
x > 0;
0
ïðè
x ≤ 0.
12. Äàíà выборкà èç нормального распределения ñ неизвестными ïà-
раметрами. Найти оценки параметров распределения. Ïîäñòавляя вместо
неизвестных параметров èõ точечные оценки, записать выражåíèå äëÿ
оценки плотности распределения. Построить íà îäíîì графикå гистограм-
ìó ñ шагом, равным среднеквадратическîìó (ñòандартному) отклонению,
è график оценки плотности распределения.
23,95 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58
-1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77
-15,16
13. Ïî критерию Колмогорова проверить гипотезу î òîì, ÷òî выборкà
имеет равномерное распределение íà отрезкå
[0; 2]
. Сделать âûâîä î òîì,
принимаетсÿ ëè ýòà гипотеза íà óровне çíàчимости 0,1; íà уровне çíà÷è-
мости 0,01; íà уровне çíàчимости 0,001.
1,94 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,96
1,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,48
14. Оценить параметры нормальной регрессииYíàXïî двумерной
выборкå. Изобразить íà чертежå точки двумерной выборки è ïðÿìóþ ëè-
c
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]