Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
Теорема. Правильную рациональную дробь
mk
2
n
, можно записать в виде
qpxxbxaxxQ
суммы простейших дробей:
A
xP
xQ
B
m
m
bx
A
21
ax
ax
2
A
k
2
11
qpxx
ax
2
B
k
bx
22
2
qpxx
B
21
2
bx
2
Пример.
Разложите дроби на сумму простейших дробей:
1)
x
xxx
113
2
; 2)
13
xx
2
41
xx
Решение:
3
1)
x
xxx
B
A
x
x
C
.
1111
x
В правой части равенства приводим дроби к общему
знаменателю:
x
3
11
xxx
11
xxx
xCxxBxxxA
Из равенства дробей с равными знаменателями следует,
что равны числители:
xxCxxBxxxA .
31111
Левая и правая части равны.
Пусть
Пусть
Пусть
2)
х = 1. Тогда –2В = 2, получаем В = –1.
х = –1. Тогда 2С = –4, получаем С = –2.
х = 0. Тогда –А = –3, получаем А = 3.
x
3
11
2
xx
13
xx
13
A
x
2
1
.
1
xxxxxx
CBx
.
22
x
4141
xP
, где
xQ
CxM
nn
.
n
qpxx
1111
81
2
x
x
x
x
x
xxx
xxx
x
x
x
xxx
3
xxx
xx
12
x
22
1
4
x
2
41
22
xxxCBxxA
.
14
xCBxxA
1314
Пусть
Пусть
получаем
Пусть
15 + 2
2
13
xx
2
41
xx
х = 1. Тогда 5А = 15, получаем А = 3.
х = 0. Тогда 4А + С = 13 или 12 – С = 13,
С = –1.
х = –1. Тогда 3∙5 + (–В – 1)∙( –2) = 13,
В + 2 = 13, 2В = –4, получаем В = –2.
2
13
xx
41
1. Запишите дроби в виде суммы простейших дробей:
1)
4)
6)
8)
10)
45
x
2
2
2
x
2
3
2
4
2
xx
1
xx
23
; 9)
23
; 2)
325
; 5)
153
3
234
2
; 7)
674
2
xxxx
x
13
; 3)
12
34
108
xx
;
1
46
.
22
x
2
215
xx
;
1
x
;
112 xx
;
82
Дробно-рациональные уравнения и
неравенства
Задания для самоконтроля
1. Сократите дробь
bp
1
p
b
2. Упростите выражение:
, если
6
a
a
10
1
a
1
3. Упростите выражения и найдите их значения при
заданных условиях:
2
72
yxy
a
4
25
ba
при a = 9; b = 12;
b
2
x
:
xy
aa
при x = 18, y = 7,5;
yx
42
1
c
bb
ac
22
c
1
yx
при
3649
abb
1
4
6412864
4
:
bb
22
ca
при c = 1,2;
a = 1,
при
1
5
5
aa
при
496
b
ac
при a = 71, c = 87;
a
7
1
;
b
3
1
,42
при a = –39.
;
yx
2
1)
7
b
3
2)
15
x
2
3)
a
7
4)
5)
6)
7)
8)
c
6
6
cc
c
1
b
a
1
x 4
4
3
15
16
3
bbp
b
10
:
22
a
;
3
1
b
.
b
a
22
.
1
1
83
4. Решите уравнения:
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
2
3
x
x
2
x
75
0
; 14)
5
3
; 22)
0
156
2
16
;
; 12)
; 16)
10x
; 18)
; 20)
; 24)
; 3)
8
9
2
; 6)
57
; 9)
3122438256x
x
1
43
3
x
xx
14
xx
x
x
x
x
11
2
22 2
4
xxxxxx
2
2
1
1
5
2
2
x
; 26)
0
1)
7
x
13
4)
2
72
3
7)
10)
11)
13)
15)
17)
19)
21)
23)
25)
27)
28)
19
8
3321522518x
x
2
xxxx
24
572221
x
x
5
10
10372
618
35
x
2
x
17
2
x
1
1
1
xx x
22
10 25125
xx xx
32 2 2
8421114 4 4 1
xxx xxxx
2332
9124194327 18 12 8
xxxxxxxxx
; 2)
5
; 5)
1
19
xx
2
2
x
x
64
x
x
3
2
x
xx
2
4
2
1
x
x
; 8)
x
3
x
6
2
xx
2
x
31
2
412
11
215
8
x
1
2
1
3
119
x
2
1
16
x
x
;
1
1
1
x
1
x
1
2
x
1
;
2
79
1
;
114
1
2
x
x
1
9
2
4
2
;
1
;
;
1
;
2
;
0
2
6
4
1
2
9
2
0
;
2
06
;
9
;
2
;
;
84
2
xxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxxxxx
x
x
x
x
4
x
1
x
21
2
1
5
5
22
33
xx
2
8
2
3
1
62
2
x
; 30)
x
2
x
5
1
1
7
1
22
;
3
4
2
1
3
1
8
8
1
3
; 36)
2
35
xx
xx
21
;
3
1
6
92
;
3
29)
31)
32)
33)
34)
35)
2
x
x
x
5
1
4
2
4
1
11
x
xx
xx
3
x
x
4
2
xx
44
4
xx
3
42
5. На каком из рисунков изображено множество
2
решений неравенства
x
3
?
0
44
)2()2(
1
11
xx
2
44
)2()2(
;
x
;
4
10
22
)2(
.
9
6.
Проставьте в соответствие каждому неравенству
множество его решений.
НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ
А) 9 – x2 ≤ 0 1) (–3; 3)
Б) 9 – x2 ≥ 0 2) (–∞; -3] U [3; +∞)
В)
Г)
1
9
1
9
0
2
0
2
3) (–∞; -3) U (3; +∞)
4) [–3; 3]
85
7. Решите неравенства:
x
x
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7
x
x
x
x
1
1)
5)
8)
11)
14)
17)
20)
23)
25)
27)
29)
31)
33)
35)
x
x
4
3xx
3
2xx
2
1xx
xx28
64
x
2
xx
27
x
2
xx
51
2
xx
xx
2
2
xx
2
2
xx
72
2
32
2
xx
2
11 30
2
53342
xx
2
1
; 2)
x
; 6)
; 9)
; 12)
; 15)
; 18)
x
6
28
x
34
6
1
4
6
32
28
x
564
815
; 3)
x
4
94xx
5
1
; 24)
1
; 28)
x
2
x
x
2
10
5
4
x
3
; 21)
1
2
x
x
2
3xx
2x
2
1xx
; 16)
x
; 19)
20x
x
x
xx
; 26)
2
xx
2
; 30)
; 32)
0
; 34)
; 36)
3
; 4)
1xx
; 7)
x
; 10)
; 13)
x
xx
5
2
1
71
x
2
43
xx
41
2
3
2xx
3
2xx
77xx
11
;
x11
32
x
2
; 22)
1
;
1
4
1
1
x
3
2
xx
51127
2
2
xx
354
2
815
2
2146
xx
2
43
2
321
xx
2
253
1
;
1xx
;
;
;
;
1
2
()x
3
9
1
;
0
;
1
2
;
0
x
x
38
x
;
1
8
;
0
5
;
3
x
2
231
xx
2
3
;
4
86
x
x
x
x
x
x
37)
2
39)
41)
43)
xx
4
247
xxx
247
xxx
2
xx
3
42
5164
xx
65
; 40)
0
12
0
.
1
2
xxx
32 316
; 42)
1
332
4312
xx x x
Дополнительные задания
1. Решите уравнения:
1)
3)
5)
7) (x – 3)(x – 4)(x – 5) = (x – 2)(x – 4)(x – 5);
8)
10)
;
12)
23
7723 xxx
23
2
2
xxx
xxx
; 4)
; 6)
3694
24
; 2)
02483
17143 xxx ; 11)
xx ; 13)
2
8332
xxxx
2
05242
2332
; 38)
0
x
x
4
x
2
2
; 9)
2
24
2
2
4
3
xx
6033
;
045
20 xx .
23
2
xxx
x
xx
1
x
;
3
;
0
2
010325
xxx ;
21232
;
5255
xx ;
1612
xxxx
2
;
87
Функция. Свойства функции
x
Задания для самоконтроля
1. Известно, что
1) y (–1); 2) y (x); 3)
2. Найдите значения функций в данных точках:
1)
2) )1(),1(),1(),0(,45
3)
4)
5)
3. На рисунке изображен график функции y = f(x).
Какому промежутку принадлежит корень уравнения
f(x) – 4 = 0?
2
2
y
yyyyy
y
y
x
1
2
x
xy
|2|
2
,x0если,1
)3(),1(),2(),1(),0( yyyyy
x
x
xy
xy
. Найдите:
2
1
.
121
yyyyxxy
,0 если,1
xx
,
;
)10(),5(),2(),0(),2(),1( yyyyyy
,1 если,3
xx
,x1если,1
.
)1(),3(),3(),0(,132
;
kyyyyxxy ,
;
)2(),2(),3(),3(),0(,
1) (2; 3); 2) (5; 6); 3) (–7; –6); 4) (–4; –3).
88
4.
На рисунке изображен график функции y = f(x).
Какому промежутку принадлежит корень уравнения
f(x) = 4?
1) (–6; –4); 2) (5; 7); 3) (–2; 0); 4) (0; 2).
5.
На рисунке
изображены графики функций
y = f(x) и y = g(x), заданных на
промежутке
[–3; 6]. Укажите множество
всех значений х, для которых
верно неравенство f(x) ≥ g(x).
6.
На рисунке
изображены графики функций
y = f(x) и y = g(x), заданных на
промежутке
[–3; 6]. Укажите множество
всех значений х, для которых
верно неравенство f(x) ≤ g(x).
7.
Укажите область определения функций:
1) 2)
89
8.
x
Функция
графиком на отрезке
Укажите область ее значений.
9.
Найдите область
определения функций:
1)
y
325x
4)
10.
Найдите область определения функций, запишите
; 2)
4
xy 17
; 5)
235
y
4
; 3)
4
x
222 xy
.
5
их в виде интервалов, постройте на числовой оси:
x
1)
4)
7)
x
5x
x
x
4
2
xy4
; 3)
; 6)
; 9)
y
y
x
y
3x
3 xy
xy 4
; 2)
; 5)
; 8)
y
y
1
y
;
x
2
x
2
;
x
1
x
задана
)(xfy
;
xy34
1
;
)3)(2(
xx
3;4
.
x
y
2
2
хх
4)
234
53xy
; 2)
34
xxxxxf
;
x
5
.
y
x
63)(
.
10)
11.
Найдите нули функций:
1)
y
x
12.
Найдите интервалы постоянного знака функций:
)(
1)
3)
5)
xf
y
12 xy
;
11)
x
; 2)
792
х
2
2
xx
3
2
;
3
1
y
12)
2
3
xx
2
1
234
.3
x
.
23
x
63)(
xxxxxf
;
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]