Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие

14)

























































16)

18)

20)

22)

24)

26)

28)



5

7





9

 xx ; 15)

44

 xx

2

 xx

55log

x

 x

 xx

53



55

; 29)

77

3log25log

55

5

7

55

154log3log

112log9log

; 19)

2

10log2log

 xxx

2

1log4log

 xxx ; 23)

13log7log

x

81



; 17)

;

21)

; 25) 42log

12log56log

; 27)



52log

.

43





1

2

8

x



x

1

7



x ;

48

x;

36

x

249log

281log

;



42log

5

x

1

x

8

;

248log



;

27log



3log2216log

44

;

8. а) Решите уравнение

2



4

2

.

148log59log1

 xx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

8



отрезку





;1.





9





9. а) Решите уравнение 01log5log6

2

8

 xx .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

отрезку [2; 2,5].

10. а) Решите уравнение

2

514log

 xx

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

отрезку

3

.

105;1,0log

11. а) Решите уравнение

2



4

2

.

422log19log1

 xx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

5

3



отрезку



;

.





2





12. а) Решите уравнение 01log3log2

2

9

 xx .

111



б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие













x

отрезку

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

отрезку

14. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце

соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ А) log2x ≥ 1 Б) log2x ≤ -1 В) log2x ≥ -1 Г) log2x ≤ 1

15. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце

соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решениями.

НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ А) log2x > 0

-

Б) 2

> 2

x

В)



Г)

соответствует одно из решений из правого столбца.

1





xx

16. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце

99;10 .

2

3

512;1,0log

2

01

0



1

.

424log

 xx .

112



Установите соответствие между неравенствами и



x

множествами их решениями.

НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ

А)

Б) 3

1



-x+3

> 3

32

 xx

0



В) log3x > 1

x

Г)

3

0



x



2

17.

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решениями.

НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ

2

x

x

< 0,5

2

0



1



А)

-

Б) 2 В) log2x > 1 Г) (x – 1) (x – 2) < 0

18.

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ

А) log3(x – 3) < 1 1) (3; 6) U (6; +∞)

-x+2

Б) 5

В)

> 0,2 2) (3; 6)

3

x



x

0



2

6

3) (-∞; 3) U (6; +∞)

Г) x2 – 9x + 18 > 0 4) (-∞; 3)

113



19. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце

x



















































соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ

А) log4x > 0 1) x < 1 или x > 5

-x+7

Б) 4

В)

Г)

20. Постройте графики:

1)

3)

21. Найдите область определения функций:

1)

4)

7)

10)

12)



3lg xy  9lg xy 

> 16 2) x > 1

1



x





1log3 xy

; 2) 1log



1log3 xy

xy  lg

; 2)

2

xy  3lg

2

0



5

1

; 4)

; 5)

; 8)

; 11)

 xxy



15



xx

34lg

; 13)

0

3) x < 5

4) 1 < x < 5

2lg

xy lg

2

xy ;

4

1log

xy .

4



xy

; 3)

; 6)

4lg

 xy

; 9)

2



2

1lg xy 

lg xy 

253lg

 xxy

;

xy lg3 

;

2

;

xy  7lg

;

6

14)

22. Найдите множество значений функций:



1)

23. Найдите число нулей функции:



log1 xy 

xy lg5 

2

7,0

; 2)

; 15)

)22lg()1(

 xxxy

.

xxh lg3)(

114

; 3) )32(log

2



xxy lg2lg3

.

xy .

Тригонометрические функции











Задания для самоконтроля

1. Найдите значение при заданных условиях:



1) tg α, если

cos 



10

и

10

2) tg α, если



sin 

5

и

26

3) 24 cos 2α, если sin α = -0,2;

4) 5tg (5π – γ) – tg (-γ), если tg (γ) = 7;

7



5)

6)

7)

8)



sin



2



2



tg

, если









, если sin α = 0,8 и

 





15sin4cos10

3cos5sin2



cos117sin5 , если sin α = -0,25;

 

, если tg α = -2,5;

3





2

9) 2 cos 2α, если sin α = -0,7.

2. Найдите значения выражений:



sin

4cos51

86sin

29cos5

61sin

27





 







22sin



; 6)

4

8



 



cos

; 2)



11cos11sin12

31

 





107tg17tg5 

; 4)

tg636



 

4



; 11)

sin

6

; 9)

1)

3)

5)

8)

10)



3







2







 

22





 









2;

;

 

3





;



2









;





2



;

6cos13sin5



59



; 7)

4

;

22

76cos314cos

22



34cos

17cos17sin24



146cos4

34cos

25

sin





 



cos



4





244tg154tg5 

;



;

 





;



;



;

25











4





115



12)









98sin5



15

14)

16)

2

cos72



18)

20)

22)



153cos38



27cos





24)

3. Вычислите:

1)

2)

4. Упростите:

1

1)

3)

4)

2

cos





sin

tg

sin

 





3







 





2









2





ctg



41sin49sin

; 13)



18



; 15)

5

sin8

12

8

22



18cos



780sin34  ; 21)



; 23)



9cos9sin22



135sin218  ; 19)

; 17)



cos12



cos3

5

2



12





sincos3

 





3cos











2



.

225ctg45tg150cos60sin 

 



cos



22

sintg





3



tg



 







2







ctg

3





2

3





sin



2









 





; 2)

cos 

 



tg





cos







 





300ctg30tg210cos120sin 

cos

27sin

142sin6

5

12

3

0000



.

5

;

12



204sin



63cos33

;





19sin71sin





102cos102sin36



;

5

22

sin3

;

12

;

0000

.

sin

1

;

2

22



ctg

;



116



5. Докажите тождества:



















x











1)

1

2)



3

cossin

1

4

4466



2266

cossin





;

01cossin3cossin2



2

1

.



12

6. Найдите множества значений функций:

2sin

1)

; 2)

xy sin3

xy

; 3)

3sin

y



x

2

4)

7



xy cos

; 5)

; 6) xy

xy cos7

sin13  .

3

7. Найдите наибольшее целое значение функции

.

xy cos9,3

8. Какое из чисел

функции

;3;

2





2sin

 





xy

?



3



5

является нулем



;

6

9. Определить чётность или нечётность следующих

функций:

1)

4)

2

xy

sin

; 2)

2

xxy

cos

; 5)

3



xy 2tg

2



; 3)

xxy cos

; 6)

y ctg

y





sin

tg

9. Постройте графики функций:



1)

4)

7)

; 2)

2cos  xy



 



 





xy

; 5)

3sin

 





4tg

;



cos 

8)



; 3)

2sin

xy







xy



 



xy

 

; 6)

2



2







3ctg

.

 



3cos

xy

 



sin 

xy



 



;

2

;

xx

.

xx



;

 





.

2



2



117



Образцы контрольных работ

Контрольная работа №1

1. Ответьте на вопросы: 1)

сколько 9 меньше, чем 36?

На сколько 48 больше, чем 16? 2) На

3) Во сколько раз 48 больше, чем 16?

4) Во сколько раз 4 меньше, чем 36?

2. Какое это число: -25; 37 ?

3. Z - что это? Дайте определение.

4. Сколько цифр?

5. Что такое нечетные числа?

6. Ответьте на вопросы:

действие? 12 и 91 – что это?

1) 12 + 91 = 103 – какое это

103 – что это? Чему равна сумма?

2) 27 – 12 = 15 – какое это действие? (27 – 12) – что это? 27 – что

это? 12 – что это?

3) 7 ∙ 8 = 56 – какое это действие? 7 и 8 – что это? 7 ∙ 8 – что это?

Чему равно произведение?

4) 27 : 3 = 9 – какое это действие? 27 – что это? 3 – что это? Чему

равно частное?

7. Запишите цифрами: семнадцать, двадцать восемь, семьсот,

шестьсот сорок один, тысяча девятьсот пять, тринадцать, девяносто семь, триста, двести одиннадцать, семь тысяч пятьсот.

8. Число 0 – это натуральное или ненатуральное число?

9. 2 – это цифра или число?

10. Число 158 – это натуральное или ненатуральное число?

11. 73 – это цифра или число? Сколько здесь цифр?

12. Число 84 – это четное или нечетное число?

13. Сложите: 13 и 17 14. Вычтите: из числа 18 число 3

15. Умножьте: 5 на 7 16. Разделите: 120 на 6

17. Вычислите выражение

: 7 + [(9 – 3) : 3 + 15] ⋅ (5 – 3)

18. Найдите значение выражения: 12 – ([17 -(19 + 12 : 6) : 3] – 8)

19. Разложить числа на простые множители: 1) 360; 2) 1950;

3) 5355.

20. Найдите НОД и НОК двух чисел: 1) 45 и 60; 2) 126 и 138.

Контрольная работа №2

1.

Запишите дроби цифрами: одна вторая, одна двадцать вторая,

пять седьмых, девять сорок вторых, девятнадцать двадцатых,

118



шестьдесят пять двадцатых, одна целая одна третья, пять целых



две третьих, тридцать одна целая одна вторая, пятьдесят одна целая одна вторая, одна целая девять десятых, ноль целых тринадцать сотых, семь целых сорок три тысячных, одна целая сто девяносто одна миллионная.

3

11

7

2. Запишите дроби словами:



13

3. 0,0

2

4.

Какая это дробь?

Число 2 – это числитель или знаменатель дроби?

;

5

;

2

16

3

;

1

8

1

;

25

; 0,12; 3,5.

3

3 4

5.

Это правильная или неправильная дробь?

3

6.

Можно сократить эту дробь?

51

4

7.

На сколько можно сократить эту дробь?

76 5

8.

Какая это дробь?

7

9. Сократите дробь:

125

.

350

10. Запишите неправильную дробь в виде смешанного числа, а

смешанное число в виде неправильной дроби

: а)

; б)

15

8

11. Приведите дроби к общему знаменателю:

2

и

315

12. Найдите неизвестное число, для которого верно равенство:

.

 x

13. Запишите символами: а) 8 - положительное число;

б) 5 - натуральное число; в) 0 – целое число; г) 4,2 – рациональное число; д) (-9) - действительное число.

14. Дайте определение: Z – это …

1002,002,02,0

2

;

10

5

13



;

245

119



15

Z

. Выполните действия: а)



1

03,0:3,11,1:133,1 

;

6

2

 

б)

3



1.

Какую часть 16 составляет от 54? 2. Найдите 17 от числа 300

3. Найдите число, если 60 % его равны 120.

4. Какой процент составляет число 20 от числа 600

5. В первый час автобус прошёл 40% всего пути, во второй час

пути, а в третий – остальные 28 километров. Какое расстояние прошёл автобус за эти 3 часа?

6. Решите уравнение |x – 9| = 2.

7. Решите уравнение 3x + 16 = -4x – 10

8. Решите неравенство 3x + 4 > – 4x – 10

9. Какое это число:

10. Вставьте пропущенные слова и символы:

Рациональное ________________ - дробь вида _______, где __

___.



Рациональное число – конечная или бесконечная ________________ _________________ дробь. Множество _______________ чисел состоит из множества _____________________ чисел и множества ____________________ чисел. Числовой прямой называется прямая, у которой есть:

1. точка (начало) ________________

2. единичный ___________________

3. выбрано _________________ __________________ на прямой. Каждому числу ___________________ только одна ______________ на числовой прямой.

11. Изобразите на числовой прямой числа: 0; 1; 2; 3; 5; 10; –1; –2;

–3; –5; –10; 0,8;

45

3



ух

1



.



Контрольная работа №3

1

3

; -25; 37 ?

m  ,

1

; 2,75;

2



1

; –1,4.

3

120

