Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
4. Куб суммы двух чисел:
3
(a + b)
Куб разности двух чисел:
5.
(a – b)
Сумма кубов двух чисел:
6.
a
Разность кубов двух чисел:
7.
a
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
3
+ b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
3
– b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Иррациональное выражение содержит корни.
1) Вынесение множителя из под знака корня (или за знак
n
n
корня) - замена выражения
нечётное число, или произведением
Внесение множителя под знак корня – замена выражения
2)
n
n
ba
произведением
произведением
Избавление (освобождение) от иррациональности в
3)
знаменателе
.
n
n
n
, если а – отрицательное число.
ba
ba произведением
n
, если n – чётное число.
ba
ba , если а – положительное число, или
а) Если в знаменателе находится выражение вида
n
ba
, если n –
ba
то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное
ba
к нему выражение
. В этом случае используют формулу
,
bababa
.
33
ba
б) Если в знаменателе находится выражение
, то
числитель и знаменатель умножается, соответственно, на
2
3
3
2
3
. В этом случае используют формулы:
baba
2
3
33
3
2
3
3
3
3
3
bababababa
.
Числовая прямая и промежутки. Прямоугольная
система координат. Модуль
Числовая прямая
– это прямая, на которой выбраны:
- начало отсчета,
- единичный (масштабный) отрезок,
- положительное направление.
131
Между множеством всех действительных чисел R и
x
множеством всех точек числовой прямой существует
однозначное соответствие.
Каждому действительному числу
одна точка
числовой прямой соответствует только одно число
А на числовой прямой и, наоборот, каждой точке А на
Число
Числовые промежутки
Отрезок
Интервал
Полуинтервал
Луч (закрытый луч)
x – координата точки А. Можно записать: А(х).
x соответствует только
x: А ↔ x.
ba; или
ba; или
ba; или
ba; или
;a или
b; или
bxa
bxa
bxa
bxa
ax
bx
взаимно
Открытый луч
Прямоугольная (декартова) система координат на
плоскости
(называемых
– это совокупность:
- точки О (начало координат),
- единицы измерения и
- двух попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy
осями координат: Ох ось абсцисс, Оу ось ординат),
;a или a
b; или
bx
132
на каждой из которых стрелкой указано положительное
направление.
В декартовой системе координат: каждой точке плоскости
соответствует пара чисел – координаты этой точки (
ордината А
); и обратно: по данной паре чисел можно найти
у
абсцисса A
х
точку плоскости с этими координатами.
Модуль
Абсолютной величиной (или модулем) действительного
числа х называется само число х, если х неотрицательно, и
противоположное число –х, если х отрицательно:
,0,
х
Расстояние между двумя точками А(х
хеслих
.0,
хеслих
) и В(х2):
1
.
xxAB
12
Синус, косинус, тангенс и котангенс числового
аргумента
Градусное измерение угловых величин
Угол - фигура, которая состоит из:
- двух различных лучей с общим началом и
- части плоскости, ограниченной этими лучами.
Отметим на оси Ох справа от начала координат точку А и
проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА
называется
начальным радиусом.
Условились:
1) если повернуть начальный радиус около точки О
часовой стрелке
, то угол поворота отрицательный;
2) если повернуть начальный радиус около точки О
часовой стрелки
, то угол поворота положительный.
по
против
,
133
Угол в 1°
– это центральный угол, равный
1
части
360
полного оборота начального радиуса вокруг своей начальной
точки против часовой стрелки.
Угол в 1 радиан – центральный угол с дугой,
длина которой равна радиусу этой окружности.
Если начальный радиус совершит один полный
оборот, то получится угол, равный 360° или 2π
радиан. Радианная мера 1° равна
2
.
180360
Если угол содержит А°, то его радианная мера равна:
A
. Угол, равный α радианам, содержит:
180
Cинус и косинус числового аргумента
Рассмотрим единичную окружность
с центром в начале координат и радиусом
R = 1. Отметим точку Р
начального радиуса вокруг центра О на угол
α радиан точка Р
Обозначим координаты этой точки х и у.
Синусом угла α называется отношение
ординаты точки Р
Таким образом,
Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки Р
к радиусу. Таким образом,
Каждому углу α соответствует единственная точка Р
и единственное значение синуса и косинуса этого числа.
Значения синуса и косинуса некоторых чисел
α 0
sin α 0
sin
6
1
2
y
cos
4
2
2
R
(1; 0) перейдет в точку Рα.
0
к радиусу.
α
.
y
x
.
x
R
3
2
3
1 0 - 1 0
2
180
градусов.
(1; 0). При повороте
0
(хα ; уα)
α
3
π
2π
2
α
134
α 0
соs α 1
Знаки значений функций синуса и косинуса
Тангенс и котангенс числового аргумента
Тангенсом числа α называется отношение ординаты точки к
ее абсциссе. Таким образом,
Котангенсом числа α называется отношение абсциссы
точки Р
к ее ординате. Таким образом,
α
Значения тангенса и котангенса некоторых чисел
α 0
tg α 0
сtg α не сущ.
Знаки значений функций тангенса и котангенса
6
3
6
2
3
3
3
43
1
1
4
2
3
2
tg
не сущ. 0 не сущ. 0
3
3
3
1
2
y
.
x
2
0 не сущ. 0 не сущ.
π
2
0 - 1 0 1
x
.
ctg
π
y
3
2
3
2
2π
2π
135
Основные тригонометрические тождества
22
,1cossin
cos1sin ;
sin1cos
2
2
тангенса и котангенса не изменяются при
прибавлении к данному углу целого
числа оборотов. Для нахождения
значений sin α, cos α, tg α, ctg α любого
угла α необходимо найти их значения для
0 ≤ α < 360°.
тангенса и котангенса
противолежащих углов
1
1tg
cos
1ctg
sin
Значения синуса, косинуса,
Формулы для синуса, косинуса,
2
1
2
R
;
2
2
;
0cos
0sin
;
0cos,0sin,1ctgtg
;
.
sinsin
;
coscos ;
Формулы приведения
β
f(β)
sin β cos α cos α sin α - sin α - cos α - cos α
cos β sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α
tg β ctg α - ctg α - tg α tg α ctg α - ctg α
ctg β tg α - tg α - ctg α ctg α tg α - tg α
2
2
Аргумент α
π - α π + α
3
2
tgtg ;
ctgctg
.
3
2
136
Формулы сложения
sin (α + β) = sin α cos β + соs α sin β‚
sin (α – β) = sin α cos β – соs α sin β.
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β‚
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β.
tgtg
tg
ctg
Формулы двойного угла
соs 2α = 1 – 2 sin
sin
2tg
Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму
(правая и левая части должны существовать одновременно).
Формулы суммы и разности тригонометрических
функций
tg2
2
tg1
tgtg
sin 2α = 2 sin α cos α,
соs 2α = соs
2
(
cossin
coscos
sinsin
,
tg
tgtg1
tgtg1
,
ctg
tgtg
2
2
2cos1
α – sin2 α
α, соs 2α = 2 cos2 α – 1
24
tgtg
,
ctgctg
sin2sinsin
cos,
22
и
Zkk ,
sinsin
2
coscos
2
coscos
2
ctgctg
cos
2
2
2
.
.
.
2
tgtg
.
tgtg1
tgtg1
2cos1
.
.
tgtg
.
).
Zmm ,
ctgctg
tgtg
137
sin2sinsin
cos2coscos
sin2coscos
sin
ZnZknk ,,
tgtg
sin
ZnZknk ,,
tgtg
,,,
ctgctg
ctgctg
,,,
Уравнения и неравенства
Уравнение
несколько
Корень уравнения (решение уравнения) – значение
неизвестных, при которых уравнение является верным равенством.
Решить уравнение – найти множество всех его корней
(решений) или доказать, что таких значений нет.
Про корни говорят, что они удовлетворяют данному
уравнению.
Решение неравенства – это такое значение переменной, при
котором получается верное неравенство.
Решить неравенство – найти все его решения или
установить, что их нет.
Уравнение прямой
В прямоугольной системе координат на плоскости любая
прямая
переменными задаёт прямую на плоскости.
задается линейным уравнением с двумя переменными.
Обратная теорема. Любое линейное уравнение с двумя
– равенство, которое содержит одну или
неизвестных величин (неизвестные).
sin
sin
sinsin
sinsin
2coscos
2coscos
cos
2
cos
2
sin
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
ZnZknk
.
ZnZknk
,
,
138
Система двух линейных уравнений с двумя
переменными
,0
cybxa
111
.0
cybxa
222
Система уравнений называется линейной, если все
уравнения системы являются линейными. Возможны три случая:
1) система не имеет решений;
2) система имеет ровно одно решение;
3) система имеет бесконечно много решений.
Если надо найти множество общих решений двух уравнений
с двумя переменными, говорят, что
уравнений
.
надо решить систему
Решить систему – найти все её решения.
Совместная система уравнений – имеет хотя бы одно
решение.
Несовместная система уравнений – не имеет ни одного
решения.
Определенная система уравнений – имеет конечное число
решений.
Неопределенная система уравнений – имеет бесконечное
множество решений.
Квадратные уравнения и неравенства
Выражение
(
a ≠ 0), b, c – числа, называется квадратным трехчленом.
2
cbxaxxf
, где х ϵ R – переменная, a
Выделение квадрата двучлена
2
2
acb
4
.
a
4
xxxxa
Выражение
обозначается Δ или
Когда дискриминант
2
где
cbxax
можно разложить на множители
Db
x
1
и
a
2
2
D:
x
b
xacbxax
acb 42
называется дискриминантом и
acbD 42
a
2
.
D ≥ 0 квадратный трехчлен
Db
2
.
a
2
,
21
139
Квадратное уравнение
0,02 acbxax
(общий вид)
Коэффициент с называется свободным членом.
Приведённое квадратное уравнение:
2
b
pqpxx ,,0
q
a
Дискриминант Корни уравнения
D > 0 Квадратное уравнение имеет два разных
корня.
D = 0 Квадратное уравнение имеет один корень.
D < 0 Квадратное уравнение не имеет
действительных корней
Теорема Виета
Сумма корней
02 qpxx
равна коэффициенту p с обратным знаком, а
приведённого квадратного уравнения
произведение корней равно свободному члену q:
, .
qxxpxx
2121
Квадратные неравенства
0,02 acbxax
0,02 acbxax
c
a
0,02 acbxax
0,02 acbxax
Для решения квадратных неравенств используют метод
интервалов
приведенные к виду
. Методом интервалов решают неравенства,
f(x) > 0 или f(x) < 0, (f(x) ≥ 0 или f(x) ≤ 0).
Алгоритм применения метода:
- найти область допустимых значений выражения f(x)
(числовые интервалы, на которых выражение
- найти значения
x, при которых f(x) = 0 (решить уравнение и
f(x) имеет смысл),
найти корни),
- изобразить на числовой прямой область допустимых
значений и корни уравнения; числовая прямая разделится на
числовые промежутки (интервалы),
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]