Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
n
3) учитывая, что
n
получают уравнение
aa
f(x)=g(x);
4) решают уравнение и делают проверку, так как
возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную
степень может привести к появлению посторонних корней.
Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью
подстановки найденных значений переменной в исходное
уравнение.
Схема решения уравнения
xgxf
заключается в
следующем. Так как в левой части стоит корень квадратный,
т. е. радикал четной степени, то левая часть всегда
неотрицательна. Значит, правая часть также должна быть
неотрицательна. Возводя при этом условии обе части
уравнения в квадрат, получаем следующую систему:
xg
0
.
2
xgxf
Обратим внимание на то, что в этом случае можно не
задавать условие неотрицательности функции
она равна квадрату функции
g(x), который всегда
f(х), так как
неотрицателен.
Пример 1. Решить уравнение xx 3 .
2
x
x
2
x
,3
xx
,3
Пример 2. Решить уравнение
2
xx
;3
;03
;097
x
2
x
;3
x
,0
137
2
xxx
;96
.
3
2
11
xxx
.
71
Область определения: х R.
2
11 xxx
возведем
3
обе части уравнения в куб и получим равносильное
исходному уравнение
3
х
- 4х2 + 4х = 0. Ответ: х = 0, х = 2.
Пример 3 Решите уравнения:
1)
3)
2
33
xx
155
; 4)
xxx
02115
; 2)
232 xx
;
82 xx
.
Решение.
1) Данное уравнение содержит всего один радикал;
оставим его в левой части, а все остальные члены уравнения
перенесем в правую часть, получим
2
1215
xxx
возведем обе части в квадрат:
2
х
+ 5х + 1 = (2х - 1)2, х2 + 5х + 1 = 4х2 - 4х + 1; после
переноса всех членов в левую часть и приведения подобных
членов имеем:
х(х – 3) = 0, х
Проверка. Если
Следовательно, первый корень
уравнению. Второй корень
= 0 и х2 = 3.
1
х
= 0, то
1
2
00211050
х = 0 не удовлетворяет
х = 3 удовлетворяет данному
уравнению.
2) Возведем обе части уравнения в квадрат, получим
2
х - 3 = х – 2, откуда х = 1. Проверка показывает, что
этот корень посторонний (при
х = 1 обе части уравнения не
имеют смысла).
Заметим, что проверку можно выполнить так: областью
определения уравнения
и так как 1 [2; + ∞), то
х = 1 – посторонний корень.
232 xx
служит луч [2; + ∞),
3) Возведя обе части уравнения в куб и используя
тождество (
a + b)
3
= a 3 + b3 + 3ab (a + b), получим:
3
33
15555355
xxxxxx
.
;
.
72
Так как по условию
33
155
xx
, то приходим к
уравнению
3
xx
155310
, или
3
2
325
x
.
Снова возводим обе части уравнения в куб, имеем 25 -
2
х
= -27, х2 = 52; кони данного уравнения:
52
и
52
.
4) По определению квадратного корня уравнение
82 xx
равносильно системе
2
xx
1,82
x
Уравнение (1) равносильно уравнению
2.08
2
х
- 17х + 6 = 0,
корнями которого являются 6 и 11, но условие (2)
выполняется только для
82 xx
имеет только один корень х = 11.
х = 11. Поэтому уравнение
1. Решите уравнение:
2
1)
3)
5)
x
xxx 1
; 2)
x
653
; 6)
616 xx
; 4)
2
3
3
2 xx
; 7)
xxx 1
;
119
xx
;
2
xx 2
;
4
8)
xx 46
; 9)
5216 xxx
;
10)
12)
6621 xx
; 11)
6
33
2
111 xxx
; 13)
xx 82
;
axx 223
.
2. Назовите число, которое, умноженное на три,
сложенное с
3
произведения, разделенное на 7,
4
уменьшенное на
1
частного, уменьшенного на само себя,
3
уменьшенное на 54, после извлечения квадратного корня,
прибавления 8 и деления на 10 будет равняться 2.
73
3. Кросснамбер
а
б
г
ж
и
к
м н
в
д
л
е
з
По горизонтали:
2
22
б) значение выражения:
двузначного числа;
4
4
0064,004,010
; ж) значение выражения:
; з) значение выражения:
и) значение выражения:
которого одинаковы;
м) квадрат целого числа.
д) значение выражения:
56561049
2
11
;
12135
; г) квадрат
2
л) число, все цифры
2
53
По вертикали:
а) значение выражения:
3
значение выражения:
; в) составное число,
18102,0
каждая цифра которого – простое число;
2
701242152
; б)
г) число, первая
цифра которого является корнем из числа, представленного
двумя последующими цифрами исходного числа;
е) дюжина
;
в квадрате;
к) значение выражения:
простого числа;
десятичной дроби.
1
12
3
2
н) число
103,8
записанное в виде
74
3
3
; л) квадрат
Квадратные уравнения и неравенства
Задания для самоконтроля
1.
Сократите дроби:
2
1)
2
4)
2
2
7)
2.
1)
4)
7)
9)
6.
4
Решите уравнения:
x2 – x – 6 = 0; 2) x2 + 3x = 4; 3) x2 = 2x + 8;
x2 + 4 = 5x; 5) (x + 10)2 = (5 – x)2; 6) x2 + 12 = 7x;
x2 – 17x + 72 = 0; 8) (2x + 7)2 = (2x – 1)2;
(x – 6)2 = –24x;
Квадратный трёхчлен разложен на множители: x2 +
273
хх
2
х
; 2)
4
253
хх
; 5)
34
хх
12
ааа
; 8)
1
6x – 27 = (x + 9)(x – a). Найдите a.
7.
Решение какого из данных неравенств изображено на
рисунке?
2
хх
2
6
а
23
10)
x2 + 9 = (x + 9)2;
xx
3.
На рисунке изображены
графики функций y = 3 – x2 и y = 2x. Вычислите координаты точки B.
4.
Один из корней уравнения
2
второй корень.
5.
Уравнение x2 + px + q = 0
имеет корни −6; 4. Найдите q.
9)
11)
2
16
х
2
2
2
a
1
3
;
472
хх
235
;
xxxx25
362
abab
2
4
2
x
16
.
1
.
3
23
; 3)
252
хх
1
;
24
6)
12
аа
1892
xxx
;
23
0325
pxx
равен 1. Найдите
1) x2 + 4 < 0; 2) x2 – 4 > 0; 3) x2 + 4 > 0; 4) x2 – 4 < 0.
75
8.
На каком рисунке изображено множество решений
неравенства x2 – 4x + 3 ≤ 0?
9.
На каком рисунке изображено множество решений
неравенства x2 – 3x – 4 ≤ 0?
10.
Решение какого из данных неравенств изображено
на рисунке?
1) x2 – 9 > 0; 2) x2 + 9 > 0; 3) x2 – 9 < 0; 4) x2 + 9 < 0.
11.
На каком рисунке изображено множество решений
неравенства x2 – 7x + 12 ≥ 0?
12.
Решение какого из данных неравенств изображено
на рисунке?
1) x2 + 4 < 0; 2) x2 – 4 > 0; 3) x2 + 4 > 0; 4) x2 – 4 < 0.
13.
На каком из рисунков изображено решение
неравенства 6x – x2 > 0?
76
14. Каждому из четырёх неравенств слева
соответствует одно из решений, изображённых на числовой
прямой справа. Установите соответствие между
неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ
А) x (x – 1) > 0
Б) 1 – x > 0
В) (1 – x)2 > 0
Г) x (x – 1) < 0
2
x
15. Решите систему неравенств
x
,4
На каком из
.03
рисунков изображено множество её решений?
16. Поставьте в соответствие каждому неравенству
множество его решений.
НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ
А) x2 + 5x + 6 ≤ 0 1) [2; 3]
Б) x2 + 5x - 6 ≤ 0 2) [-3; -2]
В) x2 - 5x + 6 ≤ 0 3) [-1; 6]
Г) x2 - 5x - 6 ≤ 0 4) [-6; 1]
17. Решите неравенства:
2
1) x
– 36 > 0; 2)
2
4)
; 5)
0423
xx
; 3)
062 xx
2
.
0723
xx
18. Укажите неравенство, решением которого является
любое число.
2
x
− 15 < 0; 2) x2 + 15 > 0; 3) x2 + 15 < 0; 4) x2 − 15 > 0.
1)
;
22 xx
77
19. Укажите неравенство, которое не имеет решений.
2
x
− 64 ≤ 0; 2) x2 + 64 ≥ 0; 3) x2 − 64 ≥ 0; 4) x2 + 64 ≤ 0.
1)
Дополнительные задания
1. Участники заседания обменялись рукопожатиями, и
кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько
человек явилось на заседание?
2. Древнеиндийская задача. Пчелы в числе, равном
квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст
жасмина, оставив позади себя 8/9 роя. И только одна пчелка
из того же роя кружится возле лотоса, привлеченная
жужжанием подруги, неосторожно попавшей в западню
сладко пахнущего цветка. Сколько всего было пчел в рое?
3. Другая индусская задача в стихотворной форме:
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
4. Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части,
уменьшенной на три, спрятался в пещере, и только одна
осталась на виду, взобравшись на дерево?
5. Найти три последовательных числа, отличающихся
тем свойством, что квадрат среднего на 1 больше
произведения двух остальных.
6. Задача Магавиры:
1
Найти число павлинов в стае,
на себя, сидит на мандариновом дереве, а квадрат
вместе с 14 другими павлинами – на дереве тамала.
которой, умноженная
16
1
остатка
9
78
Делимость многочлена. Нахождение
рациональных корней многочлена
Задания для самоконтроля
1. Разделите P(x) на Q(x):
1)
2)
3)
4)
2. Найдите остаток от деления:
3
1) 2х
– х + 3 на х +1;
3
2) х
+ 5х2 + 7х + 2 на х + 2;
4
3) х
+ х3 + х2 + 3х + 2 на х +1;
3
4) х
– 8х2 + 13х – 6 на х – 6.
3. Найдите частное и остаток от деления P(x) на Q(x):
1)
2)
4. Найдите корни многочлена:
1) P(x) = x
2) Q (x) = x
3) F(x) = x
4) P(x) = x
5. Разложите многочлены на множители:
1) P(x) = x
2) Q(x) = x
3) F(x) = x
23
xxQxxxP
234
3
– 8x2 + 13x – 6;
3
+ 4x2 + 7x + 6;
3
+ x + 2;
4
+ 4x3 – 3x2 – 14x + 12.
4
– 1;
3
– x2 + 5x – 5;
5
– 4x2 – 10x + 4.
1,43
;
234
1,47
xxQxxxxP
;
2235
3567
23456
32,13
xxxQxxxxxP
;
2,124
xxxQxxxxP
.
2,332
xxQxxxxxP
.
2,4523
xxQxxxxxxxP
;
79
Дополнительные задания
Разложение правильной рациональной дроби на
сумму простейших дробей
xP
Если n ≥ m, то
(рациональная) дробь.
Если
n < m, то
дробь.
Неправильную рациональную дробь можно записать в
виде суммы многочлена и правильной дроби:
xP
n
xQ
m
более, чем
xD
mn
m – 1.
Правильные рациональные дроби называются
простейшими дробями и имеют следующий вид:
n
– неправильная алгебраическая
xP
m
xP
n
– правильная алгебраическая
xP
m
xR
, где многочлен R (x) имеет степень не
xQ
m
1.
;
axA
2.
3.
имеет действительных корней, т.е.
4.
, k ≥ 2 (k – целое положительное число);
k
axA
BAx
2
2
(квадратный трехчлен
qpxx
BAx
(k ϵ N, k ≥ 2,
k
qpxx
2
04
qp
2
2
);
04
qp
, А и В –
qpxx
не
некоторые числа).
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]