Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
- определить знак выражения f(x) внутри каждого интервала,
- выбрать интервалы с нужным знаком (если
если
f(x) ≥ 0, то «+» и корни уравнения; если f(x) < 0, то «-»; если
f(x) ≤ 0, то «-» и корни уравнения),
- записать ответ.
Дробно-рациональные уравнения и неравенства
Делимость многочлена. Нахождение рациональных
корней многочлена
1
n
степени n.
(произвольные действительные числа).
m
степени
многочлен
Многочлен
делится на многочлен
xP
n
xQ
m
многочлен
Теорема Безу.
Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен
Р(а), то есть значению Р(х) при х = а.
Число
Следствие 1.
Если многочлен Р(х) делится на (х – а), то а – корень этого
многочлена.
Следствие 2.
Если число а является корнем многочлена Р(х), то этот
многочлен делится на (
Следствие 3.
Числа
m, если
xP
n
xD
mn
R(x) меньше, чем m.
а называется корнем многочлена Р(х), если
nn
- многочлен
n
10
10
mm
1
10
делится на многочлен
n
xR
m
xP
n
xQ
m
xP
не делится на многочлен
или
xQ
х – а) без остатка.
0
aaa ,,
- коэффициенты многочлена
n
bxbxbxQ
,
m
или
xD
mn
xQ
с остатком R(x), когда
m
Р(а) = 0.
NnaaxaxaxP
,0,
00b
,
xQ
m
f(x) > 0 , то «+»;
- многочлен
Nm
.
xRxDxQxP
mnmn
xDxQxP
, то
mnmn
xQ
или
m
, степень
141
Если многочлен Р(х) имеет различные корни
он делится без остатка на произведение (
х – а
)…(х – аn).
1
Следствие 4.
Многочлен степени n имеет не более n различных корней.
Следствие 5.
Если многочлен имеет целые корни, то они являются
делителями свободного члена
Схема Горнера
При делении многочлена
nn
1
получаем
10
0
n
1
0,
aaxaxaxP
на двучлен (х – с),
0
nn
2
1
nn
Схема Горнера – алгоритм нахождения коэффициентов
,,,
частного
bbbb
и остатка r.
1210
nn
Надо заполнить таблицу:
1) в верхней строке расположены коэффициенты многочлена
nn
1
10
а
а1 а2 … а
0
axaxaxP
n
аn
n-1
с
Если какой-то степени нет в записи многочлена, то это
означает, что коэффициент при ней нулевой:
2) Во второй строке записываем коэффициенты частного и
остаток, использую формулы для их нахождения.
а
а1 а2 … а
0
с b0 =
а
0
b
= cb0 +
1
а
1
b
= cb1 +
2
а
2
аn
n-1
b
= cb
n-1
+
а
n-1
n-2
Дробно-рациональным уравнением называется уравнение
вида
xP
xQ
, где P(x) и Q(x) – многочлены,
0
0xQ .
Решение такого уравнения заключается в следующем:
1) решение уравнения
2) исключение таких корней многочлена
P(x) = 0;
P(x) для которых
Q(x) = 0.
21
12
r = cb
а
n
aaa ,,
, то
n
rbxbxbxbcxxP
.
+
n-1
142
0
xP
Таким образом,
Метод интервалов для решения неравенств
Неравенства двух видов P(x) ˅ 0 или
P(x) и Q(x) – многочлены и знак ˅ может быть одним из
следующих знаков: <, ≤, >, ≥ будем решать методом интервалов по
следующему алгоритму:
1) находим все корни многочлена
2) находим точки, в которых неравенство не определено (не
3) изображаем найденные точки на числовой прямой;
4) эти точки разбивают числовую прямую на несколько
промежутков, внутри каждого сохраняется знак выражения
xP
или
в какой-либо точке внутри каждого промежутка.
называется
представить в виде:
решений, а при
определения функции
. Чтобы определить этот знак надо найти знак выражения
xQ
Показательные уравнения
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени,
показательным.
«Простейшее» показательное уравнение:
1) Если
2) Если
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению:
3) Если
Показательное уравнение вида
где а 0, а ≠ 1, равносильно уравнению f(x) = g(х).
Два основных
b ≤ 0, то это уравнение решений не имеет.
b 0 и а ≠ 1, то исходное уравнение можно
а = 1, то при b ≠ 1 данное уравнение не имеет
b = 1 решением является любое число из области
xP
xQ
f(x).
метода решения показательных уравнений:
0
xQ
Q(x) = 0;
f(x)
а
= b, а 0
log
xf
aa
f(x) = logab.
aa
.
0
P(x) = 0;
b
a
.
xgxf
,
xP
xQ
, где
0,0 xQ
P(x)
143
1) метод уравнивания показателей (приведение степеней в
g(x
левой и правой частях уравнения к одному и тому же основанию),
xgxf
т.е. преобразование заданного уравнения к виду
затем к виду
f(x) = g(х);
, а
aa
2) метод введения новой переменной.
Показательные неравенства
Неравенство, содержащее переменную в показателе степени,
называется
показательным.
При решении надо помнить, что показательная функция
x
у = а
возрастает при а 1 и убывает при 0 < а < 1.
«Простейшее» показательное неравенство:
f(x)
а
b, где а 0.
1) При
b ≥ 1, неравенство не имеет решений, если b < 1, то x – любое
Если
число из области определения функции
2) При
определения функции
а = 1 это неравенство равносильно неравенству 1 b.
f(x).
а 1, если b < 0, то x – любое число из области
f(x); если b 0, то решение неравенства
сводится к системе:
a
a
1,приlog
abxf
1.0приlog
abxf
Схемы решения показательных неравенств:
xgxf
1) неравенство
неравенству
2) неравенство
неравенству
f(x) g(х);
f(x) < g(х).
при а 1 равносильно
aa
xgxf
при 0 < а < 1 равносильно
aa
Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма,
называется
логарифмическим.
Типы простейших логарифмических уравнений:
log
x = b при всех допустимых а имеет
a
единственное решение
x = а
b
loga(f(x)) = b равносильно уравнению f(x) = аb
loga(f(x)) = g(x) равносильно уравнению f(x) = а
)
144
loga(f(x)) = loga(g(x))
равносильно системе:
Два основных метода решения логарифмических
уравнений
виду log
указано правило (закон, способ) f, по которому каждому числу
х Х соответствует единственное число у Y (смотрите рисунок).
Тогда говорят, что задана функция y = f (х) с областью
определения X и множеством значений (областью изменения) Y.
(х; у) плоскости хОу, координаты которых (х, у) удовлетворяют
выражению y = f (х).
независимой переменной х (аргумента х), при которых формула
f(х) имеет смысл.
х = 0, т.е. y= f (0).
уравнения 0 = f(x). Эти точки являются нулями функции.
(знакопостоянства) – это множество значений аргумента, при
которых значение функции сохраняет знак.
положительна (отрицательна), необходимо решить неравенство
у(х) > 0 (у(х) < 0).
:
1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к
f(x) = loga g(x), а затем к виду f(x) = g(х);
a
2) метод введения новой переменной.
Функции. Основные свойства функции
Пусть даны два множества действительных чисел X и Y и
Графиком функции y = f (х) называется множество точек
Основные свойства функции
1. Область определения функции
Область определения функции D (f) – все значения
2. Точки пересечения графика функции с осями координат
Точки пересечения с осью Оу равны значению функции при
Точки пересечения с осью Ох являются решениями
3. Промежутки знакопостоянства функции
Интервалы (промежутки) постоянного знака
Для нахождения промежутков х, при которых функция у(х)
xf
xg
,
xgxf
,0
.0
145
4. Чётность (нечётность) функции
Функция у = f (х), определенная на множестве X, называется
чётной (нечётной), если:
1) множество X симметрично относительно начала
координат (т.е. если для любого х
Х число (-x) также
принадлежит X).
2) для любого х
Х справедливо равенство:
f (– х) = f (х) (т.е. при изменении знака аргумента значение
функции не меняется) – чётная функция.
f (– х) = – f (х) (т.е. при изменении знака аргумента значение
функции меняет только свой знак) – нечётная функция.
5. Монотонность функции
Функция у = f (х), определенная на множестве X, называется
возрастающей (неубывающей), если для любых х
, х2
1
Х таких,
что х1 > х2, справедливо неравенство f (х1) > f (х2) (f (х1) ≥ f (х2)), т.е.
большему значению аргумента отвечает большее (не меньшее)
значение функции.
Функция у = f (х), определенная на множестве X, называется
убывающей (невозрастающей), если для любых х
, х2
1
Х таких,
что х1 > х2, справедливо неравенство f (х1) < f (х2) (f (х1) ≤ f (х2)), т.е.
большему значению аргумента отвечает меньшее (не большее)
значение функции.
Все перечисленные функции (возрастающая, неубывающая,
убывающая, невозрастающая) называются монотонными.
6. Ограниченность функции
Функция у = f (х), определенная на множестве X, называется
ограниченной снизу (сверху), если существует число М, такое, что
для любого х
Х справедливо неравенство: f (x) ≥ M (f (x) ≤ M).
7. Периодичность функции
Функция у = f (х), определенная на множестве X, называется
периодической, если существует такое число T ≠ 0, что для
любого х
Х числа x – T и x + T также принадлежат множеству Х и
справедливо равенство: f (x) = f (x – T) = f (x + T).
Число T называется периодом функции у = f (х).
146
8. Множество значений (область изменения) функции
Множество значений (область изменений) функции – это все
значения функции, которые она принимает при всех значениях
аргумента из ее области определения.
Основные элементарные функции
Линейная функция
Функция, заданная формулой у = kх + b (k и b – числа),
называется
графика достаточно двух точек: (0;
называется
разделяет параболу на две бесконечные симметричные друг другу
части, их называют
линейной функцией.
График линейной функции –
Квадратичная функция
Функция, заданная формулой у = ах2 + bx + c (a ≠ 0),
квадратичной функцией.
График квадратичной функции называется
Вершина параболы:
Ось симметрии параболы – прямая
ветвями параболы.
Если
а > 0, то ветви параболы направлены вверх.
Если
а < 0, то ветви параболы направлены вниз.
прямая линия. Для построения
b
0;
;
a
x2
k
2
4
, если k ≠ 0.
параболой.
4
acb
.
a
b
. Ось симметрии
a
b) и
b
;
yx
вв
2
147
Степенная функция
x
Функция вида у = хп называется степенной функцией.
1. Показатель степени п ϵ Z
положительный и чётный
3. Показатель степени п ϵ Z
отрицательный и нечётный
y1
2. Показатель степени п ϵ Z
отрицательный и чётный
1
y
2
x
4. Показатель степени п ϵ Z
положительный и нечётный
148
5. Показатель степени п ϵ Q, n > 0,
p и q нечётные числа
6. Показатель степени п ϵ Q, n > 0,
p - чётное число, q - нечётное число
n
n
p
,
q
p
,
q
7. Показатель степени п ϵ Q, n > 0,
p - нечётное число, q - чётное число
149
n
p
,
q
8. Показатель степени п ϵ Q, n < 0,
x
p и q нечётные числа
y1
n
p
,
q
9. Показатель степени п ϵ Q,
n < 0,
p
, p - чётное число,
n
q
q - нечётное число
1
y
2
x
10. Показатель степени пϵQ,
n < 0,
p
, p - нечётное
n
q
число, q - чётное число
Показательная функция
Функция вида у = ах (а > 0 и а ≠ 1) называется
показательной функцией.
График показательной функции у = ах имеет единственную
асимптоту — ось абсцисс.
3
4
xy
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]