Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
Признаки делимости. НОК, НОД
Задания для самоконтроля
1. Заданы числа: 345; 5395; 59510; 3639; 6390; 594; 495;
5689. Выпишите в таблицу числа, которые делятся на 2, на 3,
на 4, на 5.
Числа,
которые
делятся
на 2
2. Закончите фразы:
1) Если число делится на 2, то … . 2) Если число
делится на 3, то … 3) Если число делится на 4, то … .
4) Если число делится на 5, то … .
3. Выпишите из чисел 15897, 391569, 71835 и 95868
которые: 1) кратны 9; 2) делятся на 2; 3) кратны 2 и 3; 4) не
делятся ни на 5, ни на 9.
4. Запишите словами равенства:
1) НОК (1; 2; 15) = 30. 2) НОД (17; 20; 104) = 1.
3) НОД (75; 80; 27) = 1. 4) НОК (80; 16; 20) = 80.
5. Найдите наименьшее общее кратное чисел m и n,
если: 1) m = 2∙3∙3∙5∙7, n = 3∙3∙5∙5∙7; 2) m = 2∙2∙2∙3∙5∙7,
n = 2∙2∙3∙5∙7∙7
6. Найдите НОД и НОК чисел:
1) 231 и 130; 2) 720 и 924; 3) 60 и 240; 4) 165 и 154;
5) 98 и 100; 6) 102 и 30; 7) 60 и 40; 8) 98 и 100; 9) 126; 540 и
630; 10) 398; 700 и 630; 11) 840, 280 и 380; 12) 108, 21 и 35;
13) 250, 125 и 375; 14) 3180, 2120 и 5300.
7. Вставьте пропущенные слова:
Возьмем число 582 и определим, делится или не
_________ оно на 2, на 3, на 5, на 10. 582 – это четное число.
Значит, оно _________ на 2. Найдем ______ цифр числа 582.
Числа,
которые
делятся
на 3
Числа,
которые
делятся
на 4
21
Числа,
которые
делятся
на 5
Числа,
которые
делятся
на 9
Получим: 5 + 8 + 2 = 15; 15 делится на 3. Значит, _____ 582
делится на 3. Последняя _______ числа 582 – это 2. Это не 5
и не 0. Следовательно, число 582 ___ делится на 5 и не
_________ на 10.
Возьмем ______ 145 и определим, ___________ или не
делится оно на 2, на 3, на 5, на 10. Число 145 – нечетное,
следовательно, оно ___ __________ на 2. Найдем сумму ____
числа 145. Получим 1 + 4 + 5 = 10, не ___________ на 3.
Следовательно, 145 не делится на 3. __________ цифра числа
145 – это 5, _______________, число 145 _______ на 5. Число
145 ___ делится на 10, потому что его последняя ______ не 0.
Дополнительные задания
1. На столе лежат книги, число которых меньше, чем
100. Сколько лежит книг, если известно, что их можно
связывать в пачки по 3, по 4, и по 5 штук?
2. В школе для новогодних подарков купили 84
мандарина, 56 апельсинов, 112 шоколадок. В классе больше
чем 25 человек. На сколько человек можно разложить
подарки?
3. Два друга Алексей и Борис решили заняться
гостиничным бизнесом. Для своей гостиницы Алексей купил
108 кроватей и 72 шкафа, а Борис – 128 кроватей и 64 шкафа.
Кровати и шкафы распределяются по комнатам поровну.
Сколько комнат в гостиницах каждого из друзей? У кого из
них остановиться третьему другу Александру, если он
отдыхает с семьей из 8 человек?
4. На приготовление японского блюда – суши
потратили 140 г морских водорослей, 210 г риса и 350 г
рыбы. Сколько одинаковых ролов получилось?
5. Какое наибольшее число наборов можно составить из
48 синих , 48 желтых, 48 зеленых , 72 красных карандашей и
120 раскрасок?
6. Решите уравнение: НОД(а;8)=а – 10.
22
7. На фотовыставке было представлено 380 фотографий
домашних животных и 399 фотографий комнатных растений.
Сколько необходимо стендов для размещения всех
фотоснимков, если на любой из них помещается 16 штук?
8. Верно ли, что НОД(36;24) *НОК(36;24)=36*24?
9. Решите уравнение: НОК(а;6)=18.
10. Ученик вычислил НОК(33;198)=99 . Без вычислений
другой ученик определил, что допущена ошибка. В чем
ошибка?
Алгоритм Евклида
Разложить число на простые множители иногда бывает
довольно трудно. Нахождение наибольшего общего делителя
можно осуществить проще с помощью несложной
процедуры, которая известна уже более 2 тысяч лет и носит
название алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида применяется ко многим с виду
разнородным объектам, например, нахождение наибольшего
общего делителя, разложение дроби в цепную дробь,
приближение дроби более простыми, решение уравнений в
целых числах.
Для нахождения наибольшего общего делителя пары
натуральных числе
1 шаг – делим
2 шаг – делим
3 шаг – делим
далее до тех пор, пока некоторое число
a
нацело.
1n
a и 2a (
1
a на 2a , получим остаток
1
a на
a
2
a
на
3
aa ) необходимо :
21
, получим остаток
3
a , получим остаток
4
a
не разделится на
n
a
3
a ;
;
4
a
, и так
5
Алгоритм Евклида записывается следующим образом:
aaqa
;
3211
aaqa
;
4322
aaqa
;
5433
23
….
aaqa
;
111
nnnn
aqa
.
1
nnn
Число
натуральных числе
a
и является наибольшим делителем пары
1n
a и 2a .
1
Пример. Найти НОД (3075; 60).
3075 = 60 ∙ 51 + 15
60 = 15 ∙ 4.
Следовательно, НОД (3075; 60) = 15.
0
60;3075НОД :
Другая запись нахождения
3075
- 300
75
60 60 15
51
- 60 4
- 60
15
11. Применяя Алгоритм Евклида, найдите наибольший
общий делитель следующих пар чисел: 36 и 20; 1365 и 1225;
1189 и 589.
24
Степень. Выражения с переменной. Многочлены.
Формулы сокращенного умножения
Задания для самоконтроля
1. Запишите формулы сокращенного умножения
словами:
2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2. Найдите значение выражения:
1)
3)
5)
3. Значение каких выражений равно 0?
1) (-1)
3) (-1)
4. Упростите выражение
значение при c = 0,5. В ответ запишите полученное число.
5. Упростите выражения и найдите их значения при
заданных условиях:
1)
2
2 bababa ;
2 bababa ;
3
3
2
3
58
33
; 4)
9
3
50106,0
4
+ (-1)5; 2) (-1)5 – (-1)4;
4
- (-1)5; 4) (-1)5 + (-1)4.
2
332
33 babbaaba ;
2)
;
4
yxxyx 4
3
22
22
22
bababa
;
3223
33 babbaaba
2
;
23
; 6)
3223
;
3322
babababa
;
3322
babababa
;
222
55102,0
9,31,071,030
2
при x = -1,038, 3y ;
.
421
105101103
2
2
42
ccc
bcacabcbacba 222
;
4
10131016 .
, найдите его
25
2)
3) 39a – 15b + 25 если
a
4)
, если
b
5)
6)
7)
8)
311
4
ba
zyx 62
xpxp
2
7228 baab при 8,15 ba ;
463
ba
7
436
ba
52
ba
;
1
25
ba
ba
, если
501161 ba
236
baba
66
, если
3
при b = 2;
yx
, если
5225
572
9
ba
527
, а
54
xxp
;
;
10
;
712
yz
.
6. На числовой прямой отмечены числа a и b:
Какое из следующих чисел наибольшее?
1) a + b; 2) –a; 3) 2b; 4) a – b
7. О числах a, b, c и d известно, что a < b, b = c, d > c.
Сравните числа d и a.
1) d = a; 2) d > a; 3) d < a; 4) Сравнить невозможно.
8. На числовой прямой отмечены числа a и b. Какое из
следующих утверждений неверно?
1)
0 ba
, 2)
, 3)
b
112
02ba
, 4)
.
0
a
9. Какое из приведенных ниже неравенств является
верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих
условию a > b?
1) b − a < −2; 2) a − b > −1; 3) a − b < 3; 4) b − a > −3.
10. Выполните действия:
1)
23232
pyxpyx
5,06,0
; 2)
34423
)2,0()5,2(
cbacba
;
26
3)
5)
7)
9)
3,0:5,0
3,08,1
nnyy
11)
13)
15)
17)
19)
20)
21)
23)
25)
4
3
27)
32523
5,1:75,0 bcacba
232
nn
aa
; 8)
2214
; 10)
)(:)( bcacba
nnn
32222
yxyx )()(
2232
nnnn
)()(
yxyx
; 18)
2
aaa
22
)2()2( aa
; 24)
2
)(2)(5 xyyxx
6
2
23754
)5,0(:)4,0(
yaxyxa
; 4)
; 6)
2323324
; 12)
4326432
)(:)( cabcba
; 14)
; 16)
222
)1()1)(1)(1( aaaa
)4)(2)(2(
; 22)
; 26)
12
3:2 xxx .
2
3253
;
)7,0(
xcxc
3
13
nn
6,0:12,0
xx
;
nn
43
cc 2,0:)(
;
2325
)5,0()5,2( xx
;
2
2
)5,1(
aa
yxyx
423
;
3
232323
)2()( yxyx
;
332453
)(:)( yxyx
;
21245
nnn
)(:)(
.
;
2333
)9035()32()32(
aaaa
;
22
))()((
yxxyyx
;
22
)23()32( axaaxa
;
22
2
;
xyyxyx 2:24
11. Разложите на множители:
1 a
25,0 xpa
2
; 2)
422
; 6)
864
56,2 xya
; 9)
36
; 12)
827 ba
226
)( yxyx
; 15)
1)
5)
8)
11)
14)
16)
18)
)()5( cbcb
20)
82
; 3)
4ca
108
04,0
yx
008,0 a
15
; 10)
125,0 ypx
22
)()23( baba
; 17)
22
; 19)
22
)2()34( yxyx
; 21)
27
16,084yx
; 7)
963
; 13)
; 4)
001,0 xc
27
84
401,0 yc
;
64
21,144,1 pc
129
;
1
242
)(9 baba
;
22
)()2( caca
;
22
)()32( yxyx
)32()2( xaxa
,
1296
;
cba
;
22
;
22)
24)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
35)
37)
39)
41)
43)
45)
47)
49)
51)
2
22
22
22
2
22
baba
yxyyxx
2 yxyxcycx
23
xxx
235
134 xxx
cccc
; 23)
xaaxa 7755
; 25)
cxaycyax 3443
;
baaxbxbxax
;
cxbxcxaxbxax
;
bxaxbxcxbxax
22105
2342
33
xccxaxax
435422
2222
; 34)
3223
; 36)
22
; 38)
3223
yxyyxx
; 40)
3223
; 42)
babbaa
; 44)
842
; 46)
144
ccc
; 48)
5623
; 50)
234
; 52)
aaaa 2222
Дополнительные задания
2
;
cxcxx 5544
;
cyaycxax 6565
;
;
cxaaxcxacxxc 22
cxyycxyxyxcxy
;
;
abcbcaacabcba 263612
23
23
235
;
1
xxx
235
1
yyy
23
23
235
123 yyy
;
;
1243
xxx
;
5412368
xxx
;
;
aaa 1268
;
ccc 1268
;
1
aaa
;
145 bbb
yxyx 221
.
1. В тридевятом царстве живет дракон, который
увеличивает свой вес за день в 4 раза, если поймает и съест
добра молодца, вдвое, если – красну девицу, и худеет на
половину своего веса, если останется без добычи. За год (365
дней) он съел 15 девиц и 112 молодцев. Как изменился вес
дракона за это время?
28
2. Кросснамбер
г
в
а
б
По горизонтали:
б) квадрат суммы двух
последовательных
натуральных чисел;
в) удвоенная сумма
3. Кросснамбер
а б в
г д
По горизонтали:
а) значение выражения
9
5
812
; в) площадь
4
8
472
квадрата, периметр
которого равен 28 см;
квадратов двух
последовательных
натуральных чисел;
г) наименьшее трехзначное
число, составленное из
разных цифр и записанное
от конца к началу.
По вертикали:
а) сумма кубов двух
различных простых
однозначных чисел, кратна
5;
в) утроенные 10% числа (а)
по вертикали.
г) трехзначное число, две
последние цифры которого
одинаковы.
По вертикали:
утроенные 20% числа (д)
б)
по вертикали, уменьшенные
на сумму цифр
получившегося числа;
в) сумма квадратов двух
последовательных
натуральных чисел;
д) куб суммы двух
последовательных
натуральных чисел.
29
Дроби
Задания для самоконтроля
1. Запишите дроби цифрами: одна четвертая, одна
шестая, одна восьмая, одна девятая, одна двадцать пятая,
одна тридцать вторая, четыре седьмых, пять девятых, семь
одиннадцатых, восемь восьмых, четыре тридцать третьих,
шесть пятнадцатых, восемь тридцать первых, восемь
семнадцатых, тринадцать шестнадцатых, двенадцать
девятнадцатых, девятнадцать двадцатых, пятьдесят
семьдесят первых, тридцать пять девятнадцатых, семьдесят
тридцать седьмых, девяносто пять тридцать третьих.
2. Запишите смешанные дроби цифрами: одна целая
одна вторая; одна целая одна пятая; три целых одна тридцать
четвертая; четыре целых шесть седьмых; семь целых три
пятых; девять целых одна двадцать третья; одиннадцать
целых семь одиннадцатых; двенадцать целых восемь
тринадцатых; сорок одна целая одна шестая; восемьдесят
одна целая одна девятнадцатая.
3. Запишите дроби словами:
1
1
1
1
1
1
1
1
2
21
3
4
13
1
2
26
3
5
1
8
;
;
;
;
;
3
4
5
3
5
;
2
3
;
3
37
;
4
3
;
19
4
;
1
7
51
;
;
2
2
7
68
;
;
3
3
9
21
;
;
5
5
2
;
;
25
5
;
;
2
14
6
;
13
29
;
7
8
7
11
;
;
2
2
5
13
;
;
3
3
5
63
;
;
6
6
7
;
;
34
8
;
9
27
19
;
;
;
19
5
38
1
7
9
2
17
3
5
7
1
;
;
10
57
;
;
2
82
;
;
3
19
7
892
;
;
;
7
8
1
;
104
;
36
9
;
100
1
;
12
2
31
20
;
5
77
;
9
;
3
.
5
8
;
203
6
;
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]