Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
yx
1134
1) ;
2) ;
2268
yx
6. Верно ли, что система уравнений:
yx
43
3) .
73
yx
yx
14
105
yx
yx
9
4555
yx
имеет бесчисленное множество решений? Если да, то
найдите несколько из них.
7. Решите графически системы уравнений:
1)
4)
yx
1134
yx
57
yx
xy
; 2)
; 5)
702815
312yxyx
194
xy
x
052
; 3)
25415
; 6)
7847
yx
;
6475
yx
12163
yx
.
y
064
66
Дополнительные задания
Определение. Матрицей размера mn, где m – число
строк,
расположенных в определенном порядке. Эти числа
называются элементами матрицы. Элементы матрицы
обозначаются
А =
вычислить по формуле: det
n – число столбцов, называется таблица чисел,
a
, где i- номер строки, а j- номер столбца.
ij
aaa
А =
...
...
...
31
n
11211
aaa
n
22221
............
aaa
mnmm
Определение. Определителем квадратной матрицы
aaа
...
...
...
21
n
11211
aaa
n
22221
называется число, которое можно
............
aaa
nnnn
A =
n
k
k
1
)1(, (1)
1
Ma
kk
11
51
где М1к – определитель матрицы, полученной из исходной
вычеркиванием первой строки и
k – го столбца.
Определители имеют только квадратные матрицы, т.е.
матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.
По формуле (1) можно вычислить определитель
матрицы по первой строке, также справедлива формула
нахождения определителя по первому столбцу:
det
A =
n
k
1
1
k
)1(
Ma
(2)
11
kk
Вообще говоря, определитель может вычисляться по
любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива
формула:
det
A =
n
k
ik
)1( , i = 1, 2, …, n. (3)
1
Ma
ikik
Различные матрицы могут иметь одинаковые
определители.
Определитель единичной матрицы равен 1.
Пример.
121
320
.
113
Вычислить определитель матрицы А =
121
1
320
32
2
11
30
1
13
20
13
113
=(–2∙1 – 1∙3) – 2(0∙1 – 3∙3) + (0∙1 + 3∙2) = -5 + 18 + 6 = 19.
Определение. Для системы линейных уравнений вида
...
...
...
2211
bxaxaxa
nn
11212111
bxaxaxa
nn
22222121
...............................................
bxaxaxa
mnmnmm
52
aaa
...
...
...
21
матрица А =
системы, а матрица А
называется
расширенной матрицей системы.
n
11211
aaa
n
22221
называется матрицей
............
aaa
mnmm
*
=
...
...
...
21
baaa
n
n
111211
baaa
222221
...............
baaa
mmnmm
Метод Крамера
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод применим только в случае систем
линейных уравнений, где число переменных совпадает с
числом уравнений. Кроме того, необходимо чтобы все
уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение
не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы
системы не равнялся 0:
det
A 0.
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
...
...
...
2211
bxaxaxa
nn
11212111
bxaxaxa
nn
22222121
...............................................
bxaxaxa
nnnnnn
в случае, если определитель матрицы системы не
равен нулю, имеет единственное решение и это решение
находится по формулам:
x
i
, где = det A, а
i
–
i
53
определитель матрицы, получаемой из матрицы системы
t
t
t
заменой столбца i столбцом свободных членов b
......
......
=
i
:
i
aabaa
nii
11111111
aabaa
niii
2122221
.........
aabaa
......
nnninnin
111
Пример.
Система трех линейных уравнений с тремя
bxaxaxa
1313212111
bxaxaxa
.
2323222121
bxaxaxa
3333232131
13121
;
23222
33323
;
неизвестными:
A =
=
2
x
1
1
A
de
,
x
aba
aba
aba
2
aaa
131211
aaa
232221
aaa
333231
13111
; 3=
23221
33331
de
; 1=
2
A
,
aab
aab
aab
baa
11211
baa
22221
baa
33231
3
de
.
A
x
3
Пример. Найдите решение системы уравнений:
05
zyx
1432
zyx
zyx
.
16234
115
321
=
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) =
234
= –25 – 10 + 5 = –30;
54
110
1 =
3214
= (28 – 48) – (42 – 32) =
2316
= –20 – 10 = –30.
105
=
2
3141
= 5(28 – 48) – (16 – 56) =
2164
= –100 + 40 = –60.
015
=
3
1421
= 5(32 – 42) + (16 – 56) =
1634
= –50 – 40 = –90.
1
;
1
x
1
2
;
2
x
2
3
.
3
x
3
Метод Гаусса
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от метода Крамера, метод Гаусса может быть
применен к системам линейных уравнений с произвольным
числом уравнений и неизвестных. Метод заключается в
последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
...
...
...
2211
Разделим обе части 1–го уравнения на
1) умножим на
2) умножим на
а
и вычтем из второго уравнения
21
а
и вычтем из третьего уравнения
31
bxaxaxa
nn
11212111
bxaxaxa
nn
22222121
...............................................
bxaxaxa
mnmnmm
a
0, затем:
11
и т.д.
55
Получим:
...
...
a
j
где
d
d
= aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
ij
1
, j = 2, 3, …, n+1;
j
1
a
11
...
322
dxdxdx
nn
112121
dxdxdxd
nn
22323222
,
..............................................
dxddxd
mnmnmm
Далее повторяем эти же действия для второго
уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Пример.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
52
xxx
321
xxx
xxx
332
321
321
.
107
Составим расширенную матрицу системы.
5112
A
~
10117
3321
11750
3122150
~
3321
~
3321
~
5112
10117
3321
11750
.
2100
Таким образом, исходная система может быть
представлена в виде:
x
3
x
= 2; x2 = 5; x1 = 1.
3
xxx
xx
32
2
332
321
1175
, откуда получаем:
56
Пример. Решить систему методом Гаусса:
05
zyx
1432
zyx
zyx
.
16234
Составим расширенную матрицу системы.
0115
~
~
14321
16234
14321
~
401050
7016110
14321
~
16234
0115
14321
401050
18600
Таким образом, исходная система может быть
представлена в виде:
1432
z
zyx
40105
zy
, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
186
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным
для данной системы методом Крамера.
1. Решите системы уравнений методом Крамера и
методом Гаусса:
xxxx
xxx
431
xxxx
1)
zyx
10523
zyx
zyx
; 2)
6352
1263
4
4321
xxxx
1232
4321
.
62
03
4321
57
xxx
25 9
123
9)
11)
13)
xx x
3)
12 3
xxx
36 25
123
32 5
xxx
123
26
xxx
5)
123
xx
12
xxx
123
xx x
354
7)
12 3
xxx
123
32
53
4310
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
,
,
,
.
,
0
,5432
4321
,1322
4321
,1223
4321
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
,2322
xxxx
4321
,4223
xxxx
4321
.6234
xxxx
4321
,
; 4)
.
; 6)
,
; 8)
.
; 10)
.5234
,11432
,12432
; 12)
,13243
.14324
,10432
; 14)
24
xxx
123
34 2 11
xxx
123
32 4 11
xxx
123
xxx
261
123
xxx
21
123
xx x
322
12 3
32 5 8
xxx
123
423 9
xxx
123
27
xxx
123
xxx
431
,
,
;
.
,
,
;
.
,
,
;
.
,34
,132
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
xxxx
4321
;
,102253
.632
,9532
,3723
;
,8634
.6742
,2432
,2432
;
,2243
.2324
58
Модуль
Задания для самоконтроля
1. На координатной прямой отмечены числа x и y.
Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
x<y и
1)
3)
x<y и
2. Решите уравнения:
1)
, 2) x>y и
yx
, 4) x>y и
yx
52 x
; 2)
23 x
; 3)
,
yx
.
yx
73 x
; 4)
3952 x
;
5)
8)
25 16x
11)
5410x
14)
8321x
17)
xx
20)
2432xx
23)
216 2415xxx
25)
xxx
27)
29)
31)
33)
35)
3. Изобразите на числовой прямой множество точек х,
для которых выполняются условия:
1)
18 54
xxx
42 17
22121
xx x
xxx
2314
xx x
1212
1x
; 2)
; 6)
64584 x
; 9)
2|2| xx
534x
; 12)
10 2 4x
; 15)
524x
; 18)
2332xx
; 21)
53 2 1
; 24)
; 28)
; 30)
; 32)
; 34)
.
1x
; 3)
; 7)
933728 x
54 1
; 10)
|5|5
xx
417x
; 13)
75 13
; 16)
231x
; 19)
323xx
; 22)
xx
26)
xxx
14 15
1x
;
xxx
23 518
37 611
xxx
xxx
53 2 411
xxx
2435
.
;
x
;
;
;
;
|2|5||
xx
x
;
;
;
;
;
;
59
4. Укажите целые числа, принадлежащие промежутку:
1)
3x
; 2)
12 x
; 3)
534 x
;
4)
1445 x
; 5)
3
x
4
.
3
Дополнительные задания
1. Решить неравенства:
x 401,
1)
x 31
4)
251x
7)
251x
10)
323xx
13)
57 2xx
15)
xx32
17)
2232xx
19)
345xx
21)
233 xx
23)
15 3 2 05,,xx
25)
27) |3 – x| + |2x – 4| – |x + 1| > 2x + 4;
28) |3 – |x – 2|| ≤ 1.
2. Какие из следующих высказываний верные, а какие
неверные?
1) деление m на n без остатка возможно, если число m
кратно числу
2) число х = 6 удовлетворяет неравенствам x < 8, x >
5,7;
3) все простые числа нечетные;
4) для того, чтобы число делилось без остатка на 2,
необходимо, чтобы оно заканчивалось нулем;
; 5)
; 8)
n, n ≠ 0;
; 2)
x
251x
; 11)
; 14)
; 16)
; 18)
; 22)
; 24)
x402,
205,
; 3)
; 6)
; 9)
271x
xx
12 5
5362xx
4253xx
; 20)
6578xx
05 1 5, xx
025 1 5, xx
; 26)
xx
x205,
251x
; 12)
x
31
271x
;
;
;
;
;
;
;
;
;
235
;
;
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]