Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
12.
х
х
Постройте прямую линию: –4х + 8 = 0;
13. Решите систему уравнений способом подстановки:
14. Решите систему уравнений способом сложения:
1. Запишите словами числа:
2. Упростите выражение
3. Упростите выражение
найдите его значение при
4. Решите неравенство
,112yxyx
.123
,75yxyx
.13
; 123
и
Контрольная работа №4
2
2
3
250
;
4
xx
; 7;
232
0
12
3
54 16
3
х=0,2007
3
27
22
.
;
32
49144914
xxxx
6
2
03
5. Решите уравнения: 1)
3)
5)
2
х
х
049
х
х
13 х
х
х
6)
6. Разложите многочлен на множители:
1. Что такое область определения?
25
2
, 4)
18
13
2
х
91
5
102
Контрольная работа №5
хх
, 2)
,
043
xx
221
,
2
1
222
ххххх
5
2
0163
х
,
23
485)(
xxxxf
.
х
2. Найдите область определения функции
xf
)(
5
.
3
3. Что такое нули функции?
121
4. Найдите интервалы постоянного знака функции
g
g
5
)(
xf
5. Что такое множество значений функции?
6. Найдите множество значений Функции:
7. Исследуйте функцию и постройте график:
8. Постройте график, используя преобразования:
1. Опишите функцию и изобразите график: y = - (x-1)2 - 2
2. Опишите функцию и изобразите график: y = ( x + 1)
3. Постройте график:
4. Постройте график:
5. Решите уравнения: а)
2
в)
1. Найдите число b, если:
х
2
xx
.
32
хх
Контрольная работа №6
1
x
3
y
y
.
0273123
Контрольная работа №7
x
1
2
log
12
813
49
7
1
b
xx
; б)
2
y = x
+ 5x + 6
2
y = x
+ 5x – 6
y = -2x
3/5
2
xxx
1
.
2
– 4x + 1
+ 1
;
3471477
3log
2. Решите уравнение:
x
2
.
8
3. Вычислите:
4. Построить график:
log3log
5
4
5log
.
223
xy .
13log
5. Найдите
cos ,
,
t
ct
, если
6,0sin
и
2
6. Постройте графики функций: 1)
xctgy .
4
; 2)
1sin2
xy
122
.
Справочные материалы
Числовые множества
Множество натуральных чисел
Все натуральные числа можно записать как множество:
N = {1; 2; 3; ...; 1067; 1068; ...}.
N – это множество натуральных чисел.
Натуральные числа – числа, которые используют для счёта
предметов.
Натуральное число может быть чётное или нечётное.
2; 4; 6; 8; 10; 12; ... – это чётные числа.
1; 3; 5; 7; 9; 11; ... – это нечётные числа.
Если
а и b – натуральные числа и частное а : b – натуральное
число, то
ненатуральное число, то
множители
наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из
чисел.
наименьшее число, которое делится на эти числа без остатка.
также целые отрицательные числа.
где
а делится на b.
Если
Простое число делится только на 1 и на себя.
Составное число делится на 1, на себя и на другие числа.
Любое составное число можно
Наибольший общий делитель (НОД) чисел — это
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел — это
Множество целых чисел
Все целые числа можно записать как множество:
Z – это множество целых чисел.
Целые числа – целые положительные числа, число нуль, а
Множество рациональных чисел
а и b – натуральные числа, а частное а : b –
а не делится на b.
разложить на простые
– записать как произведение простых чисел.
Z = {… -3; -2; -1; 0; 1; 2; ...}.
a
Если а ∈ N и b ∈ N, то число
– это обыкновенная дробь,
b
а – числитель, b – знаменатель.
123
Дробь
– это правильная дробь, если а < b.
b
a
a
Дробь
– это неправильная дробь, если а ≥ b.
b
Неправильную дробь можно записать как
дробь
. Смешанная дробь имеет две части: целую и дробную части.
Основное свойство дроби:
Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель
дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное
нулю:
разделить на одно и то же число, на их общий знаменатель.
знаменателей;
знаменателей на каждый знаменатель;
дополнительные множители.
привести к общему знаменателю, а затем сложить (вычесть)
числители дробей и написать общий знаменатель.
числитель, знаменатель умножаем на знаменатель:
смешанные дроби как неправильные дроби, а потом умножаем эти
дроби.
a
nm
b
Сократить дробь – числитель и знаменатель дроби
Привести дроби к (наименьшему) общему знаменателю:
1) Найти (наименьший) общий знаменатель, как НОК
2) Найти
3) Умножить числители и знаменатели дробей на их
Если дроби имеют общий знаменатель, то
Если дроби имеют разные знаменатели, то сначала их нужно
Умножаем обыкновенные дроби: числитель умножаем на
Умножение смешанных дробей: сначала записываем
mb
:
ma
na
:
nb
дополнительные множители, разделить НОК
Действия с дробями:
.
0,0,
смешанную
c
a
b
b
a
dcb
ca
.
b
ca
.
db
124
Деление обыкновенных дробей
умножаем на знаменатель второй дроби и знаменатель первой
дроби умножаем на числитель второй дроби:
Деление смешанных дробей: сначала записываем смешанные
дроби как неправильные дроби, а потом выполняем деление.
2
1
,
10
1
так:
десятичные дроби.
виде обыкновенной несократимой дроби
число, а знаменатель – натуральное число.
записаны в виде конечной или бесконечной периодической
десятичной дроби.
обыкновенной дроби
периодическая десятичная дробь и обратно.
записаны в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
множества рациональных чисел и множества иррациональных
чисел.
множества целых чисел:
множества рациональных чисел:
10
Все рациональные числа можно записать как множество:
Q – это множество рациональных чисел.
Рациональные числа – числа, которые можно представить в
Рациональные числа – это числа, которые могут быть
Это два определения равносильны, так как любой
Иррациональные числа – это числа, которые могут быть
Множество действительных чисел R состоит из
Множество натуральных чисел является подмножеством
Множество целых чисел является подмножеством
3
,
5
1,0
- это обыкновенные дроби. Их можно записать
100
4
2
,
5
10
Q
соответствует конечная или бесконечная
3
,
4,0
100
p
q
ZN
: числитель первой дроби
c
a
:
d
b
. Числа 0,1, 0,4, 0,03 – это
03,0
NqZ,pгде,
.
p
, где числитель – целое
q
.
QZ
.
da
.
cb
125
Множество рациональных чисел является подмножеством
DBA
RQ
множества действительных чисел:
.
RQZN
Операции над множествами
Над множествами можно выполнять действия (операции),
как и над числами.
Объединением нескольких множеств называется множество,
которое состоит из всех элементов множества
.
DBA
А и множества В:
Пересечением множеств А и В называется множество,
которое состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно
каждому из этих множеств:
.
Арифметические действия
1) Сложение a + b = c
a –
слагаемое, b – слагаемое, a и b – слагаемые, c – сумма,
(a + b) – сумма
2) Вычитание a - b = c
a –
уменьшаемое, b – вычитаемое, c – разность, (a – b) –
разность
3) Умножение a ∙ b = c
a –
множитель, b – множитель, a и b – множители,
c – произведение, ab – произведение
4) Деление a : b = c
делимое, b – делитель, c – частное,
a –
a
– частное
b
(отношение)
5) Возведение в степень
Если n ∈ N (n > 1), то произведение
называется
n-й степенью а.
n
раз
n
a
aaaa
Если n ϵ Z (целое число), то степень an:
1) n > 0,
n
раз
n
a
aaaa
2) n = 0, a0 = 1, a ≠ 0
126
3) n < 0,
m
Если
n
a
n
a
Q
(рациональное число), то степень
0,1
a
m
n
a :
n
m
1) a ≥ 0,
n
2) а < 0, выражение
m
n
aa
;
m
n
m
n
aa
имеет смысл только, если
знаменатель n – нечётное число.
Свойства степени
1.
m
2.
aaa
n
mn
aa
3.
4.
n
nn
baab
mnmn
aaa
:
mnmn
6) Извлечение корня
Если bn = а и а ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N (n ≠ 1), то число b –
арифметический корень n-й степени из числа a. Его обозначают
n
a
знаком
. Число n – это показатель корня; число а – это
подкоренное выражение.
ban
Запись
во-вторых, что
, где а ≥ 0, означает, во-первых, что b ≥ 0 и,
n
n
abn
, т.е.
.
aa
Извлечь корень – это значит найти корень, а действие
извлечения – это нахождение корня.
Извлечение корня – это действие, обратное возведению в
степень:
n
n
0,0, abbaab
.
Свойства арифметических корней
kkk
1)
2) Если
3) Если
4) Если
a ≥ 0, b > 0, то
a ≥ 0, k, c N, k > 1, c > 1, то
a ≥ 0, то
baab
, где а ≥ 0, b ≥ 0;
a
k
b
m
k
m
k
aa
k
a
;
k
b
k
kc
c
aa
;
;
127
5) Если a ≥ 0, m, n N, то
2
6)
xx
для любого числа
m
k
nm
nk
;
aa
.
Rx
Корнем n -й степени из действительного числа а (n ϵ N,
n ≠ 1, а ϵ R) называется действительное число b, n-я степень
которого равна а, обозначается
n
По определению
n
ban
.
.
aa
Если подкоренное выражение отрицательно (а < 0), то
1) корень чётной степени из отрицательного числа не
существует,
2) корень нечётной степени из отрицательного числа можно
извлечь.
Отношения. Пропорции. Проценты
a
Частное
или
ba :
,
- это отношение чисел.
0
b
b
Если а > b, то отношение показывает во сколько раз первое
число
а больше, чем второе b.
Если а < b, то отношение показывает во сколько раз первое
число
составляет от числа b
а меньше, чем второе b или какую часть число а
.
Пропорция – это равенство двух отношений:
c
a
d
b
d:cb:aили
.
Основное свойство пропорции: а ⋅ d = b ⋅ c
Произведение крайних членов пропорции равно
произведению средних членов пропорции.
Процент числа х – это одна сотая часть числа х.
Одна сотая часть числа называется
.
числа
процентом от этого
Логарифм
Логарифмом
положительного числа b по основанию а (где
а > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо
b
log
a
ba
возвести а, чтобы получить b:
.
128
Если а > 0, a ≠ 1, b > 0, то по определению logab - показатель
степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число
b
log
a
ba
b. Равенство
тождество
.
Равенство log
В записи log
b = с означает, что ac = b.
a
– это основное логарифмическое
b число а – основание логарифма, b –
a
логарифмируемое число.
log
1 = 0.
a
а = 1.
log
a
ас = с
log
a
b = lgb десятичный логарифм
log
10
log
b = lnb натуральный логарифм, где
е
число e = 2,718281…, е – иррациональное число,
определяемое как:
1
1
1
ne
1
1
21
321
1
321
.
Основные свойства логарифмов
○ При а > 1 логарифмы чисел b > 1 положительны, а
логарифмы чисел 0 < b < 1 отрицательны.
○ При 0 < а < 1 логарифмы чисел b > 1 отрицательны, а
логарифмы чисел 0 < b < 1 положительны.
○ Равным положительным числам соответствуют и равные
логарифмы, т.е. если b
= b2, то logab1 = logab2.
1
○ Если a > 1, то большему числу соответствует и больший
логарифм, т.е. если b
> b2, то logab1 > logab2.
1
○ Если 0 < а < 1, то большему числу соответствует и
меньший логарифм, т.е. если b
> b2, то logab1 < logab2.
1
Логарифм произведения
Логарифм произведения двух положительных чисел равен
сумме логарифмов сомножителей при a > 0, a ≠ 1, b > 0, с > 0:
cbcb
logloglog
.
aaa
Логарифм степени
Логарифм степени равен произведению показателя степени
на логарифм ее основания, т.е.
c
a
NcN
loglog
, где a > 0, a ≠ 1,
a
N > 0.
129
Логарифм частного
Логарифм частного положительных чисел равен разности
N
логарифмов делимого и делителя, т.е.
где a > 0 и a ≠ 1, N
> 0, N2 > 0.
1
1
N
2
Формула перехода к новому основанию
Формула перехода от основания b к основанию а имеет вид:
c
log
a
c
log
b
log
, где c > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1.
b
a
Если a = с, то формула перехода примет вид:
1
c
log
b
log
, или 1 = logba·logab,
b
a
где a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1.
Существуют формулы, которые следуют из предыдущих
формул и ими удобно пользоваться при решении задач:
c
log
ba
loglog
c
a
b
a
k
a
c
ccbaгдеba
a
1
k
loglog
bb
a
ak
b
c
logloglog NN
;1,0,0,loglog aabгдеbb
.0,1,0,0,
kaabгде
;1,1,0,0,1loglog baabгдеab
.1,0,0,0,
,
21
aaa
Алгебраические выражения
Алгебраическое выражение
содержит числа, переменные,
знаки арифметических действий и скобки.
Область допустимых значений х выражения
f(x) - множество значений переменной х, для которой выражение
f(x) имеет смысл.
Формулы сокращенного умножения
1. Квадрат суммы двух чисел:
2
(a + b)
Квадрат разности двух чисел:
2.
(a – b)
Разность квадратов двух чисел:
3.
a
= a2 + 2ab + b2
2
= a2 – 2ab + b2
2
– b2 = (a – b) (a + b)
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]