Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
5) сумма двух нечетных чисел есть нечетное число;
6) для того, чтобы b
5
= b4, необходимо, чтобы b = 0;
7) квадрат любого четного числа делится без остатка на
4;
8) всякое натуральное число, большее, чем 1, делится
без остатка хотя бы на одно простое число;
9) если | m | = | n |, то m = n;
10) если m = n, то | m | = | n |;
11) если m∙n > 0, то m > 0, n > 0.
3. Постройте графики функций:
1) у = 0,5|x| – 3;
2) y = 2|x + 3|;
3) y = 3x + |5x – 10|;
4) y = |2|x| + 3|;
5) |y| = |x – 5|.
4. На координатной плоскости изобразите все точки,
координаты которых являются решениями уравнения:
2
y
– |y| = x2 – |x|.
5. Изобразить на координатной плоскости множества:
xy1
1)
,
xy1
2)
xy1
и
.
61
Отношения. Пропорции. Проценты
Задания для самоконтроля
1. Найдите часть от числа:
5
1)
от 14; 2)
7
5) 0,28 от
15
от 144; 3)
8
3
; 6) 0,45 от 100; 7) 0,58 от 0,85;
56
3
от 60,5; 4)
11
8) 0,85 от 0,58.
2. Какую часть составляет разность чисел:
2
9
от
5
;
1
13
1
1)
и 0,25 от их суммы? 2)
3
1
1
3)
и
4
от их суммы?
7
1
1
и
от их суммы?
6
5
3. Чему равно число, если
1
1)
2)
3
1
4
1
от
этого числа равна
3
1
от
этого числа равна
4
1
?
3
1
?
4
4. Найдите неизвестный член пропорции:
02,4
; 5)
5,40:63,18:9,3 x
; 7)
; 12)
5,3
7,0
22,0
35,0
y
484
x
1
3:5,6
; 10)
4
; 3)
x
a
1
2:
3
1) 1,9 : 1,4 = 7,6 : х; 2)
4)
1
3
4
6)
7
5
1
8)
1
8
1
11)
1
5
2:
5
4
2:
b
7
y:
4
2
1
; 9)
5:
3
x:7,304,0:
5. Найдите p процентов от числа:
4
6,0
.
4,016
;
5,0
;
y:9,558,64:48,15
;
88,26:688,2:04,15 m
52
xx
;
4,0
62
1) 60 % от числа 20; 2) 20 % от числа 60;
3) 18% от 40; 4) 2,5% от 62; 5) 42% от 70;
6)
8)
1
%
5
3
1
%
1
6
3
от
4
от числа 1866; 9)
; 7)
1
%
6
7
от
3
7
;
68
5
от числа 9191.
%
7
6. Найдите числа по заданному проценту:
1) найдите число, 2,5% которого равно 105;
2) найдите число, 70% которого равно 3,5;
3) найдите число, если
1
составляет 22% от него;
5
2
4) число х составляет 20% от у, найдите у;
5) число у составляет 4,5% от числа х, найдите х.
7. Определите процентное отношение:
1) сколько процентов число 12 составляет от числа 40?
2) сколько процентов число 18 составляет от числа 120?
3) сколько процентов число 45 составляет от числа 135?
4) сколько процентов число х составляет от числа 4х?
Дополнительные задания
1. Добавленное время к футбольному матчу составило
1
от основного времени. Сколько времени длился матч?
18
Основное время матча длится 90 минут.
2. Эндрю делал домашнее задание 1,5 часа. Математику
он делал 0,4 всего времени. Русский язык он делал
4
всего
9
времени. По истории и физике он делал домашние задания в
оставшееся время. Сколько времени на них потратил Эндрю?
3. При строительстве объекта 20 бульдозеров могут
расчистить площадку за 52,5 минут. За сколько времени
расчистят площадку 5 бульдозеров?
63
4. За год строительная фирма построила 0,96 от всего
заказа. Какую часть заказа фирма сделала за 8 месяцев? За 14
месяцев?
5. Мороженое «пломбир» содержит 16% сахара, что
составляет 40 г. Сколько весит мороженое?
6. Банк дает 6,75% годовых. Через год вкладчик забрал
всю сумму – 117000 рублей. Сколько денег положил
вкладчик год назад?
7. 18%-й раствор соли наполовину разбавили водой.
Какова концентрация полученного раствора?
8. Свежие грибы содержат 90% влаги, а сушеные – 10%
влаги. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?
9. Книжный магазин продал 70 экземпляров 1-го тома
книги и 60 экземпляров 2-го тома книги. Общая стоимость
книг составляла 23000 руб. В действительности за все эти
книги уплатили 19100 руб., так как была произведена скидка:
на 1-й том 15%, а на 2-й том – 20%. Найдите первоначальную
стоимость 2-го тома.
10. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720
рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от
стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15
школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на
всю группу?
11. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5%
активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач
прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый
килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства
следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5
кг в течение суток?
12. Цена на электрический чайник была повышена на
16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник
до повышения цены?
13. В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15%
детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не
64
работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.).
Сколько взрослых жителей работает?
14. Кросснамбер
а б
в
г
д е
ж з и
к
По горизонтали:
а) значение, являющееся произведением НОД и НОК
чисел 45 и 27;
г) расстояние на местности, выраженное в
километрах, если расстояние на карте, сделанное в масштабе
1 : 2 500 000, равно 18 см;
трехзначное число;
к) корень уравнения: xx
ж) значение выражения:
5
15
.
26
д) наименьшее простое
21
2
13
3
5
223
;
732
По вертикали:
значение выражения:
а)
кратное 9;
кратное 11;
в) наименьшее четырехкратное число; г) число,
д) число второго десятка, имеющее четыре
простых делителя;
7
дробей:
11
5
и
; з) число кратное пяти, которое, будь оно на
12
4
е) наименьший общий знаменатель
4
1022,0
б) число,
;
10 больше, записывалось бы одинаковыми цифрами;
и) наименьшее общее кратное чисел 21 и 12; к) неизвестный
3
член пропорции:
1
3
3
3
:
x
8
.
6:
4
65
Арифметический корень
Задания для самоконтроля
1. Какому числу соответствует точка A на числовой
прямой?
1)
2. Одна из точек, отмеченных на числовой прямой,
соответствует числу
1) точка
3. На числовой прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна
из них соответствует числу
1) точка
4. На числовой прямой отмечена точка А. Известно, что
она соответствует одному из четырех указанных ниже чисел.
Какому из чисел соответствует точка
, 2) 3, 3) 7, 4)
2
77
. Какая это точка?
A; 2) точка B; 3) точка C; 4) точка D
53
. Какая это точка?
A; 2) точка B; 3) точка C; 4) точка D
А?
11
.
181
1)
5. Какому промежутку принадлежит число
1) [4; 5], 2) [5; 6], 3) [6; 7], 4) [7; 8]
6. Расположите в порядке убывания числа:
5,5.
, 2)
16
37
, 3) 0,6, 4) 4
66
53
?
30
33
;
;
7. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и
D.
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом
столбце. Установите соответствие между указанными
точками и числами.
ТОЧКИ ЧИСЛА
А) A
Б) B
В) C
Г) D
227
2:7
272
3
2
, если
5665
67
6167
38
2
5
22
и 16.
; 4)
2
; 4)
; 6)
53
44
2
3
311211
4 xxxg
42
; 3)
24,0
8. Сравните числа
9. Значение какого выражения является наименьшим?
17
1)
10. Значение какого выражения является наименьшим?
1)
11. Между какими числами заключено число
1) 8 и 9; 2) 72 и 74; 3) 24 и 26; 4) 4 и 5
12. Найдите
13. Найдите значение выражения:
1)
4)
23
; 2)
; 2)
242
23
; 3)
72
; 3)
xg
2
xg
2
; 2)
2222115
2
; 5)
при
2,48,2
;
73
?
.
2x
2
;
123
7)
55
63
995
; 8)
156015 ; 9)
1610
5
;
5
6
10)
11)
3
7
12)
13)
x
x
14)
15)
16)
18) 43
2
7
81bb
14
x
x
19)
2516
54
ab
8
20)
ba
5
1
7
2
225
3
:
332
7228 baab при 8,15 ba ;
x
4
3
2
при
28
yxxyx 4
при x = -1,038, 3y ;
х > 0;
x
при х ≤ 2;
44
xxx
22
при 6 ≤ а ≤ 10;
106 aa
5
при b > 0; 17)
557
x
x
при х = 3;
x
yx
, если
y
yx
b
a
8
при
a
b
88
28
2
7
715
35
4
a
3 yx
14. Упростите или выполните действия:
20
aa
;
при a > 0;
33,738 ba .
1)
210210
;
24
2)
3)
10875,0
1
1123435,075,1363
;
;
147192
32
68
4)
14
2
25
2
4
45,12
5
2
13,0
3
;
:
15
29,0:
;
х
х
; 9)
1
4
3)
22
63
;
2
2)
х
33
7
2
х
1
2
2
; 6)
2
yх
; 11)
хх
1911
3822
ху
1
16
125,6
3
2440
;
2012
; 5)
5)
15. Упростите выражение и освободите дробь от
иррациональности в знаменателе:
1)
2
4)
хх4
хух
7)
10)
; 8)
хуу
х
6
1
.
21,1
9447
;
376188
33
ух
22
х
6
;
ххууух
.
хх
2352
Дополнительные задания
Иррациональные уравнения
Уравнение называют иррациональным, если оно
содержит переменное выражение под знаком корня или
степень переменного выражения с нецелым показателем.
Иррациональным называют уравнение, в котором
переменная содержится под знаком радикала или под знаком
возведения в дробную степень.
12
Теорема 1. Уравнение
)()(
xPxRk
равносильно на
множестве действительных чисел уравнению
12
k
).()(
Корень нечетной степени 2
выражения
xPxR
f(x), т.е.
k+1, kN, из переменного
12 k
xf
, определен для всех тех же
69
значений х, что и само выражение f(x). При этом знаки
выражения и корня из него совпадают.
Для всех
Теорема 2. Уравнение
х из области определения f(x) верно равенство
k
k
12
12
2
xfxf
.
)()(
xPxRk
равносильно на
множестве действительных чисел смешанной системе
2
k
xPxR
),()(
xP
.0)(
Корень четной степени 2
k, kN, из f(x), т.е.
kxf2
,
определен лишь для тех значений
kxf2
значения
неотрицательны.
Для любого значения
k
определен
k
2
k
2
или, короче,
k
2
2
xf
k
2
k
2
xfxf
k
2
, поскольку
, если f(x)≥0,
xfxf
, если f(x)≤0,
k
2
х, для которых f(x) ≥ 0. Все
х из области определения f(x)
k
xf . При этом
xfxf
.
02
Область определения корня четной степени
необходимо учитывать при решении задач.
Рассмотрим
уравнений
: метод возведения обеих частей уравнения в одну
два метода решения иррациональных
и ту же степень и метод введения новых переменных.
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту
же степень состоит в следующем:
1) преобразуют заданное иррациональное уравнение к
виду
xgxf
;
nn
2) возводят обе части полученного уравнения в
степень:
n
n
n
n
xgxf
;
n-ю
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]