Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Сборник упражнений и задач по курсу «Математика». Учебное пособие
.pdf
10. Вставьте пропущенные слова и символы:
Z
Рациональное ________________ – дробь вида _______,
где
m
, _____. Рациональное число – конечная или
бесконечная __________________ __________________
дробь.
Множество _______________ чисел состоит из
множества _____________________ чисел и множества
____________________ чисел.
Дополнительные задания
1. Старейший математик среди шахматистов и
старейший шахматист среди математиков – это один и тот же
человек или (возможно) разные?
2. Лучший математик среди шахматистов и лучший
шахматист среди математиков – это один или тот же человек
или (возможно) разные?
3. Каждый десятый математик – шахматист, а каждый
шестой шахматист – математик. Кого больше – математиков
или шахматистов – и во сколько раз?
4. Каждый десятый любитель математики знает
философию, а каждый пятнадцатый философ — любит
математику. Кого больше: любителей — математиков или
философов?
5. Двум студентам Марии и Роберту исполнилось по 20
лет. Они договорились праздновать юбилей вместе. Каждый
из них должен был пригласить 8 гостей, но Вадима и Алену
позвали на праздник и тот, и другой. Сколько всего гостей
пришли в кафе?
41
6. Сколько детей в семье, если 7 из них любят капусту,
6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и горох, 3 – капусту и
горох, 2 – морковь и горох, а 1 любит и капусту, и горох, и
морковь?
7. Студенты нескольких групп в количестве 28 человек
в октябре поехали на экскурсию в музей-усадьбу
«Коломенское». Для пикника они запаслись едой: 14 ребят
взяли бутерброды с колбасой, 10 – бутерброды с ветчиной,
12 – бутерброды с сыром, 6 – бутерброды с колбасой и с
сыром, 5 –бутерброды с колбасой и с ветчиной, 7 –
бутерброды с сыром и ветчиной. 4 – бутерброды трех видов.
Остальные взяли пирожки. Сколько ребят взяли в дорогу
пирожки?
8. Из 38 студентов: 22 посещают спортивную секцию,
17 человек занимаются в музыкальном кружке, 9 студентов
не посещают ни секцию, ни кружок. Сколько студентов
посещают и секцию, и кружок?
9. На покупку учебника, тетради, ручки и карандаша
студент потратил 700 руб. Известно, что тетрадь и карандаш
стоят одинаково, учебник - на 490 руб. дороже каждого из
них, а учебник и ручка вместе стоят 620 руб. Сколько стоит
каждый товар?
10. Три друга – Иван, Дмитрий и Степан – преподают
различные предметы (химию, биологию, физику) в школах
Москвы, Новосибирска и Владивостока. Известно, что: 1)
Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Новосибирске; 2)
Москвич преподает не физику; 3) Тот, кто работает в
Новосибирске, преподает химию; 4) Дмитрий преподает не
биологию. Какой предмет и в каком городе преподает
каждый из друзей?
42
11. В олимпиаде по математике для абитуриентов
приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить
одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по
тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по
геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По
алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и
тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3
человека. Сколько учащихся решили все задачи? Сколько
учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся
решили только одну задачу?
12. Первую или вторую контрольные работы по
математике успешно написали 33 студента, первую или
третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не
менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну
контрольную работу?
13. В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется
хотя бы одним из видов городского транспорта: метро,
автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта
пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников,
метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и
автобусом – 9 учеников. Сколько учеников пользуются
только одним видом транспорта?
43
Числовая прямая. Числовые промежутки.
Прямоугольная система координат
Задания для самоконтроля
1. Какому из промежутков принадлежит число
1) [0,4; 0,5]; 2) [0,5; 0,6]; 3) [0,6; 0,7]; 4) [0,7; 0,8]
2. Какому из промежутков принадлежит число
1) [0,5; 0,6], 2) [0,6; 0,7], 3) [0,7; 0,8], 4) [0,8; 0,9]
3. Числа a и b отмечены точками на координатной
прямой. Расположите в порядке возрастания числа
4. На координатной прямой отмечено число a
Расположите в порядке возрастания числа a-1,
5. На координатной прямой точками A, B, C и D
отмечены числа 0,098; −0,02; 0,09; 0,11. Какой точкой
изображается число 0,09?
6. О числах a и b известно, что a > b. Выберите верные
неравенства:
1) a – b < -3; 2) b – a > 1;
3) b – a < 2; 4) Верно 1, 2 и 3
7. Какое из следующих неравенств не следует из
неравенства y – x > z?
1) y > z + x; 2) y – x – z < 0;
3) z + x – y < 0; 4) y – z > x
44
7
?
11
5
?
9
1
1
,
и 1.
a
b
1
, a.
a
8. На координатной прямой отмечено число a. Какое из
утверждений относительно этого числа является верным?
1)
a + 4 > 0; 2) a + 5 < 0; 3) 2 – a > 0; 4) 3 – a < 0
9. На координатной прямой отмечены числа a и b.
Какое из следующих утверждений является верным?
1)
ab > 0; 2) a + b < 0; 3) b(a + b) < 0; 4) a(a + b) < 0
10. Решите неравенство 20 – 3(x – 5) < 19 – 7x.
1
(–4; +∞); 2)
1)
11. При каких значениях x значение выражения 9x + 7
меньше значения выражения 8
1)
x > 4; 2) x < 4; 3) x > − 10; 4) x < − 10
12. При каких значениях a выражение 5a + 9 принимает
;
4
; 3)
x − 3?
1
4
;
; 4) (–∞; –4)
отрицательные значения?
1)
13. Решите неравенства:
1) 9x – 4(2x + 1) > –8; 2) 4x + 5 ≥ 6x – 2;
3) x – 1 < 3x + 2 4) 2 + x ≤ 5x – 8.
14. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее
9
; 2)
a
5
системе неравенств
15. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее
системе неравенств
16. Решите систему неравенств
5
; 3)
a
9
x
x
x
x
,0186
.28
,0155
.15
5
; 4)
a
9
9
.
a
5
,532xx
.137
45
На каком рисунке изображено множество её решений?
,3
x
17. Решите систему неравенств
.04
x
На каком рисунке изображено множество её решений?
18. На координатной прямой точками отмечены числа
a, b, c, d и m. Установите соответствие между указанными
точками и числами:
1
Числа: 1)
19. Изобразите на числовой прямой числа:
1
2
5
7
20. Дано: A = [–6; 3]; B = [–3; +∞); C = (–∞; 8]. Найдите:
1) A ∩ B; 2) A U B; 3) A U (B ∩ C); 4) (A U B) ∩ C;
5) A ∩ (B U C); 6) (A ∩ B) U C; 7) (A U B) ∩ (B U C);
8) (A ∩ B) U (B ∩ C); 9) (A ∩ C) U (B ∩ C);
10) (A U C) ∩ (B U C).
21. Постройте точки:
1) A (4;3), B (–3; 9), C (–4; –5), D (7; –3), E (–1; 4);
2) K (3,6; –0,3), L (–3,7; –8,4); M (–1; 0,5); N (2,63; 3,5);
3)
;
4
7
4;3
m
; 2)
4
5,03,1
1
2
m
; 3) 3m; 4) m3.
2
36,4
1
2
37
; –3,45; 0,5(15); –4,(8); 1; –5.
10
3;2,7;
2
1
KCBA
1
2;4,
.
3
;
5,
46
22. Постройте точки, запишите координаты точек и
постройте точки, симметричные данным точкам
относительно:
1) Оси абсцисс: A (–4; –7), B (3; 5), C (–6; 2), D (3; –7).
2) Оси ординат: A (–3; 6), B (–4; 8), C (5; –7), D (4; 9).
3) Начала координат: A (5; 3), B (–5; 7), C (4; –7),
D (–4; –2).
4) Биссектрисы первого и третьего координатных
углов:
вершин:
а) точка (начало) ________________; б) единичный
___________________; в) выбрано _________________
__________________ на прямой.
______________ на числовой прямой.
A (7; – 8), B (–3; 8), C (4; 7), D (–2; –8), E (–3; –9).
23. Постройте треугольники по координатам вершин:
1)
2)
24. Постройте четырёхугольники по координатам
DCBA
1)
2)
25. Вставьте пропущенные слова и символы:
Числовой прямой называется прямая, у которой есть: –
Каждому числу ___________________ только одна
CBA ;
1;1,2;8,5;4 CBA
2;4,2;3,4;5
.
4;7,5;5,6;10,8;3
;
0;0,1;9,5;8,3;1 OCBA .
Дополнительные задания
1. Попытаемся доказать, что 3 = 4. Рассмотрим
22
7
3
47
2
очевидное равенство
квадратный корень из каждой части равенства, получим
7
3
2
7
; 3 = 4. Где ошибка?
4
2
7
4
. Извлекая
2
2. Попытаемся доказать, что 3 = 7. Из чисел 7 и 3
вычтем по 5. Получим -2 = 2. Возведем эти числа в квадрат.
Тогда 4 = 4. Значит, должны быть равны и исходные числа:
3 = 7. Где ошибка?
Рисунки по координатам
По заданным координатам точек необходимо построить
на координатной плоскости изображение. При этом точки,
как правило, соединяют последовательно плавной линией
Для выполнения таких заданий необходимо иметь бумагу в
клеточку. За единичный отрезок надо взять длину одной
клеточки.
3. Построить фигуру по заданным точкам:
1) «Черешня» – (-7,5; -5), (-10; -4), (-11; -2), (-10; 1),
(-8,5; 1,5), (-7; 1), (-6; 0,5), (-2; 3), (3; 6), (0; 6), (-5; 7),
(-10; 10), (-7; 11), (-2; 12), (0; 12), (3; 11), (5; 9), (8; 7), (9; 6,5),
(11; 7), (11, 6), (8; 6), (6; 4), (4; 0), (4; -6), (5; -5,5), (7; -6),
(7,5; -8), (7; -10), (4; -11), (1; -10), (0; -8), (1; -6), (2; -5,5);
(3,5; -6), (3,5; 0), (4; 2), (5; 4), (7; 6), (6; 6), (4; 4), (0; 0),
(-2,5; -4), (-1; -4,5), (-0,5; -6), (-1; -8), (-2; -9), (-4; -9,5), (-6; -9),
(-8; -6), (-7; -4), (-5; -3), (-3; -4), (-2; -2), (0; 1), (5; 6), (4; 6),
(2; 5), (-1; 3), (-4; 1), (-5,5; 0), (-5; 0), (-4; -1), (-4; -2), (-4,5; -3).
2) «Петух» – (1; 5), (1,5; 4), (2; 4,5), (2,5; 4), (3; 4,5),
(3,5; 4), (3,5; 4,5), (5; 4), (4; 5), (3,5; 6), (4; 5,5), (4,5; 5,5),
(4,5; 6,5), (3,5; 7), (4; 7,5), (4,5; 7,5), (4; 8), (3,5; 8), (3,5; 8,5);
(3; 8,5), (3; 9); (2,5; 9,5), (2,5; 9), (2; 9,5), (1,5; 9), (1; 9,5),
(1; 9), (0,5; 9,5), (0; 9), (0,5; 8), (1,5; 7,5), (0,5; 6), (0; 4), (1; 5),
(1; 3), (0; 2), (0,5; 2), (-1; 0), (-1; 4), (-2; 6), (-4; 7), (-7; 6),
(-8,5; 3), (-8; 0), (-7; -4), (-7; -1), (-6; -3,5), (-6; -1), (-5; -3),
(-5; -1), (-4; -2,5), (-4; -1), (-3; -2), (-2; -4), (-0,5; -5), (-1; -6),
(0; -5,5), (0; -6), (-1; -7), (3; -7), (3; -6,5), (1; -6), (0,5; -4,5),
(1; -4), (2,5; -3), (3; -2), (5; 0), (5; 2), (3,5; 4,5). Глаз: (3; 7,5).
48
Уравнение прямой. Система двух линейных
уравнений с двумя переменными
Задания для самоконтроля
1. При каком значении x значения выражений 7x - 2 и
x + 6 равны?
3
2. Решите уравнения:
1) 10x + 9 = 7x; 2) 2 – 3(2x + 2) = 5 – 4x;
3) 9 – 2(–4x + 7) = 7; 4) 1 – 5x = –6x + 8;
5) –x – 2 + 3(x – 3) = 3(4 – x) – 3; 6) –9(8 – 9x) = 4x + 5;
xxx
xxx
12
0
28
xxx
35
25
)1(3,09,9)4(15,0
xx
35
9
; 13)
; 15)
2
2
;
6
32
; 8)
; 11)
4
x
7
;
0
;
7
x
xx
3
8
12
2
1
x
9
3
;
7
7
;
22
)5()1( xx
;
7)
9)
12)
45
2
3
xx
7
6
4
3
8
73
14)
2
4
59
16)
17)
18)
19)
2
5
15
7
6
3
23
7
2
78
4
20)
22)
24)
xx
; 10)
xx
23
34
23
22
1273
20
17
5
34
2
9)2()1(
xx
; 23)
22
15)13()32(
xx
8
xxx
4
4
23
2
xxx
2
1)2()1)(1(
xxx
; 21) –3 + 4 (–7 + 5x) = 9x – 9;
; 25)
x
;
3
3
25
;
x
6
1
;
9
2
8)3()2)(2(
xxx
.
49
3. Решите системы уравнений методом подстановки
или методом сложения:
yx
1)
4)
7)
10) ;
13) ;
16)
19) ;
22) ;
24) ;
26) .
4. Докажите, что система уравнений
имеет решений (
5. Докажите, что системы уравнений имеют решения
(совместны):
yx
yx
312
xy
2490
xy
yx
,224
; 2)
.52
,75
yx
53
2325
yx
yx
1552
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
несовместна).
; 5)
.123
8) ;
;
11) ;
14) ;
183
1365
; 17) ;
1187
4076
852
01162
0243
0137
01754
01425
016531
yx
,13
; 3)
yx
yx
50
yx
yx
832
yx
557
yx
82
yx
yx
yx
yx
yx
yx
20) ;
23) ;
25) ;
.72
,12
; 6)
.1223
9) ;
12) ;
743
432
15) ;
765
112
18) ;
93
75
21) ;
423
yx
yx
yx
yx
yx
yx
455
xy
234
xy
yx
yx
033528
0251512
0102315
0243
yx
,823
;
.74
;
112
335
yx
897
6989
yx
yx
1123
354
yx
yx
43
yx
yx
yx
yx
73
yx
135
1537
2765
не
2062
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]