Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерно-технологическая академия
И. В. МАЛЫШЕВ
Н. В. ПАРШИНА
ПРИКЛАДНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2021
1
2
УДК 630.145:621.37/39(075.8)
ББК 22.314я73
М207
8 8 2021
Рецензенты:
кандидат технических наук, ведущий специалист АО «Калугаприбор»
доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики
Института нанотехнологий, электроники и приборостроения
Малышев, И. В.
М207 Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике : учебное посо-
бие / И. В. Малышев, Н. В. Паршина ; Южный федеральный университет. –
Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2021. – 177 с.
ISBN 978-5-9275-3978-9
В настоящем учебном пособии, состоящем из двух книг, приведён материал, входящий в состав программы курса «Квантовая механика и статистическая физика». В первой части пособия рассматриваются основные положения
квантовой механики и теория колебаний различного типа в объёме кристаллических структур диэлектриков, полупроводников и металлов. Рассмотрены
также кинетические процессы в различных твердотельных кристаллических
структурах, применяемых в полупроводниковой радиоэлектронике.
В учебном пособии также имеются контрольные вопросы для проверки
уровня освоения материала и справочные базовые соотношения операторного
исчисления.
Пособие предназначено также для курсов, изучаемых в бакалаврских
направлениях подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы
связи», но может представлять интерес и для обучающихся на других направлениях.
УДК 630.145:621.37/39(075.8)
ББК 22.314я73
ISBN 978-5-9275-3978-9
© Южный федеральный университет, 2021
© Малышев И. В., Паршина Н. В., 2021
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2021
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………..
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ …………………………………………
6
1.1. Основные уравнения квантовой механики – соотношения
Гейзенберга – Бора …………………………………………………
6
1.2. Применение операторных функций в квантовой механике …
10
1.3. Структуры твердых тел и их молекулярно-энергетические
связи с квантово-механических позиций …………………………...
26
1.4. Основные свойства кристаллических решеток твердых тел и
их пространственные особенности …………………………………
34
1.5. Квантово-механические особенности кристаллической
трансляционной симметрии ………………………………………..
40
2. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ ФОНОННОГО ТИПА В ОБЪЁМЕ
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР ………………………………..
46
2.1. Фононные колебания в кристаллических решетках
молекулярного и ковалентного видов ……………………………..
46
2.2. Решёточная теплоёмкость кристаллов, вызванная фононными
взаимодействиями …………………………………………………...
68
2.3. Получение и анализ уравнения состояния в твердотельных
структурах ……………………………………………………………
74
2.4. Особенность ионных кристаллов и возникновение фононов в
их объемах ……………………………………………………………
78
2.5. Влияние процессов рассеяния в кристаллической решётке на
спектральную характеристику колебаний нейтронов ………………
96
3. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМОНОВ ……………………………
103
3.1. Электронные кинетические эффекты в структурах металлов и
полупроводников и возникновение в них плазменных колебаний
103
3.2. Свойства и особенности длинноволнового диапазона плаз-
монных колебаний. Условие приближения хаотических фаз для
электронной плотности ……………………………………………...
108
3.3. Теоретическое и экспериментальное рассмотрение плазмен-
ных колебаний электронов (плазмонов) в объёме кристаллической
решетки как экранирующий эффект кулоновского взаимодействия
зарядов ………………………………………………………………...
112
4. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ …
117
4
4.1. Основные принципы взаимодействия электронов в объёме
кристалла с периодическими полями ………………………………
117
4.2. Изменчивость эффективной массы электронов в кристалле и
методы её вычисления ………………………………………………
121
4.3. Расчёты параметров состояний электрона при помощи
методов с различными приближениями ……………………………
125
4.4. Процессы вторичного квантования электронных систем ……
136
4.5. Классификация твердых тел по их энергетическим зонным
структурам ……………………………………………………………
142
4.6. Понятия плотности электронных состояний и изоэнергетических поверхностей ………………………………………………...
146
4.7. Электронная статистика в объёме твердых тел ………………..
150
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………..
166
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ………………………………………...
167
ПРИЛОЖЕНИЕ (справочные данные) ……….………………………
170
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………….
175
5
ВВЕДЕНИЕ
В теории квантовой механики основные особенности описания
всех явлений заключаются в оценке причинно-следственных связей, которые могут протекать за очень короткие промежутки времени, независимо от законов классической физики, происходящих в макропространстве, и допускают наличие процессов, связанных с применением совершенно не представимых в данном макромире и описываемых при помощи
специальных функций и параметров.
В развитии теории квантовой механики и статистической обработки результатов измерений, лежащих в основе работ большинства твердотельных полупроводниковых приборов и устройств на их основе, а
также современных оптических и квантовых приборов, лежат работы известных ученных: Э. Ферми, Н. Бора, Л. Ландау, Б. Йоффе и др. Работы
этих ученых дали возможность развить квантово-механическую теорию
также и применительно к структурам, используемым в современной твердотельной электронике.
В настоящем учебном пособии, состоящем из 2-х частей, рассмотрены как основные понятия и функции, описывающие динамические процессы, возникающие в структурах твердых тел, имеющих различную молекулярную организацию, так и применение особых абстрактных процессов для создания квантово-оптических приборов новых типов, используемых в радиоэлектронике.
В первой части учебного пособия изложены как основные особенности твердотельных структур с квантово-механических позиций, так и
основные соотношения, которые используются при этом с применением
математического и операторного подходов. Также рассмотрены особенности возникновения фононных колебаний и взаимодействие их с электронами в объёме различных кристаллических структур. Получены основные соотношения для кинетической и потенциальной энергии электронов при взаимодействии их с периодическими полями в объёме кристалла. Особое внимание уделено особенностям классификации твердых
тел по их энергетическим зонным структурам и поведению эффективной
массы квазичастиц в них.
6
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
1.1. Основные уравнения квантовой механики – соотношения
Гейзенберга − Бора
Как известно, корпускулярно-волновая природа потока частиц света и
взаимодействие его со структурой материи различного вида имеет двойственную природу, что свидетельствует о том, что в таких микрообъектах,
как, например, кристаллическая решетка твердых тел (полупроводников), не
могут применяться законы классической механики и электродинамики.
Рассмотрим простейшие базовые соотношения квантовой механики
на примере движения материальной частицы, имеющей массу m. При этом
в декартовой системе координат () такое движение описывается при
помощи важного параметра – импульса (квазиимпульса) , ,
. Надо
отметить, что в дальнейшем в процессе дрейфа в магнитных полях, имеющих сильные величины напряженности и индуктивности, будет введен параметр эффективной массы m, имеющей значение, отличающееся от классического понятия массы носителя заряда (электрона) и гравитационной
массы (m0 =3,1˟10
-31
кг) и имеющей смысл коэффициента пропорциональ-
ности между квазиимпульсом и дрейфовой скоростью. При этом величина
этого параметра может меняться в очень широких пределах. Это явление
используется при создании дрейфово-диффузионных моделей различных
полупроводников [1].
Таким образом, необходимо учитывать совместные значения всех
параметров с возможностями их измерений, которые также должны учитывать квантовые эффекты.
Принцип Гейзенберга заключается в том, что нахождение микрочастицы в какой-либо точке пространства возможно при нахождении определенных условий, которые не дают возможность измерить её количество
движений или же определить её точную локализацию в системном пространстве импульсов. Он также указал, что те условия, которые могут быть
созданы для точного определения количества движения микрочастицы, не
позволяют найти её местоположение в указанной точке пространства твердого тела.
7
Важно отметить, что особенности квантовых эффектов проявля-
ются, в частности, при взаимодействии микрочастицы с квантами света.
Сам же фотон (частица света, характеризующаяся волновыми параметрами) является носителем энергии и количества движения. Так, основными
тремя параметрами, характеризующими волновые свойства фотона, явля-
ются – длина волны (с − скорость света, − частота; сама частота
может быть определена как угловая частота , а также параметр,
характеризующий распространение волны, – волновой вектор , имеющий
по абсолютному значению величину
.
Энергия фотона зависит от постоянной планка h ():
(1.1)
и определяется в виде соотношения
,
. (1.2)
Из последнего уравнения следует, что с уменьшением длины волны
света будет происходить увеличение параметра , что является благоприятным условием для определения координаты микрочастицы. Из этого
также следует, что поток фотонов, имеющих какое-то большое значение
энергии и способных придать частице больший импульс, будет нарушать
локализацию этой частицы в импульсном пространстве. При этом малая
энергия фотона будет свидетельствовать о большой длине волны. Отсюда
следует, что с уменьшением точности определения параметров частицы в
декартовой системе координат пространства будет наблюдаться расширение диапазона дифракционных полос.
Данные уравнения описывают корпускулярные и волновые эффекты, которые имеет фотон света, поскольку в их правых частях имеются
параметры и k, которые могут быть найдены из параметров интерферен-
ционных процессов, а в левой части этих уравнений − параметры и
которые определяют корпускулярное представление фотона через представление его в виде частицы.
Указанные соотношения (1.1) и (1.2) описывают эффект корпуску-
лярно-волнового дуализма, который является общим явлением, характер-
ным не только для фотонов, но и для большинства микрочастиц (квазичастиц), находящихся в объеме твердого тела. Это эффект в волновой природе
8
различных микрочастиц материального мира был открыт и развит де Бройлем, который экспериментально подтвердил данную теорию, обнаружив эффект дифракции электронов при прохождении их потока через небольшое
отверстие в листе бумаги. В дальнейшем эта теория была развита Гейзенбергом, который сформулировал ограниченность способности проведения измерений нахождения частицы в объеме пространства твердого тела (или иного
пространства) в виде следующих неравенств:
, , (1.3)
где параметры , , определяют микроразмеры областей нахождения
частицы в декартовом пространстве {, , z}, а параметры , ,
представляют собой величины микрообластей нахождения этой частицы в
импульсной системе координат , ,
.
Соотношения (1.3) являются вторым основным постулатом кванто-
вой механики и носят название неравенств Гейзенберга или принципа не-
определенности Гейзенберга, подразумевая под неопределённостью в па-
раметрах {, , } и в соответствующих им параметрах импульса
{,,
} значение величины, которая определяет области нахожде-
ния микрочастицы в приведенных системах координат пространства твердого тела.
Эти соотношения могут быть дополнены уравнением
, (1.4)
которое также характеризует неопределенность в изменении энергии микрочастицы ( ) с неопределенностью во временном моменте ∆t, при ко-
тором произошло данное изменение энергии.
Это уравнение имеет название соотношения Гейзенберга – Бора и
характеризует такой важный эффект, как невозможность точной временной локализации во времени процесса изменения энергии.
В случае макроскопического рассмотрения этих принципов и малости постоянной Планка можно обнаружить его абсолютную применимость
для этого случая. Важность полученных соотношений (1.3) и (1.4) будет
показана ниже при рассмотрении квантовых процессов, происходящих в
объёмах твердых тел и при исследованиях приборов, которые имеют дело
со структурами атомных объектов.
9
Таким образом, все возможности исследования квантово-механиче-
ских процессов должны основываться на классических абстракциях при
учёте вышеуказанных соотношений (1.1)−(1.4).
Важно помнить, что при исследовании и наблюдении квантово-меха-
нических процессов необходимо учитывать тот факт, что эти процессы не
были обнаружены или зарегистрированы приборами в явном виде. Это следует из самой сути принципов неопределенности (1.3)–(1.4). Однако эти процессы могут быть учтены с применением различных операторных функций.
При этом могут быть использованы новые методы нахождения результатов
взаимодействия микрообъектов и микрочастиц с применением специальных
измерительных приборов, что в данной теории определяется понятием относительности средств наблюдений и что вытекает из понятий относительности в системе отчета. Это даёт возможность применения теории линейных
операторов, теории групп и других материальных теорий, получения возможности применения вышеуказанного метода к задачам квантовой физики,
а также дать ответ на поведение большого числа фундаментальных свойств
твердого тела, которые не могли быть объяснены на основе классических
представлений. Кроме того, такой подход даёт возможность для теоретического расчета величин, обнаруженных опытным путем, таких как частоты
атомных спектров и другие [2].
Следующими важными элементами, которые используются для опи-
сания микрообъекта, является понятие вероятности, из чего вытекает понятие потенциальной возможности. Физически эти процессы, происходящие
внутри микрообъекта, можно интерпретировать как потенциальные возможности результатов, полученных на начальном опыте и реализуемых в проверочном опыте. Таким образом, при такой опытной проверке происходит распределение вероятности по какому-либо из известных статических законов [1]. Из теории вероятности известно, что распределение результатов измерений могут подчиняться одному из нескольких законов относительной
величины математического ожидания. Известный Гауссовский (нормальный) закон распределения является наиболее статистически удобным для обработки результатов на заданном доверительном интервале. Основным параметром в такой теории является также величина дисперсии (). Итак, квантово-механическая и квантово-статистическая теории процессов в твердых
телах имеют перед собой задачи нахождения основных параметров
10
носителей и их взаимодействия со структурами твердых тел, которые
должны характеризовать первоначальное состояние всей системы, чтобы из
полученных измерений возможно было определить распределение вероятностей для конкретного типа итогового опыта (особенно благоприятен нормальный тип распределения этих вероятностей).
1.2. Применение операторных функций в квантовой механике
Для атомных систем, которые описывают структуру твердых тел,
Н. Бор определил два основных постулата. Первый из них предполагает
наличие стационарных состояний атомных систем, которые не являются
поглощающими или излучающими энергию. При этом он определил дискретный ряд уровней энергии {1, 2, ..., п, ...}, которые могут иметь конкретные атомные системы.
Из второго постулата следует монохроматичность (дискретность
длины волны излучения) при образовании излучения, полученного в результате испускания или поглощения кванта света, образуемого при переходе с
энергетического уровня на уровень
, согласно
Характерно, что эти постулаты были подтверждены опытным путём,
но сильно противоречат теориям классической механики и электродинамики. В связи с этим возникла потребность учесть эти постулаты Бора с
классической теорией квантовой механики. Эта задача имеет в своих понятиях априори определенных стационарных состояний атомов и их структур, которые характеризуются конкретными величинами энергий и являются аналогами тех известных состояний системы, которые решаются в методах математической физики. Таким образом, понятие собственных колебаний решается методом линейных операторов, имеющих конкретное собственное значение [2].
В 1926 г. в своей основной работе Шредингер обосновал принцип
квантования, основанный на определении значений операторов, и впервые
ввёл операторное исчисление в квантово-механическую теорию. Таким образом, в данной теории произошло внедрение соответствия каждого механического параметра определенному конкретному линейному оператору,
что легло в основу учения о линейных операторах [1].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]