Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
4.7.
151
состояния, у которых энергия меньше или равна энергии Ферми
. Эти
уровни отсчитываются от дна энергетической зоны. Все состояния с большей
энергией свободны и не заполнены. Такое электронное состояние данной системы называется полностью вырожденным состоянием. Когда эта система
из N электронов при температуре T находится в тепловом равновесии, то
электроны в зоне проводимости подчиняются закону распределения по энергетическим состояниям согласно функции распределения Ферми – Дирака:
. (4.61)
Эта функция определяет среднее количество электронов, находя-
щихся в одном состоянии и имеющих энергию
(отсчёт энергии происходит от дна зоны проводимости). Параметр называется химическим
потенциалом и имеет размерность энергии (ведет отчёт по своим значениям от дна зоны проводимости).
Этот параметр определяется из условия нормировки распределения
на полное число электронов:
. (4.62)
В случае полного вырождения, когда T → 0, функция (4.61)
будет равной единице (для всех значений
< ) и будет равна нулю при
> .
Следовательно, при T = 0 химический потенциал электронного газа
будет совпадать с уровнем энергии Ферми. В случае, когда T ≠ 0, соотно-
шение (4.62) для
будет определять как неявную функцию зависимости
количества электронов
и температуры T.
Обычно для определения явного значения химического потенциала
необходимо в соотношении (4.62) перейти к интегральной форме:
(4.63)
где – плотность состояний в энергетической шкале, которая для приближения изотропной эффективной массы будет определяться из соотношения:
(4.64)
152
Подставляя это уравнение в (4.63), можно определить функцию
числа электронов
в виде равенства
(4.65)
В соотношении (4.65) F(x) определяется как
F(x) ≡
.
В случае полного вырождения электронного газа (когда T → 0):
F(
) ≡
,
откуда следует:
(4.66)
Видно, что чем больше плотность электронов и меньше их эффек-
тивная масса, тем больше будет энергия Ферми. Надо помнить, что в ме-
таллах, где энергия Ферми для электронов проводимости 3−5 эВ, ве-
личина которой настолько больше средней тепловой энергии при комнат-
ных ( ≈ 0, 03 эВ) и более низких температурах, функция распределения
будет независимой от этой температуры, так как
. Эти
случаи определяют как вырожденные состояния системы электронов.
А температура, соответствующая =
, называется температурой вы-
рождения [4, 15].
Поскольку энергия электронного газа в общем случае определяется
соотношением
, (4.67)
то для случая полного вырождении (T → 0) довольно несложно вычислить
интеграл (4.67).
В условиях такого сильного вырождения можно пренебречь зависи-
мостью энергии от температуры и получить
(4.68)
И все же это выражение не даёт явного представления расчётов за-
висимости теплоёмкости электронного газа от температуры.
4.7.
153
Поэтому для нахождения
из соотношений (4.63) и (4.67) для сред-
него числа частиц и энергии электронного газа, в приближении малости
параметра разложения величины / /<< 1, используют некото-
рые преобразования, которые рассмотрим ниже.
В приближении закона дисперсии k
2
и в случае справедливо-
сти (4.64) для плотности электронных состояний нахождения
из
(4.63) и (4.67), вводят (с = 1/2 для и = 3/2 для
) интегралы вида
. (4.69)
Проводя интегрирования по частям [10], получается
(4.70)
Переходя к предельным значениям этого соотношения, первое слага-
емое этого равенства будет равно нулю, а второе слагаемое записывается как
(4.71)
и
Вторая функциональная зависимость (4.71) не равна нулю только в
области узкого диапазона энергий шириной порядка близи энергии
Ферми (∂/∂ε – чётная функция аргумента).
Если ввести переменную величину , можно преобра-
зовать интеграл (4.71) в виде
(4.72)
Поскольку при полном вырождении в рассмотрение берется область
низких температур, то нижний предел этого интеграла можно заменить на
− ∞. В тех областях функции (4.72), когда ∂/∂ε ± 0 (≈ ), параметр будет
иметь очень малое значение. Отсюда следует, что можно величину
, после разложения в ряд по аргументу x, записать в виде
154
(4.73)
Второй подынтегральный сомножитель (4.72) /
пред-
ставляет собой четную функцию от . Это означает, что вклад при = 0 в
интеграл (4.72) от – до будут обеспечивать только чётные степени в
разложении (4.73). Рассматривая далее это соотношение (4.73) [3], для его
первого члена разложения получим
= 1.
Второй член этого разложения − интегральное соотношение, кото-
рое рассчитывается по частям и в результате даст уравнение
. (4.74)
(
– известные справочные табулированные числа Бернулли: B1 = 1/6,
B2 = 1/30, B3 = 1/42, B4= 1/30 …). В этом соотношении учитываем только
несколько первых членов, что даст для интеграла (4.72)
. (4.75)
Теперь можно использовать этот интеграл для нахождения уравне-
ния для среднего числа электронов:
, (4.76)
. (4.77)
Если воспользоваться приближенным равенством 2≈ 0, то
температурная поправка к химическому потенциалу записывается в виде
,
или, полагая µ
0 =
. (4.78)
Это соотношение определяет зависимость химического потенциала
от температуры и плотности частиц. Полагая = 3/2, можно определить
соотношение для внутренней энергии электронного газа
4.7.
155
. (4.79)
А после использования соотношения (4.78), получим
(4.80)
Эти параметры позволяют определить теплоёмкость ферми-газа
. (4.81)
Для электронного газа будет характерна линейная температурная за-
висимость этой теплоёмкости вблизи T = 0.
Электронный газ в объёмах различных металлов характеризуется
постоянными значениями температур вырождения. Так, типичные величины этого параметра для некоторых металлов имеют значения: Li: TF =
= 4,84˟104 К; Na: TF = 3,3˟104 K; Cu: TF = 8,2 ˟104 K; Ag: TF = 6,4 ˟104K;
Au: TF = 6,4 ˟ 104K.
Видно, что величины этих температур очень высоки. Это означает,
что электронный газ является сильно вырожденным при комнатных температурах и выше.
Соотношение для электронной теплоёмкости металлов (как следует
из экспериментов, она является очень малой величиной), представляет собой прямо пропорциональное соотношение C
V
10−4
. При нор-
мальной температуре она вносит очень малый вклад в теплоёмкость всего
кристалла.
Несмотря на то, что электронная теплоёмкость будет меньше клас-
сической теплоемкости всей решетки, она может стать больше решеточной
теплоёмкости [10] при достаточно низких температурах T < 10 K, когда
C
T
3
, а C
T.
Возникает вопрос, если идеальная модель ферми-газа хорошо опи-
сывает электронный газ в металлах, почему газ не является идеальным,
если электроны, согласно этой модели, как заряженные квазичастицы взаимодействуют друг с другом благодаря кулоновским силам? На это можно
сказать, что электроны, окруженные поляризационными облаками при взаимодействии друг с другом, не испытывают это кулоновское взаимодействие из-за его экранирования этими облаками. Отсюда следует вывод, что
156
электронный газ состоит из не взаимодействующиx друг с другом независимых квазичастиц – электронов. Это важный вывод, лежащий в основе
всех дальнейших рассмотрений.
Рассмотрим применение полученных соотношений для статистического описания энергетических состояний электронов в полупроводниках
и полуметаллах. В полупроводниковых кристаллах энергия Ферми, имеющая наибольшее значение, совпадает с энергией верхнего уровня валентной зоны при 0 К, а зона проводимости свободна от электронов при
этой температуре. В этой зоне, при комнатной температуре, обычная концентрация плотности электронов равна 1011−1015 см-3 и если бы эта концентрация была бы постоянной при понижении температуры, то этим электронам соответствовали бы энергии, расположенные на уровне энергии Ферми
относительно уровня дна зоны проводимости. Поэтому электроны в зоне
проводимости полупроводников не могут соответствовать вырожденному
состоянию при комнатной температуре.
При рассмотрении сильно легированных полупроводников и полуметаллов плотность электронов меняется пропорционально от концентрации
примеси: 1018−1021 см-3. Когда будет выполняться равенство N
e
/ V 10
19
см-3,
уровень энергии Ферми будет приблизительно равным уровню средней теп-
ловой энергии, соответствующей комнатной температуре (0,03 эВ).
При этом состояние системы будет занимать полувырожденное состояние,
т.е. состоянию между вырожденным и невырожденным состояниями. Ниже
уровня Ферми при достаточно использовать соотношения (4.76),
(4.78), (4.80) и (4.81).
При рассмотрении металлов нужно учитывать, что электронный газ
при комнатной температуре, когда k
B
T 0,03 эВ, будет вырожденным и при
этом химический потенциал будет независимым от температуры f(T).
Кроме того, он будет совпадать с уровнем энергии Ферми.
В случае полуметаллов и полупроводников имеет место отсутствие
вырождения при комнатной температуре и зависимость f(T) значительно влияет на энергетическое распределение. В невырожденном состоянии эти вещества имеют частично заполненные энергетические уровни,
превышающие уровень Ферми. Иначе говоря, при для невырожден-
ных состояний электронного газа, будет справедливо равенство
4.7.
157
(4.82)
что удовлетворяет неравенству
. (4.83)
Отсюда следует, что в металлах функция распределения для
случая отсутствия вырождения, будет совпадать с функцие распределения
Максвелла − Больцмана [3]:
(4.84)
Подстановка (4.84) в (4.63) даст основные соотношения:
(4.85)
Электронный химический потенциал , который отсчитывается от
дна зоны проводимости, будет, в отсутствии вырождений, равен
(4.86)
Следовательно, при отсутствии вырождения, возникновение этого
отрицательного значения в (4.86) может быть объяснено рядом вышеизложенных причин.
Из соотношения (4.84) при 0 К будет иметь место равенство ,
когда
=1/2. В этом же случае отсутствия вырождения электронного
газа, когда k
B
T
для всех положительных значений , будет выполняться
условие 1. Поведение функции
в области её отрицательных
значений аргумента объясняется тем, что при отрицательных значениях па-
раметров и будет обеспечиваться равенство
= 1/2.
При введении обозначений:– ширина запрещённой зоны и
–
энергетический уровень дырок, понятно, что при отсчёте энергии «вниз»
от уровня «дна» зоны проводимости в направлении к валентной зоне, вели-
чина этого параметра
будет отрицательной и определяться согласно со-
отношению
(4.87)
(
> 0 – эффективная масса дырки).
158
Дырки в валентной зоне будут иметь энергетические состояния в
соответствии с функцией распределения относительно волнового параметра k [3]
(4.88)
Это соотношение в отсутствии вырождения, когда k
B
T
F
, можно
записать в виде
(4.89)
Дырочная плотность состояний в валентной зоне, по аналогии с
электронной плотностью состояний в зоне проводимости, может быть
найдена из уравнения
(4.90)
Тогда в валентной зоне полное количество дырок определяется из
соотношения
(4.91)
2V(
/ 2π ћ
2 )3/2
.
В беспримесных полупроводниках (имеющих собственную проводимость), согласно принципу электронейтральности, ранее определено, что
количество электронов в зоне проводимости будет совпадать с количеством дырок в валентной зоне. Из этого равенства следует, что полный химический потенциал электронов и дырок в полупроводнике равен
. (4.92)
При невысоких температурах, в этой сумме (4.92), второе слагаемое
будет меньше первого, из чего следует приближённое равенство
(4.93)
Из этого можно заключить, что в чистых (беспримесных) полупроводниках химический потенциал электронов в зоне проводимости и дырок
в валентной зоне находится почти в центре запрещённой зоны. Уровень
Ферми и уровень химического потенциала не совпадают друг с другом.
4.7.
159
Напомним, что уровень Ферми представляет собой энергетическое состояние, которым, при , заканчивается заполнение всех других энергетических состояний, поэтому в чистом полупроводнике уровень Ферми
совпадает с верхней границей валентной зоны. А уровень химического потенциала представляет собой параметр функций распределения Ферми
и
. Совпадение этого уровня с уровнем Ферми будет
иметь место в металлах только при . В этих же структурах при повышении температуры будет < 0 [6]. Это говорит о том, что этот химический уровень расположен в области запрещённых энергий для электронов.
А в беспримесных полупроводниках, как было показано выше, при невысоких температурах химический потенциал расположен около центра запрещённой зоны.
Подстановка (4.93) в (4.85) для полного числа электронов и полного
числа дырок даст уравнение для полного числа электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне:
(4.94)
Рассмотрим полупроводники, у которых в запрещённой зоне располагаются дискретные уровни примесных атомов. Пусть полупроводник
имеет донорную примесь. Тогда примесные атомы образуют в объёме кристалла энергетические уровни d, расположенные в запрещённой зоне под
нижней границей зоны проводимости d g. В таком полупроводнике зона
проводимости заполняется электронами как за счёт переброса электронов
из валентной зоны, так и за счёт их переброса из донорных уровней.
Условие электронейтральности предполагает равенство
, (4.95)
где Ne – количество электронов в зоне проводимости; Nd количество элек-
тронов в валентной зоне; nd − количество однократно ионизированных атомов примеси.
Обозначив количество электронов на примесных уровнях донорных
атомов при как
, то при повышении температуры, применяя рас-
пределение Ферми, получим количество электронов:
(4.96)
160
Значит число перешедших в зону проводимости электронов будет
равно
(4.97)
Проводя замену слагаемых в (4.95) = +, получаем уравне-
ние в трансцендентной форме для аргумента ‒ химического потенциала :
. (4.98)
В случае температурной недостаточности для переноса электронов
из валентной зоны в зону проводимости, т.е. для выполнения неравенства
(4.99)
левая часть равенства (4.98) может быть заменена на соотношение
(4.100)
Решение (4.100) относительно параметра химического потенциала
даст:
(4.101)
В области низких температур (вблизи абсолютного нуля), второе
подкоренное слагаемое будет гораздо больше первого, что упрощает вид
этого уравнения:
(4.102)
Видно, что при абсолютном нуле энергетический уровень химического потенциала будет расположен посередине области расположенной
между нижней границей зоны проводимости (дна) и донорными уровнями.
Из (4.101) видно, что на первом этапе увеличения температуры будет иметь
место увеличение энергетического уровня химического потенциала. Но
при дальнейшем росте температуры, когда второе подкоренное слагаемое
в (4.101) становится меньше единицы, происходит снижение этого уровня
в зону уровней донорной примеси.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]