Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
51
состояние всего кристалла может быть представлено нулевой функцией
|0 >, а
.
При этом энергия кристалла может быть записана в виде
. (2.16)
Эта энергия является энергией нулевых колебаний и имеет самую
малую величину.
Для состояния |
кристалл будет иметь энергию, записываемую
как
(2.17)
Итак, для молекулярной или ковалентной кристаллической решеток
получена система энергетических элементарных возбуждений, которая зависит от колебания решетки и имеет энергетическое представление в виде
= ), для некоторых состояний со своими волновыми векторами
и значениями квазиимпульсов
. Как известно [3,7,10], такие колебательные возбуждения называются бозонами (согласно статистической классификации распределений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна), а их количе-
ство для заданного значения параметра
определяется количеством запол-
нений
. Эти числа
могут иметь любые вещественные значения.
Элементарные колебательные возбуждения указанного типа называ-
ются фононами. Состояние системы с
фононами относительно функции
|
определяется как следствие операторного воздействия оператора
на функции нулевого состояния:
(2.18)
На рис. 2.2. изображена частотная зависимость
= =
|
|.
Такая зависимость называется законом дисперсии, зная которую
относительно фононов возможно найти значения фазовой
и групповой
скоростей для элементарных возбуждений движущихся фононов [9]:
,
52
. (2.19)
-
(k)
π (γ/m)
1/2
2 (γ/m)
1/2
0
ka
Рис. 2.2. Иллюстрация закона дисперсии акустических фононов
в одномерной цепочке атомов
Очевидно, что в случае нахождения волнового вектора вблизи гра-
ницы первой зоны Бриллюэна, когда ka → (или → 2a), из (2.19) будет
видно, что фазовая скорость
→ (2a/ )(
, а групповая скорость
→ 0.
Возбуждения с большой длинной волны представляет собой класс
упругих волн в твердотельной среде. Они имеют =
1 и имеют
прямо пропорциональный вид закона дисперсии ka . Ско-
рость группового перемещения звуковых упругих колебаний находится в
виде
=
. Если в рассматриваемом случае = m/a – плотность кристал-
лической структуры и учёте параметра − модуля Юнга, представленного в
виде дроби, в котором в числителе находится параметр силы упругости, а
в знаменателе относительная сила деформации вызвавшая эту силу и которая равна
n
)/ (n
1) /a) = Отсюда можно получить
= a
и k) k
при ka << 1.
Такой вид возбуждений кристаллической решетки называется возбуждением с акустическими фононами, поскольку данный вид возбуждения, ко-
гда их пределом является ka << 1, происходит совпадение таких колебаний с
колебаниями акустических волн, распространяемых в упругих средах.
53
Рассмотрим фононную теорию применительно к элементарной
ячейке, содержащей два атома в рамках одномерной модели.
Пусть это будут два нейтральных атома, которые будут иметь массы
m1 и m2 соответственно, а размещение их в элементарной ячейке одномер-
ной решетки сгруппировано в соответствии с вектором = n
.
Из рис. 2.3, на котором указана такая одномерная цепочка, видно,
что из стационарных положений равновесия 0 и a/2 внутри одиночной элементарной ячейки, имеющей порядковый номер n по аналогии с предыдущей моделью, будем обозначать как
n,1
и
n,2
(рис. 2.3).
m1
m2
a
Рис. 2.3. Одномерная двухатомная цепочка элементарной ячейки
В рамках последовательности расчёта, предложенного ранее, будем
определять кинетическую и потенциальную энергии для двухатомной элементарной ячейки.
Так, кинетическая энергия для таких атомных смещений при α = 1, 2
будет равна
. (2.20)
В случае рассмотрения взаимосвязи рядом стоящих атомов потенциальная энергия имеет параболический характер:
(2.21)
Здесь также использован параметр , который представляет собой
параметр упругости (коэффициент упругости), определяющий силы межатомного взаимодействия. В этом случае также для N числа одиночных эле-
ментарных ячеек в объёме кристалла граничные условия будут иметь цик-
лический характер и будут иметь вид
=
, где N – число элемен-
тарных ячеек в кристалле. При этом перейдем от значения смещения
к
обобщенным коллективным координатным смещениям
посред-
ством следующей замены:
. (2.22)
54
В этом уравнении в качестве собственных векторов динамической
функциональной матрицы выступают новые вещественные функции
= (как и ранее
является приведённым волновым вектором,
имеющим количество N -значений
в соответствии с пре-
дельными значениями: = 0, ±1, ..., ± N/2, и − π ≤ < π).
Кроме того, равенство
=
, справедливо поскольку функция
является вещественным числом. Таким образом, для кинетической и
потенциальной энергий, после подстановки (2.22) в (2.20) и (2.21) и применения уравнения для дельта-функции
, получаются
следующие соотношения:
. (2.23)
В этих соотношениях параметры
представляют собой так
называемые силовые матрицы, которые имеют вид вышеперечисленных
матричных элементов:
D
11
(
, D
22
(
,
D
12
( D21(
=
(1+exp ())
Запишем уравнения Лагранжа для функции L = T – V в виде
= 0, где
=
.
Это уравнение Лагранжа может быть записано как
. (2.24)
Функции неизвестны. Таким образом, в результате преобразова-
ний уравнение Лагранжа распадается на систему, состоящую из двух диффе-
ренциальных уравнений, которая после подстановки
=
будет
линеаризована и превратится в систему линейных однородных алгебраиче-
ских уравнений относительно функций (которые также неизвестны):
(2.25)
Следовательно, решение системы уравнения (2.24) для
имеет решение, если будет равен 0 определитель:
55
(2.26)
Видно, что это соотношение представляет собой характеристическое уравнение второго порядка относительно параметра нормальной ча-
стоты колебаний , имеющих два значения (для двух атомов):
. (2.27)
В этом соотношении для двух основных параметров s = 1, 2 (два
атома) и параметра , определяющего приведенную массу двух соседних
атомов = /(
), будет соответственно получено два решения,
указанных ниже. Из (2.27) видно, что функции имеют вид, который
называют частотами двух ветвей колебаний. В случае, когда 1, значе-
ние этих частотных ветвей могут быть записаны в виде соотношений:
,
. (2.28)
Как и в ранее рассмотренном случае одномерной модели одноатом-
ной элементарной ячейки, в соотношении (2.28) зависимость будет
совпадать с частотой акустических волн при условии равенства массы
атома сумме масс и . Эту зависимость принято называть аку-
стической ветвью.
Второе уравнение (2.28), определяющее функцию , описывает
колебания, имеющие частоты, которые при
→ 0 не будут стремиться к
нулю (что реализуется в центре зоны Бриллюэна, когда
= 0). Вид такого
соотношения принято называть оптической ветвью колебаний [9].
В представлении общих масс (рис. 2.3), когда ≥
, при условии
k = (на границе зоны Бриллюэна) будут иметь место значения частот:
= 2
,
= 2
. Эти дисперсионные характеристики
легко можно представит в виде двух ветвей колебаний в графиче-
ском виде, приведённых на рис. 2.4.
56
-
s
2(/m1)
1/2
0
ka
2(/)
1/2
2(/m2)
1/2
Рис. 2.4. Дисперсионные характеристики двух решений (2.28) для
двухатомной элементарной ячейки одномерного кристалла
После подставки дисперсионных характеристик в соотноше-
ние (2.25) можно записать соотношение
, (2.29)
из которого можно найти неизвестные функции
.
Эти функции имеют ортогональную ориентацию относительно друг
друга [10]. Из условия их нахождения, согласно (2.29) (с точностью до постоянного множителя), можно воспользоваться условием нормировки
=
. Следовательно, в качестве ортогональных нормальных
координат для колебаний являются функции
.
После подстановки в (2.29) для
уравнений (2.23), при условии
1, определим соотношение:
. (2.30)
Поскольку
для первой акустической ветви колебаний
(2.28) (когда
получается, что атомы, расположенные внутри данной
элементарной ячейки (рис.2.3), совершают колебания в одинаковом направлении. Однако рассмотрение второй (оптической ветви колебаний) (когда
57
свидетельствует о том, что в рамках такой элементарной ячейки
имеют место противонаправленные колебания. Указанные особенности этих
ветвей могут быть представлены в виде зависимостей рис. 2.5, где приведены
графики для акустической (верхняя кривая) и оптической (нижняя кривая)
ветвей вышеописанных колебаний в пределах зоны Бриллюэна.
/a
0
q
1
m2 /m1
/a
n,1 / n,2
Рис. 2.5. Зависимость отношения амплитуд смещения атомов
от волнового вектора
в одномерном кристалле двухатомной элементарной
ячейки в одномерном кристалле
Более детальное рассмотрение понятий этих колебаний могут про-
яснить рис. 2.6, где приведены векторные колебания таких атомов для
этих двух ветвей при k = 0 и k = .
В отличие от атомарных кристаллов ионные кристаллы состоят из
аналогичных элементарных ячеек, с той разницей, что в них входят элементы с противоположными зарядами. В связи с этим, если у элементарной ячейки происходит изменение дипольного момента, то с ним будут
связаны также и оптические колебания. От этого изменения будут зависеть и изменения оптических свойств кристалла для оптической ветви колебаний (вторая) [3].
Таким образом, кинетическую и потенциальную энергии для двух
групп нормальных координат, которые зависят от функций
, записы-
вают как
,
58
(2.31)
a (q = 0, )
(q = 0, )
(q =
, )
(q =
, )
Рис. 2.6. Графическое изображение смещений атомов цепочки для
акустической (а, в) и оптической (б, г) ветвей колебаний
при k = 0 (а, б) и k = π/a (в, г)
Как и ранее, от значения обобщенной координаты
будет зави-
сеть также параметр, определяющий обобщенный импульс
=
=
и откуда получим функцию Гамильтона [11]:
(2.32)
После проведения перехода к параметрам обобщенных координат и
импульсов в операторном виде получим соотношения:
. (2.33)
При этом операторы
и
могут обладать перестановочными
свойствами:
[
,
] = iħ
, [
,
] = [
,
] = 0.
Операторы, которые описывают свойства образования и аннигиля-
ции фононов, также должны обладать перестановочным свойствами:
[
,
] =
, [
,
] = [
,
] = 0.
При этом оператор Гамильтона будет представлен как
59
. (2.34)
Перемещение атомов в ковалентных и молекулярных кристаллах от
их равновесных стационарных положений записывается в операторном
виде как
). (2.35)
В трёхмерных кристаллах = 1,2,3 для вектора r
n
– трёхкомпонент-
ного вектора смещения атома из узла одноатомной ячейки в моноатомных
кристаллах. Вектор решетки тогда будет равен = +
+
Для
такой трехмерной структуры соотношение для кинетической энергии будет
иметь вид
, (2.36)
где m – масса атомов в объёме элементарной ячейки решётки.
С ростом межатомного расстояния будет расти и количество соседних атомов, окружающих каждый отдельный атом для трёхмерной кристаллической решётки, причём этот рост будет пропорционален квадрату
величины указанного расстояния [9, 12]. В этой связи нельзя при расчётах
отдельно учитывать межатомные силы между отдельными ближайшими
атомами решётки, поэтому потенциальная энергия V трёхмерного кристалла в условиях гармонического приближения запишется как
(2.37)
В этом соотношении параметры тензора 2-го ранга V должны соответствовать выполнению соотношений:
,
= 0. (2.38)
Второе условие в (2.38) объясняется тем, что равнодействующая
суммарная сила, которая воздействует на отдельно взятый атом со стороны
соседних атомов в равновесном состоянии, будет равна нулю. Она будет
определяться для всей целой кристаллической структуры как
=
. Выполним операцию, применимую к смещению
кристалла по этому принципу при
=
и
=
60
= 0. Для выполнения этого равенства при любых значениях
должны быть равны нулю вторые сомножители, стоящие в сумме
. Граничные условия будем полагать обладающими циклич-
ными свойствами, что означает наличие в основной области кристаллической структуры количества N = N1N2N3 ячеек, для которых выполняется пе-
реход
=
. Это даёт определение множества дискретных значе-
ний компонент волнового вектора
= , где
= {0 ± 1, …±
и
–π ≤< π.
Обобщим эти выводы для перехода к коллективным объёмным ар-
гументам
:
(2.39)
При этом для
= введенный параметр
также обла-
дает свойством симметрии:
=
. После учёта таких свойств получаем
соотношения для компонент энергии в трёхмерном кристалле в виде
(2.40)
Здесь параметры
=
=
=
представляют собой элементы вышерассмотренной силовой матрицы.
Для функции Лагранжа L = T – V получим уравнение Лагранжа в
виде
= 0, в котором параметры
=
определя-
ются из соотношения
. (2.41)
Система уравнений (2.41) будет представлять собой три алгебраиче-
ских уравнений с аргументами , которые в обобщённом виде, при
подстановке
=
, дадут соотношение
. (2.42)
При этом будет иметь место условие существования решений дан-
ной системы в виде характеристического уравнения
. (2.43)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]