Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
1.2.
11
По аналогии со связью аргумента с его функциональным значением = f(), оператор является способом, который даёт возможность для
конкретной функции φвычислить другую функцию:
. (1.5)
При этом он дал определение линейного оператора как оператора,
обладающего линейными свойствами:
, (1.6)
где , , – произвольные известные функции и − произвольно вы-
бранная постоянная.
Этот вид операторов является основным и под словом «оператор»
будем подразумевать линейный оператор.
Постоянными объектами использования операторного исчисления являются как непрерывные функции нескольких переменных (координатная
система), так и прерывные функции, имеющие дискретное значение, такие
как, например, уровень энергии на его энергетической диаграмме. В последнем случае эти переменные применяют либо все значения, либо значения на
определенном интервале. Аргументы же могут иметь как бесконечные, так и
конкретные диапазоны собственных величин. При этом также предполагается, что независимые аргументы являются вещественными, а функции, к которым применяют операторы, могут быть комплексными.
Из этого следует, что важно определить те значения переменных и
аргументов к функциям, которые применяются данным оператором [16].
Основными операторами, которые используются для переноса функций с
непрерывным аргументом , являются операторы умножения и дифференцирования:
,
.
В первом случае умножение на аргумент (переменную x) имеет
двойное операторное значение: как аргумент а также и как оператор
умножения на него этой функции. В операторном исчислении все базовые
операторы, применяемые в разных прикладных областях, сведены в справочнике [16].
Как известно из курса физики, оператор Лапласа, обозначаемый
как , будет реализовывать преобразование
.
12
Существуют также интегрально-определенные линейные операторы:
Lf(x). (1.7)
Для соотношения (1.7) множитель справа является ядром опе-
ратора.
Например, дадим решение уравнения Пуассона: . При усло-
вии задания функции f() во всем пространстве и предположении предельного значения F = 0 (при , , z, стремящимся к бесконечности), решение уравнения Пуассона будет, как известно, определяться формулой
.
Очевидно оператор G имеет ядро, равное
Итак, если из соотношения
(1.8)
при выявленных предельных условиях следует соотношение
, (1.9)
то данные операторы (1.8) и (1.9) определяются как обратные.
В первоначальном примере, определяющем ядро, обратными явля-
ются операторы ∆ и G. В случае, когда аргумент имеет конкретные отдельно определенные значения, существует возможность их перенумерации. Это даёт основание для упрощения процесса расчётов, представив
оператор как функцию целого числа − номера среди выбранного числового ряда.
Любой оператор, который имеет дело с функцией fn (для целого
числа n), как результат его применения к данной функции, можно изобразить в виде соотношения
. (1.10)
Множество значений параметров
определяют как матрицу этого
оператора, полагая, что сам оператор представлен в матричной виде.
1.2.
13
Можно отметить, что соотношение (1.10) аналогично соотношению (1.7), а
матрица
представляет собой ядро.
Одним из важных свойств, которые имеют операторы, применяемые
в квантовой механике, является их возможность создания сопряженных и самосопряженных операторов. Дадим определение этим операторам.
Если какому-либо линейному оператору L можно привести в соот-
ветствие другой определенный оператор
, удовлетворяющий определен-
ному некоторому функциональному уравнению, то такой оператор
счи-
тают «сопряженным» к оператору L. При этом определением такого сопря-
женного оператора
является следующее положение.
Если известны какие-либо функции f и g, у которых существует ряд
общих начальных и функциональных условий и имеющие произвольные
виды, то сопряженный оператор
для независимых и непрерывных аргу-
ментов может быть записан в составе уравнения
, (1.11)
а в случае их прерывности, для функций f и g будет выполняться равенство
. (1.12)
Соотношения (1.11) и (1.12) функции интегрирования и суммирования применяются для всех значений независимых аргументов (переменных),
входящих в заданный диапазон допустимых значений. Интегрирование осу-
ществляется по какому-то из элементов объёма d заданного объема области.
(Комплексная сопряженность величин обозначается чертой сверху.)
Таким образом, общие условия, которые требуется соблюдать для
функций f и g, заключаются в том, что:
− эти функции f и g должны быть сходящимися, т.е. стремящимися к
предельному значению. Только при этом суммы и интегралы (1.11) и (1.12)
будут иметь смысл.
− функции f и g должны в зависимости от вида оператора L удовле-
творять предельным условиям. Это предполагает также равенство начальных граничных условий.
При совпадении оператора L с считается, что L является самосо-
пряженным оператором.
Например, для соотношения (1.10) уравнение (1.12) будет иметь вид
14
(1.13)
Необходимым условием выполнения равенства (1.13) является ра-
венство нулю в каждом из слагаемых произведения
при любых
функциях f и g. Если рассматривается равенство нулю первого сомножителя в (1.13), то можно получить соотношение для матрицы сопряженного оператора в виде
. (1.14)
Аналогичным условием для самосопряженности оператора (1.14)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось только условие для элементов его матрицы:
(1.15)
которая называется Эрмитовой матрицей.
Основной особенностью такой матрицы является то, что в случае
табличного расположения её элементов, когда первый из обозначаемых
значков (индексов) представляет номер строки, а второй − номер столбца,
главная диагональ матрицы представляет вещественные числа, а каждые
два элемента, лежащие симметрично главной диагонали, будут являться
комплексно-сопряженными [2].
Если взять пример, когда мы имеем одну переменную для опера-
тора L с ядром (1.7) и ядро сопряженного оператора
, то
для Эрмитовой матрицы условие сопряженности будет выражено в виде
. (1.16)
Очевидно, что для выполнения этого равенства для любых двух
функций f и g, должно выполняться условие, чтобы хотя бы один из множителей, стоящих слева, равнялся нулю. Для первого сомножителя получим соотношение для ядра сопряженного оператора в виде
. (1.17)
Следовательно, ядро такого сопряженного оператора может быть
найдено из исходного ядра данного оператора путём перестановки аргументов
операторов и переходе к комплексно-сопряженному виду ядра. Аналогично запишем соотношение для самосопряжённости ядер операторов:
1.2.
15
. (1.18)
При наличии нескольких независимых аргументов можно найти
также ядро сопряженного оператора, что в случае ядра оператора G (обрат-
ного оператору Лапласа ∆), это ядро не будет меняться при замене коорди-
нат одних точек ( z) на координаты вторых точек ,, . Следова-
тельно, ядро этого обратного оператора будет вещественным, а этот оператор G − самосопряженным.
Ещё одно свойство для упомянутых видов операторов заключается
в том, что при выполнении условий самосопряжённости обратного оператора, самосопряжённым будет и исходный оператор.
Например, можно доказать при помощи формулы (1.11) выполнение
этого свойства и для оператора Лапласа.
Если функция g* является векторной величиной, то выполняется
условие
(1.19)
Если функции g и f стремятся к нулю при значениях аргументов, стре-
мящихся к бесконечности, то по теореме Гаусса выполняется равенство
(1.20)
Рассмотрим вышеизложенное соотношение на примере уравнения
(1.7) и найдем сопряженный оператор для соотношения
Lf(x). (1.21)
Тогда при f = g = 0 на концах (границах аргумента) − участке (a, b),
получаем соотношение
откуда следует
,
. (1.22)
Очевидно, что в этом случае оператор L не является самосопряжен-
ным. Однако после умножения его на комплексную мнимую постоянную
(i), получаем новый оператор, который является самосопряженным:
. (1.23)
16
Рассмотрим операцию произведения операторов и L.
Это подразумевает собой нахождение оператора, который получен в
результате последовательного применения этих операторов и L. В зависимости от того, какой оператор записан первым в данном произведении,
можно получить два вида операторов: M = KL, N = LK, отличающихся тем,
какой оператор выполняется первым. Это говорит о том, что из-за расположения порядка множителей их произведения (M = KL, N = LK) величины
этих операторов будут различными.
В качестве примера возьмём случай, рассмотренный выше, для операторов K и L (K оператор умножения на x, L – оператор дифференцирования по этому параметру, ( – общий аргумент этих операторов)), тогда:
,
. (1.24)
Получается, что
,
(1.25)
В этом случае KL ≠ LK, из чего следует
.
Очевидно, что разность (LK − KL) представляет собой некий опера-
тор, полученный как результат умножения на единицу: LK − KL = 1.
Из рассмотренных характеристик таких операторов следует свой-
ство коммутативности, которое заключается в том, что произведение опе-
раторов (LK) не зависит от порядка выполнения операции умножения (порядка сомножителей). При этом считается, что операторы имеют коммутативные свойства или свойства переместительности, что полагает то, что
операторы коммутируют друг с другом [1].
Например, оператор дифференцирования по двум независимым переменным будет удовлетворять этому свойству. Определим сопряженный
оператор к произведению M:
M = KL, (1.26)
тогда .
1.2.
17
Откуда следует, при Lf = f .
Введя обозначение
, получим соотношение (
(по определению сопряженности оператора
).
Следовательно, после подстановки вместо его значения, выражен-
ное через
, можно получить:
. (1.27)
Тогда, после сравнения (1.27) с определением сопряжения операто-
ров в виде
, получим
(1.28)
или
. (1.29)
Если вспомнить определение сопряженного оператора, то можно
увидеть для соотношения (1.27) выполнение условий (1.28) и (1.29).
Отсюда следует, что произведение сопряженных операторов, взятых
в обратном порядке, будет эквивалентно оператору, сопряженному к произведению этих операторов. В случае самосопряженности операторов и L, их
произведение не будет соответствовать условию самосопряженности:
.
Однако при выполнении условий переместительности этих самосопряженных операторов и произведение будет самосопряженным
.
Пусть имеем два оператора с ядрами K(x,ξ) и L(x,ξ), тогда
,
.
После выполнения первоначального интегрирования по 1 во втором
уравнении и введении параметра
, (1.30)
второе из этих уравнений можно представить как
. (1.31)
18
Следовательно, произведение данных операторов будет иметь
ядро согласно соотношению (1.30).
В случае, когда аргумент функции является прерывной величиной,
то действие на такую функцию произведения двух операторов может быть
представлено в матричной форме.
Например, если получено соотношение
,
, (1.32)
то полагая, что
, (1.33)
можно определить:
или (1.34)
где
. (1.35)
Соотношения (1.34) и (1.35) дает следующее свойство − умножения
матриц. Это правило заключается в том, что элементы матрицы , имеющие номер – n, умножаются на элементы матрицы L, имеющей номер
столбца i.
Если взять матрицу U, состоящую из множества элементов Uij, которая подчиняется условиям
,
(1.36)
и для которых выполняется условие
, (1.37)
можно, применяя правило умножения матриц, получить из соотношения
(1.35) следующие равенства:
, . (1.38)
В этом соотношении цифра 1 свидетельствует о том, что мы имеем
дело с единичной матрицей.
Выполнение уравнений (1.38) для какой-либо из матриц принято
обозначать унитарной матрицей, а оператор, к которому она относится −
унитарным оператором, который обладает следующим нижеизложенным
свойством.
1.2.
19
Пусть
или
, (1.39)
тогда рассмотрим сумму
g = Uf .
Из равенства (1.36) можно получить соотношение
. (1.40)
Следовательно, сумма (1.40) является унитарной аналогично уни-
тарному оператору.
Из курса высшей математики известно, что в теории операторного
исчисления основным является нахождение и исследование уравнения
(1.41)
В соотношении (1.41) параметр является константой.
В общем случае оператор L считается «нормальным», т.е. при кото-
ром соблюдается равенство
. (1.42)
Как было показано выше, частным случаем нормального оператора
может являться самосопряженный оператор.
Частным случаем соотношения (1.41) может быть линейное однородное уравнение, для которого справедливо равенство нулю неизвестной
функции f = 0. При таких рассмотрениях (1.41) необходимо учитывать ранее рассмотренные предельные условия для функции f, причём однородность этих условий определяется равенством f = 0.
Все вышеперечисленные определения однородности − однородное
уравнение (1.41) при однородных предельных условиях образуют собой
однородную задачу, которая может иметь как одно, так и множество решений [1].
В случае, когда условие однородности (f = 0) не выполняется, при произвольной величине параметра указанная однородная задача может не
иметь решения. Однако при определенных величинах такое решение может
иметь место для каких-либо значений {0, 1, 2, ...} или же для значений этого
параметра, находящегося в каком-либо из конечных интервалов.
Эти величины параметра , при которых решение (1.41) существует,
называют собственными значениями оператора. При этом под собствен-
20
ными функциями понимают полученные при этих значениях решения однородной задачи (часто при рассмотрении теории операторов в математике
можно встретить следующие термины: «характеристические числа» и
«фундаментальные функции», которые являются синонимами вышеизложенных определений).
Множество, состоящее из собственных значений величин конкрет-
ного оператора, обозначают как спектр этого оператора. Причём различают совокупность отдельных единичных собственных значений, которая представляет собой точечный спектр; в случае, когда эти собственные
значения находятся внутри конечного интервала, то говорят о наличии
сплошного спектра.
Точечный спектр собственных функций обладает вышеуказанными
свойствами для суммы и интеграла
имеют решения для всех
величин независимых переменных, являются сходящимися функциями и
имеют в своём решении некоторые конечные величины (для собственных
функций, имеющих сплошной спектр оператора, вышенаписанное соотношение будет стремиться к бесконечности). Для сплошного спектра применение конкретных собственных функций заменяют на применение интегралов на бесконечно малом по параметру , которые берутся на бесконечно
малом диапазоне сплошного спектра.
Особенностью сплошного спектра является то, что вышеуказанная
подстановка данного интеграла вместо функции f даст в результате конечные соотношения.
Существует теорема, о том, что собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Доказательство её можно найти в соответствующей литературе [1, 2] и оно сводится к тому, что, используя соотношения для суммы и интеграла для самосопряженного оператора, проведя
соответствующие преобразования, доказано, что параметр будет иметь
значение, соответствующее вещественному числу. При этом доказано, что
собственное значение этого оператора будет отрицательным.
В квантово-механической теории показано, что собственные значения оператора, которому ставится в соответствие какая-либо механическая
величина или параметр, представляют собой такие значения, которые будут иметь эти величины или параметры в тех заданных условиях, при которых происходит её измерение. Кроме того, существуют ограничения,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]