Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
81
(2.114)
Определим второй параметр
. Согласно определению удельная по-
ляризация в статическом поле среды, имеющей диэлектрическую проницаемость ε
0
, записывается как
.
Сравнивая это выражение с формулой (2.114) и учитывая соотноше-
ние для
, легко получить значения для второго коэффициента пропорци-
ональности
, что позволит ввести их в соотношение для удельной поля-
ризации (2.110) и получить
.
Рассмотрим собственные ионные колебания (без внешних сил) опти-
ческого длинноволнового диапазона, которые имеют волновой вектор
( Поскольку среда считается изотропной, то колебания в продоль-
ном и поперечном направлениях будут описыватьcя параметрами
(по-
перечные) и
(продольные). В предположении временной синхрониза-
ции распространения колебаний в продольном и поперечном направлениях
за счет этих электрических полей
, можно считать, что уравнение движе-
ния для поперечных колебаний, при
= 0, будет иметь вид при замене:
. (2.115)
Следовательно, при отсутствии запаздывания таких взаимодействий
собственные поперечные колебания ионов с частотами t будут обусловлены только силами упругости.
В случае рассмотрения продольных ионных колебаний будет иметь
место параллельность векторных компонентов
,
,
, которые связаны
соотношениями:
,
. (2.116)
В предположении равенства нулю средней плотности электрических
зарядов ch = 0 в кристалле электрических зарядов из базовых электростати-
ческих уравнений div D = 4
ch
, можно найти: div ( + 4π
) = 0. Отсюда
можно выделить для продольных компонент равенство
+ 4π
= 0.
82
Если исключить из соотношения (2.116) параметры
(при взаимной
подстановке), уравнения движения для собственных продольных ионных
колебаний запишутся в виде
. (2.117)
. (2.118)
Следовательно, будет существовать связь между собственными коле-
баниями частотных длинноволновых продольных и поперечных компонент
(для ионных кристаллов) в виде уравнения Лиддена – Сакса − Теллера:
. (2.119)
Пусть ионный кристалл помещен во внешнее переменное поперечное электрическое поле с напряженностью E(t) exp(− ). Рассмотрим
процессы, возникающие как результат вынужденных колебаний ионов элементарной ячейки. Тогда обобщенное уравнение движения ионов представляется как
(2.120)
Если учесть, что =
,то можно получить решение
(2.120) как
. (2.121)
В этом случае, в результате действия внешнего поля с напряженно-
стью
, будет возникать удельная поляризация с коэффициентом поля-
ризации, равным
. (2.122)
Однако диэлектрическая проницаемость является основным параметром (по аналогии со статическим полем предыдущего случая), определяющим коэффициент удельной поляризации:
. (2.123)
Используя ранее полученное соотношения для и
после приравнивая (2.122) и (2.123), получим соотношения для частотно-зависимой диэлектрической проницаемости
83
(2.124)
На рис. 2.10 представлена частотная зависимость диэлектрической
проницаемости ионного кристалла в условиях воздействия переменного электрического поля При этом знаки параметра будут
иметь разные значения в частотном диапазоне ( > 0 при < t и l,
а также < 0 при t < < l).
2
n
2
l
t
n
2
,
, n
2
,
2
0
0
Рис. 2.10. Частотные зависимости диэлектрической проницаемости ионного
кристалла , квадратов показателя преломления n2 и коэффициента поглощения χ 2
Очевидно, что в этом уравнении
соответствует проницаемости на
частотах продольных колебаний, а
соответствует собственным частотам
поперечных колебаний.
Для описания свойств прохождения электромагнитных волн через
кристалл используют диэлектрическую проницаемость, определяемую посредством уравнений Максвелла. В кристаллической структуре частотная
зависимость волнового вектора
для плоской волны электрического поля
(, t) =
exp[i( − )] имеет вид
. (2.125)
В этом случае волновой вектор будет иметь комплексный характер
=
+ i
. В связи с этим частотная зависимость показателя преломления и коэффициента поглощения χ будут связаны с помощью соотношения
. (2.126)
84
Используя подстановку (2.125) в (2.126), получим
. (2.127)
Отсюда можно получить, что при χ = 0 и > 0 и n(ω) = ε(ω) бу-
дет
. Поэтому можно дать определение области прозрачно-
сти – области, где плоская волна имеет только вещественный волновой вектор:
. (2.128)
В этой связи можно дать определение области поглощения, когда
при прохождении электромагнитной волны в кристалле её амплитуда будет
уменьшаться при < 0 и n = 0, получаем χ =
, т.е. будет иметь
место только комплексная составляющая с мнимым волновым вектором
для распространяющейся плоской волны, где
, что
свидетельствует о том, что в частотном диапазоне t < < ωl, в случае
< 0, электромагнитная волна при распространении волн в объёме кристалла будет уменьшать свою амплитуду по экспоненциальному закону.
Это определяет область поглощения в кристалле.
При рассмотрении фононного взаимодействия в ионных кристаллических структурах было установлено, что поперечное фононное влияние на
эти структуры обусловлено кулоновским статическим ионным взаимодействием. Это можно объяснить тем, что именно при оптических колебаниях
ионов кристаллических элементарных ячеек имеет место запаздывающее
взаимодействие с поперечными электромагнитными волнами. При этом
могут иметь место случаи, когда энергии фононов и квантов свободного
электромагнитного поля – фотонов − количественно практически равны и
взаимодействуют между собой. В этом случае совокупность таких элементарных фотонно-фононных возбуждений называют «поляритонным со-
стоянием возбуждения» в стационарном состоянии кристалла, а сами такие парные квазичастицы называют «поляритонами». Теория поведения таких квазичастиц основана на макроскопическом подходе и развита для случая изотропных сред, когда для поперечных ионных колебаний имеет место сохранение поперечного поля:
(2.129)
85
Для определения связи параметра поперечной поляризации с па-
раметрами поперечных составляющих электрического и магнитного полей
и
воспользуемся уравнениями Максвелла:
,
,
. (2.130)
Как известно, для этого вида колебаний, когда⊥ (
) ⊥
,
решение (2.129) и (2.130) будут иметь обобщённый вид
. (2.131)
При этом для двух ортогональных составляющих можно получить
систему компонентных уравнений:
,
,
,
. (2.132)
Решение этой системы уравнений определено в [3] как соотношение
. (2.133)
После подстановки параметров =
, =
в (2.133),
оно примет вид
. (2.134)
Очевидно, что в этом соотношении справа получен член, совпадающий с правой частью уравнения (2.124). Это даёт возможность определить
для ЭМВ с частотой , распространяющейся внутри кристалла, величину
волнового вектора
. При помощи несложных математических преобразо-
ваний (2.134) относительно аргумента , можно получить
. (2.135)
Решение этого уравнения даёт при учёте равенства
2
t /l
2
= /0 со-
отношения для частот поляритонов (вышеуказанных других элементар-
ных возбуждений), зависящих от величины волноводного вектора
, в виде
86
. (2.136)
Если волновой вектор k
, то эти два решения (2.136) будут
иметь иной вид
. (2.137)
В случае больших значений k
, но при сохранении макро-
скопического рассмотрения этой задачи, когда k , будет иметь место
решение:
. (2.138)
Итак, получается, что для элементарных поляритонов также суще-
ствуют две ветви возбуждений:
− для частот 0
()
− первая ветвь,
− для частот
() − вторая ветвь.
Большим величинам k (поперечные фононы) будет соответствовать
первая ветвь возбуждений, а для фотонов будет соответствовать вторая
ветвь возбуждений в средах с диэлектрической проницаемостью
. Совокупная коллективная среда, состоящая из «смеси» фотонов и фононов, т.е.
поляритонов, может принимать совершенно различные состояния за пре-
делами точки, где k
.
В диапазоне области прозрачности, когда k имеет малое значение,
первая ветвь поляритонов получается за счёт фотонного воздействия в
среде кристалла с диэлектрической проницаемостью
. Поляритонная дис-
персионная зависимость графически представлена на рис. 2.11.
Возбуждения поляритонов представляют собой электромагнитные
волны (ЭМВ), возникающие в объёме кристаллической структуры. Полная
энергия состоит из энергии этих волн и энергии поляризационных кристаллических колебаний.
В [3] доказано, что фотоны с частотами
определяют первую
поляритонную ветвь, а фотонный частотный диапазон
− вторую
их ветвь.
87
0
0
n
2
k
n
2
,
2
2
2
2
t
l
n
2
ck /()
1/2
ck /(0)
1/2
Рис. 2.11. Частотные зависимости двух ветвей колебаний для поляритонов
относительно волнового вектора , квадрата коэффициента поглощения
и квадрата коэффициента преломления
Однако при этих выводах не была рассмотрена дисперсия
(
) для
поперечных фононов, при рассмотрении которой нужно учитывать соотношение (2.124), которое работает только за областью поглощения, когда
Отсюда следует, что определённые поляритонные ветви, проиллю-
стрированные на рис. 2.11, будут соответствовать ЭМВ в кристаллах, находящихся в области прозрачности. Из этого следует, что при ограниченности времени существования поперечных фононов все поляритонные состояния в этом диапазоне будут также иметь конечно-ограниченное время существования [12].
При этом нужно принимать во внимание то, что существует прямая
пропорциональность между величиной длины волны ЭМВ и сопоставимостью с ней физических размеров твердотельного кристалла, имеющего конкретную диэлектрическую проницаемость. Это даёт ещё одно важное определение: поляритонная теория состояния твёрдого тела применима для
кристаллов, имеющих размеры значительно большие, чем длина волны излучения поляритонов.
Время «жизни» поляритонов ограничено геометрическими размерами
кристалла. Ранее полагалось, что ЭМВ в кристалле не выходит за пределы
границ, ограничивающих его объём. Однако такие условия, в рамках данной
модели, можно создать либо при бесконечных размерах структуры (что невыполнимо), или в условиях окружения кристаллов идеально отражающими
зеркалами (что также трудно реализовать на практике). Конечные геометрические размеры кристалла обуславливают излучение ЭМВ из его объёма, что
ограничивает время существования поляритонов.
88
Для подробного рассмотрения теории квантово-механических
свойств поляритонов ещё раз уточним понятие о их природе.
Определение поляритонов связано с понятием механизма возникновения кристаллической поляризации за счёт смещения в нём ионных
узлов. Как следствие такого механизма, поляритоны можно представить
как элементарные возбуждения этих ионных узловых кристаллов, которые возникают как следствие относительного смещения ионов при воздействии поперечного внутреннего электромагнитного поля. Можно
также, с другой стороны, объяснить поляризацию кристаллов как результат смещения электронов вблизи ядер в предположении постоянной
«фиксации» ионов. В диапазоне частот ионных колебаний данная кристаллическая поляризация определяется в основном величиной диэлектрической проницаемости . Если считать, что этот параметр имеет
среда кристалла, в которой распространяются ЭМВ по аналогии с непрерывной средой с тем же значением диэлектрической проницаемости,
можно полагать, что скорость распространения этих внутренних волн в
объёме кристалла будут отличаться от скорости света в вакууме, т.е. будет соответствовать величине c/
[3, 14].
Плотность функции Лагранжа Lf для значений напряжённостей
электрического и магнитного полей, необходимое для проведение
квантования этих полей, определяется как
. (2.139)
При этом векторный потенциал
входит в состав соотношений для
и
в виде
. (2.140)
Для уравнения Лагранжа:
(2.141)
применимо равенство
, что даёт первое уравнение
Максвелла в виде
. (2.142)
89
А из трёх уравнений (2.140) можно получить также три дополняю-
щих уравнений Максвелла из полной системы:
. (2.143)
Уравнение для векторного потенциала
может быть получено из со-
отношений (2.140) и (2.142) в виде
. (2.144)
Поскольку векторный потенциал
сонаправлен и сопряжён с обоб-
щённым вектором
, то из (2.139) можно его определить из соотношения
. (2.145)
Далее можно выразить функцию Гамильтона относительно внутрен-
него ЭМП в кристаллической структуре [13] через параметры и
:
. (2.146)
В случае кубоподобных кристаллов (кристаллов «кубической синго-
нии»), имеющих постоянную решётки a и размер рёбра L = Na, объём куба
будет равен V = L3.
Внутреннее кристаллическое ЭМП и процессы ионного смещения
определяются циклическими граничными условиями, с учётом которых,
после преобразования Фурье, можно получить:
,
, (2.147)
,
, (2.148)
в которых дискретные компоненты волнового вектора можно определить
из бесконечного ряда:
, (2.149)
Единичные векторы поляризации
удовлетворяют
условиям:
, . (2.150)
90
Кроме того, векторный потенциал ( из (2.147) будет удовле-
творять соотношению (2.144) для значений
, меняющихся по гармо-
ническому закону:
,
(2.151)
Проведём замену соотношений для векторных потенциалов и импульсов (2.147) и (2.148) операторным соотношениям, при которых выполняются
перестановочные уравнения
. Тогда можно выра-
зить эти операторы
и
посредством описания операторов образова-
ния
и аннигиляции
(операторы Бозе) фотонов в кристалле, которые
являются элементарными операторами возбуждения ЭМП в кристалле:
,
. (2.152)
Для этих элементарных операторов справедливы следующие равенства:
,
Запишем (2.147) и (2.148) с учетом операторных соотношений
(2.152). Это позволит записать соотношения для операторного представления векторных параметров потенциала и сопряжённого с ним обобщённого
импульса:
,
. (2.153)
Используя эти соотношения в (2.146), с учётом равенства
и последующей за этим проведением операции интегрирования по объёму
кристалла, можно получить соотношение для Гамильтониана ЭМП в кристалле в виде
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]