Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
111
граничную величину для совокупности волновых векторов плазмонов. Тогда для выполнения вышеопределённого условия требуется, чтобы также
выполнялось неравенство
. (3.30)
Тогда дифференциальное, зависящее от времени, уравнение второго
порядка (3.29) для изменения плотности электронов будет трансформироваться в аналогичное уравнение для изменения совокупных плазменных
колебаний в виде
(3.31)
Величина этого критического параметра kc может быть найдена в
более уточнённом виде при учёте следующего условия [3], которое определяется для элементарных частичных электронно-дырочных возбуждений в виде
. (3.32)
4
3
2
1
1 2
3
/4EF
k /kF
-
½ k
2
− kk
F
½ k
2
+ kk
F
Рис. 3.1. Нормированная спектральная характеристика возбуждений однородного
электронного газа, учитывающая колебания плазмы (плазмонов), где
элементарные парные возбуждения электронов и дырок указаны в области,
ограниченной функциональными кривыми (k2/2 + kkF) и (k2kkF)
В [3] показано, что из (3.32) следует, что критические значения волновых чисел kc, которые представляют собой совокупность точек в пространственной области волновых векторов первой зоны Бриллюэна, могут
112
быть представлены в виде пространственной диаграммы, в которой дисперсионная (частотно-зависимая) кривая плазмонов ограничена величиной
элементарных электронно-дырочных возбуждений. Эта область определена на участке значений аргумента [0; 2] (рис. 3.1).
Итак, объём центральной области зоны Бриллюэна, равный
VB =
, представляет собой область, в которой размещены все вектора
плазмонов. Дальнейшие рассмотрения приведут к определению того
факта, что в этой пространственной области один волновой вектор будет
занимать объём, равный
, а количество плазмонов в кристалле будет
равно
.
Фазовая скорость плазмонов vp=
, при условии выполнения (3.30),
будет превышать наибольшую величину электронной скорости. Отсюда следует, что невозможно реально реализовать возможность затухания этой скорости за счёт потерь энергии плазмонов и передачи её в состав энергии электронов. В [3] показано, что затухание в объёме твёрдого тела происходит за
счёт решёточных взаимодействий с носителями заряда, а также взаимодействий с колебаниями примесей и иных дефектов решёточных структур.
3.3. Теоретическое и экспериментальное рассмотрение
плазменных колебаний электронов (плазмонов) в объёме
кристаллической решетки как экранирующий эффект
кулоновского взаимодействия зарядов
В связи с тем, что процессы элементарных возбуждений не носят
коллективный характер при k > kc, то возникает распад плазмонного возбуждения на элементарные возбуждения частиц – дырок и электронов. Отсюда следует, что существующий при этом электронный газ представляется в виде совокупности составляющих – единичных квазичастиц, имеющих потенциал взаимодействия друг с другом в виде:
(3.33)
Следовательно, между электронами этого газа, которые находятся
на расстоянии между собой, будет иметь место потенциал взаимо-
113
действия (которое не было учтено ранее при рассмотрении плазменных колебаний электронов) в виде соотношения:
. (3.34)
При этом можно перейти в интегральную форму записи этого соотношения:
(3.35)
Очевидно, что лишь при малых величинах расстояний <
-1
будет
иметь место явно выраженное межэлектронное взаимодействие. Введем
параметр экранированного кулоновского потенциала заряда , записываемого как
(3.36)
Величина R
TF
= 1/
= vF/p обозначается как радиус экранирова-
ния Томаса − Ферми. В предположении большого значения плотности
электронов n0 в структурах металлов будем также полагать вырожденный
случай электронного газа для носителей, у которых энергия находится
ниже уровня Ферми E < EF.
В случае рассмотрения полупроводников концентрация носителей
n0 гораздо ниже, чем в металлах [6, 8]. Это является причиной того, что в
полупроводниках, кроме сильно легированных структур, не будет иметь
место эффект вырождения [6].
Для нахождения функции распределения носителей по энергетическим уровням применяют распределение Больцмана. Так возникает эффект
экранирования взаимодействия Кулона из (3.35) (e2/0r) посредством электронного взаимодействия в полупроводниках.
Отсюда следует, что (3.35) может быть заменено соотношением, содержащим RD – дебаевский радиус экранирования в виде следующего соотношения:
. (3.37)
Квадрат дебаевского радиуса экранирования может быть записан как
.
114
Значение этого параметра получается из соотношения для квадрата
радиуса Томаса – Ферми (для металлов) R
2
TF
= EF /22n0 посредством за-
мены в нём параметра энергии ферми EF на среднюю энергию электронного газа kBT/2 (в полупроводниках), а также замены параметра для элек-
тронов в металле на параметр e/
для электронов в объёме полупровод-
ника [4, 6].
Нагревание кристаллической решётки не вызывает дальнейшего воз-
буждения плазмонов, поскольку величина этой энергии у них слишком велика. Основной механизм возбуждения самих плазмонов возникает при прохождении горячих электронов, имеющих энергии, обеспечиваемые разогревным напряжением в несколько киловольт. Эти электроны осуществляют
плазмонное возбуждение при прохождении тонких плёнок порядка 100 Å.
Так, при пролете таких быстрых горячих электронов через плёнки ма-
териалов Be, Mg, Al будет осуществляться потеря энергии уровней p, 2p
(в прямой пропорциональности от числа возбужденных плазмонов). Будет
также иметь место совпадение рассчитанной выше плазменной частоты p с
экспериментально наблюдаемой [3]. При вычислениях учитывались количество валентных электронов (3 – в Al, 2 – Be и Mg). В некоторых других металлах, а также в полупроводниках C, Si, Ge будет иметь место электронное
возбуждение одного плазмона, которое также будет определяться количеством валентных электронов на каждый атом C, Si, Ge (по 4 на один атом).
Во многих металлах, таких как золото Au, Ag, Cu, а также в ряде
металлов переходного вида, будет иметь место участие других электронов
из соседних зон вместе с электронами валентной зоны, что сводится к данным табл. 3.1[4].
Величины энергий плазмонов для некоторых
металлов и полупроводников
Материалы
Ве
Mg
Al С Сu
Ag
p
,эВ
18,9
10,6
15,3
22,0
17,8
23,1
Материалы
РЬ
Ni W Si
Gе
ZnS
p
,эВ
14,0
22,1
23,5
16,9
16,0
17,0
При взаимодействии структур твердых тел с электромагнитными
волнами также имеют место образование плазменных колебаний.
115
Пусть электромагнитная волна, представленная в виде
,
падает перпендикулярно на плоскую металлическую пластину.
В предположении того, что длина волны будет больше, чем толщина
этой пластины, можно предположить, что внутри неё будет иметь место
приближенное равенство exp(ikz) ≈ 1.
Поскольку электростатические силы между электронами не
участвуют в образовании поперечных электронных колебаний, вызванных этой электромагнитной волной, то соотношение для вынужденных
колебаний электронного газа (при учёте только упругих сил) может
быть записано в виде
, (3.38)
которая имеет решение в виде x = eEx/m(
2
−
).
Отсюда следует, что удельная электрическая поляризация, возникающая в кристаллической структуре, под действием электромагнитного
поля будет записываться в виде соотношения:
. (3.39)
Как известно, имеется также соотношение для величины этой поляризации в виде
. (3.40)
Из этих двух соотношений можно получить
. (3.41)
Последнее уравнение описывает частоту плазменных колебаний,
определяемую соотношением 2(k) =
2
p
+
2
ac
(k), при которых имеет ме-
сто равенство
, (3.42)
что является условием определения объёмных собственных частот колебаний плазмонов. Проводя аналогичные рассуждения для взаимодействия
электронов с фононами, примесями, а также с другими кристаллическими
дефектами, можно получить уравнение для колебательной характеристики
(4.38), введя среднее время между столкновениями.
116
Это даёт следующее соотношение:
. (3.43)
Отсюда следует уравнение аналогичное (3.41)
(3.44)
Это соотношение имеет комплексный, вид, что даёт основание для
оценки величин элементарных потерь.
Мнимая часть его будет определять величину затухания колебаний
плазмонов. В случае рассмотрения структур металлов при низких температурах условие
p
1 для слабых затуханий будет удовлетворительно вы-
полняться, так как значение будет иметь порядок 10
-9
с.
117
4. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
4.1. Основные принципы взаимодействия электронов
в объёме кристалла с периодическими полями
При рассмотрении электрон-кристаллического взаимодействия, в
котором ионы будут полагаться строго позиционируемыми в решёточных
узлах, будем применять так называемое адиабатическое приближение, которое предполагает пренебрежение кинетической энергией этих ионов
вследствие того, что их колебания гораздо менее интенсивны по сравнению
с перемещением электронов. Отсюда можно предположить, что собственное электрон-электронное и электрон-ионное взаимодействия описыва-
ются в виде суммы, состоящей из усредненного параметра поля
, ко-
торое зависит от электронных координат
(для каждого электрона) (это
периодическое поле
=
, а также второго слагаемого
, представляющее собой поле остаточного взаимодействия, зави-
сящее от координат всей совокупности электронов:
(4.1)
В этом соотношении второй член справа (поле остаточного взаимодействия) в большинстве случаев гораздо меньше суммы в правой части
(4.1), то есть
.
Значит в начальной стадии рассмотрения допустимо представлять
движение каждого i-го электрона только в усредненном поле
. Это
условие получило название приближение среднего поля.
При этом в стационарном состоянии электрон будет находиться в
так называемом «одноэлектронном стационарном состоянии». А эти состояния, в свою очередь, находятся из уравнения Шредингера относи-
тельно волновой функции
[2]:
. (4.2)
Это уравнение, по сути, определяет одноэлектронное стационарное
состояние. Второй член справа в соотношении (4.1)
, опреде-
118
ляющий поле остаточного взаимодействия, а также взаимодействия с другими колебаниями ионов (имеющих несколько степеней свободы) и дефектами кристаллической структуры, будут смещать одноэлектронное состояние и обеспечивать процессы релаксации.
В следующем цикле расчёта можно пренебречь процессами релакса-
ции и считать одноэлектронное состояние как стационарное. Это следует
из того, что в идеально чистых кристаллах и низких температурах (при
≈ 0) будет велико время жизни единичного носителя заряда в одноэлектронном состоянии. В качестве замечания отметим, что теоретический подход к полному описанию кристаллов должен включать в себя некую универсальную теорию, обобщающую свойства большинства кристаллов.
Однако математический аппарат при этом получается очень сложным и громоздким. Поэтому точное решение с помощью данной теории
может быть получено для лишь немногих частных конкретных задач.
В этой связи следует необходимость применения наиболее простой универсальной и наглядной одноэлектронной теории для широкого спектра решаемых задач, при которых будут учитываться особенности электронного
газа. В таком одноэлектронном приближении собственные волновые функции в уравнении (4.2) будут одновременно являться также собственными
функциями оператора трансляции.
При этом это стационарное состояние при одноэлектронном прибли-
жении будет характеризоваться волновым вектором
, причём все осталь-
ные квантовые числа будут отмечаться параметром .
Отсюда можно записать, что энергия будет описываться периодиче-
ской функцией = в объёме пространства волновых векто-
ров обратной кристаллический решетки.
Полагая, что кристалл, который можно считать состоящим из N эле-
ментарных ячеек при постоянном значении и значение энергии , бу-
дет иметь N квазинепрерывных значений, которые будут образовывать область, состоящую из совокупности энергетических зон одноэлектронных
состояний.
Для случая отсутствия внешнего магнитного поля в объёме кристалла [3] получено условие выполнения равенства чётности (без учёта
спинового состояния):
4.1.
119
= .
Будем полагать, что уравнение Шредингера (4.2) будет иметь решение относительно волновой функции в объеме кристалла V для одночастичных состояний в виде модулированных плоских волн:
. (4.3)
В этом соотношении
=
– периодические функ-
ции Блоха.
В этих функциях амплитуды модулирующих функций
могут
быть найдены в предположении удовлетворения уравнения Шредингера
(4.2) равенству
. (4.4)
При релятивистском движении электрона, обладающего собствен-
ным спином, в поле
будет иметь место дополнительное спин-орби-
тальное взаимодействие:
, (4.5)
где
=
− оператор спина, в который входят компонентные эле-
менты − матрицы Паули
, дей-
ствующие на параметр спиновых переменных Sz из (4.5).
При этом с учетом спина электрона в приближении одноэлектронных
состояний можно записать уравнение Шредингера (4.2) в следующем виде:
(4.6)
При этом необходимо, чтобы выполнялось равенство E
↑
(
) = E
↑
(–
),
что следует из инвариантности этой функции во времени.
Функции Блоха из (4.3) будут также зависеть от переменного спинового аргумента Sz:
(4.7)
120
Этот переменный аргумент представляет собой квантовое число,
которое учитывает два возможных спиновых состояний электрона (правый
и левый спины). Таким образом, можно переписать соотношение (4.4) для
функций Блоха с учетом этих спиновых эффектов в виде уравнения Паули:
. (4.8)
Учитывая периодичность функций и
, можно вышепере-
численные уравнения решать только для одной (из числа N) элементарной
ячейки с указанием условия периодичности на её поверхности.
Для первого расчётного приближения, которое было упомянуто
выше, можно не учитывать эти два спин-орбитальных взаимодействий
(4.7), что и будет применяться в дальнейшем.
Если считать, что – вектор обратной решетки, – период основной
решётки для функции Блоха
, то эту функцию можно разложить в
объёме элементарной ячейки V по совокупности полной ортонормированной системе функций:
(4.9)
Функции Блоха
, при учете (4.9), могут быть получены в
форме
. (4.10)
С учетом этого соотношения уравнение Шредингера (4.2) распадается на систему алгебраических уравнений относительно аргументов – ам-
плитуд
, при усредненном значении вектора обратной решётки
:
(4.11)
В этом уравнении будет иметь место случай, когда вектор будет
мало отличаться от , тогда функция
будет иметь плавный вид
(не иметь асимптотических разрывов). Решение данной системы (4.11) от-
носительно амплитуды
позволит найти усредненные величины
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]