Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
101
Следовательно, именно свободные нейтроны, проходящие через
объём кристаллической структуры, имеют колебания с длинами волн, превышающие размер удвоенного наибольшего расстояния, которое они проходят между кристаллическими плоскостями без рассеяния в других
направлениях. Этот принцип лежит в основе применения условных фильтров коротковолновой области спектра, которые обладают когерентным
рассеянием, при малом поглощении нейтронов. На практике эти фильтры
реализуют из материалов типа окиси бериллия (d = 4,4
) или графита
(d = 6,7
). Кроме закона сохранения энергии нейтрона (2.191), при погло-
щении одного фонона при неупругом рассеянии энергии этого нейтрона,
должен работать закон сохранения импульсов (квазиимпульсов):
. (2.204)
При выделении экспериментальным способом из многофононного
когерентного рассеяния одного из его однофононных компонент, можно,
после измерения энергии рассеяния при различных углах рассеяния, ис-
пользуя (2.191) и (2.192), получить дисперсионную зависимость ().
Применение соотношения (2.204) и принципа периодичности частот
фононного спектра ()=( + дают возможность преобразовать
(2.191) к виду
. (2.205)
Соотношение (2.205) описывает в
-пространстве волновых векто-
ров для конкретного начального волнового вектора
в каждой s-ветви ко-
лебаний поверхность рассеяния, которая обозначается как
. В случае,
когда энергия нейтронов рассеивается при испускании фонона, меняются
местами члены в скобках с обеих частях равенства (2.205). Тогда это соотношение примет вид
. (2.206)
Решения (2.206) не существует при условии
<
. Из (2.204)
это условие можно выразить как неравенство
, где
– вектор
обратной решётки, имеющий наименьшее значение среди других векторов
(
– критическое значение волнового вектора).
102
Можно записать соотношение для вероятности образования и анни-
гиляции одного фонона. Оно будет прямо пропорционально величине параметра
.
При неупругом когерентном рассеянии энергии в одном из направлений кристаллической ячейки кривая распределения нейтронов будет
иметь три максимума в соответствии с частотами трех ветвей фононных
колебаний.
В случае расположенных в беспорядочном (стохастическом) состоянии в объёме кристаллической решётки изотопов или ядер, которые имеют
собственный спин вращения, рассеяние энергии будет происходить по некогерентному (не зависящему от другого или других) виду для каждого из ядер.
А при таком некогерентном рассеянии не выполняется закон сохранения импульсов, и энергия нейтрона не зависит от угла рассеяния [2,14].
Таким свойством почти полного некогерентного рассеяния обладают
некоторые элементы таблицы Менделеева в кристаллическом состоянии, такие как, например, водород и ванадий. А вот среди металлов алюминий прак-
тически полностью обладает свойством когерентного рассеяния [4–6, 8].
Существует ещё понятие магнитного рассеяния, которое представляет собой дополнительное рассеяние, которое появляется в случае, когда
магнитный момент оболочки атома не равен нулю и взаимодействие между
магнитными моментами атома и нейтрона приводит к этому дополнительному рассеянию. Понятие о природе этого магнитного энергетического
рассеяния нейтронов очень важно для понимания магнитного состояния
всей кристаллической структуры твёрдого тела [4].
103
3. ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМОНОВ
3.1. Электронные кинетические эффекты в структурах
металлов и полупроводников и возникновение в них
плазменных колебаний
В рассмотрении поведения электронного газа при движении в объ-
ёме твердого тела нужно иметь в виду проявление элементарных возбуждений, возникающих при взаимодействии этих электронов с ионами решётки. Такие возбуждения соответствуют продольным волнам и определяются как «плазменные волны». Энергетические корпускулы или кванты
этих волн получили название «плазмонов» [3].
Плазменные волны, вызванные указанными возмущениями, возни-
кают в полупроводниках и металлах, т.е. в твердотельных структурах, в которых электроны имеют слабую связь с ионами решётки. В стационарном
состоянии каждая элементарная ячейка электрически нейтральна, поскольку
отрицательные электроны полностью компенсируют положительный совокупный заряд ионов. Пусть в таком стационарном состоянии в единице объ-
ёма кристалла находится среднее количество электронов, равное
. Откло-
нение параметра электронной плотности n от этого значения ( приведёт к
изменению этого стационарного нейтрального состояния, что, в свою очередь, вызовет появление внутренних электрических сил, восстанавливающих это равновесное состояние. При этом также возникают осциллирующие
колебания средней плотности электронов относительно значения
.
При рассмотрении простейших постулатов плазменных колебаний в
объёме твёрдого тела полагают замену ионного дискретного распределения
положительного заряда эквивалентным ему неким положительным зарядом, имеющим однородную плотность распределения, равную средней
электронной плотности зарядов
. Часто такую твердотельную модель
называют моделью «типа желе». Электроны валентной зоны и зоны проводимости, как было указано ранее, представляются как «электронный газ»,
который имеет колебания, вызванные его сжатием и разрежением относительно средней величины. Эти колебания относятся к продольным колебаниям. Средняя концентрационная плотность электронов в объёме твёрдого
тела имеет порядок
. В случае большего значения этой величины,
104
кинетическая энергия «нулевого движения» электронов (при = 0 К) будет
гораздо выше тепловой энергии их движения, что даёт основание пренебречь учётом этой энергии и убрать последнюю из рассмотрения.
В изотропном кристалле возникают плазменные колебания длинно-
волнового диапазона [8, 9]. В основе теории таких колебаний лежит предположение, что электроны для длинноволновых колебаний рассматрива-
ются как непрерывная среда. Отклонение от непрерывного значения
электронной плотности можно записать в виде соотношения
. (3.1)
Здесь величина
– векторный параметр, характеризующий малые отклонения положения (смещения) электронного газа от стационарного (нормального) состояния. Из этого будет следовать отклонение плотности электронов, что ведёт к изменению стационарной нейтральности. Тогда, согласно уравнению Пуассона, будет иметь место появление электро-
статического потенциала (
. (3.2)
Кинетическая энергия смещения электронов (с массой единичного
электрона m) будет равна
. (3.3)
А потенциальная энергия, возникающая при этом смещении, со-
стоит из интегрального смещения упругой и электростатической энергий,
согласно уравнению
(3.4)
В этом соотношении параметр представляет собой модуль коэф-
фициента упругости электронного газа, не учитывающий влияние заряда
электрона.
Для (3.1)–(3.4) будем полагать rot
= 0, что достоверно только для
случая продольных смещений, а в случае рассмотрения модели по «типу
желе» отсутствует воздействие восстанавливающих сил на сдвиговые
волны в связи с тем, что этот вид волн не меняет нейтральность локальной
энергетической системы. Поэтому в таком рассмотрении полагается отсутствие в таких системах собственных поперечных колебаний [3].
105
Именно продольные волны обуславливают возникновение участков
с сжатием и разрежением концентрации электронного газа, что меняет его
электрическую нейтральность и вызывает обратное действие сил Кулона,
которые стремятся восстановить эту нейтральность. Плазменные частоты,
представляющие собой собственные частоты продольных колебаний, лежат в диапазоне высоких частот (по квантово-механической шкале).
Если обозначить параметры кубического кристалла как: L = Na –
сторона (грань) и V = L3 – объём, то, после введения граничных цикличе-
ских условий
N), получим вид волновых функций электро-
нов из зоны проводимости и из валентной зоны в виде
. (3.5)
Группа волновых чисел k
i
определяется из значений компонент
,
где = 0,
. Эти компоненты образуют так называемую полную
ортонормированную систему функций.
Разложение вектора смещения
определённого в (3.1), по ука-
занной системе ортонормированных функций даст:
(3.6)
В этом соотношении векторный параметр представляет собой
вектор продольной поляризации, к которому применимы условия:
. (3.7)
Поскольку
=
, что следует из вещественности этих малых сме-
щений, то для (3.6) можно получить:
(3.8)
По аналогии с (3.6) проведём разложение по системе ортонормированных функций и электрический потенциал в виде ряда
. (3.9)
После подстановки (3.8) и (3.9) в (3.2) можно получить равенство
106
. (3.10)
А потенциальная энергия, согласно (3.4), после подстановки (3.8),
(3.9) и условий (3.10), будет (при учёте равенства
=
)
иметь вид соотношения:
. (311)
Аналогичная подстановка может быть применена к соотношению
(3.3) для кинетической энергии:
. (3.12)
Отсюда, полагая функцию Лагранжа, как L=TU, определенную ра-
нее, можно определить уравнение Лагранжа, как равенство:
. (3.13)
Для плазменных колебаний, с учётом полученных соотношений, по-
лучим для (3.13) уравнение
. (3.14)
Закон дисперсии плазменных колебаний для малых величин параметра
в предположении пропорциональности
(t)
, будет иметь вид
. (3.15)
В этом соотношении параметр
представляет собой
квадрат частоты плазмы (плазменной частоты). Электростатические эф-
фекты исчезнут при e , что даёт ( k
=
ac
, что почти
совпадает с частотной (дисперсной) зависимостью для звуковых волн,
скорость распространения которых равна
см/с. (В слу-
чае k
max
10
8 см-3
будет
ac
5
с-1.) Чтобы оценить величину ча-
стоты
p
, возьмём средние параметры структуры (в единицах системы
СГСЭ): n0 = 10
23 см-3
, e = , m =
г. Тогда получим соотноше-
ние
, откуда следует
p
12 эВ.
107
В итоге получим, что
p
ac
, откуда следует малость дисперси-
онной зависимости плазменных волн, а относительное изменение этой зависимости
( в границах первой зоны Бриллюэна, которая не превы-
шает порядка10
-3
. В уравнении (3.15) сомножитель
имеет размер-
ность квадрата скорости (м/с)2, что даёт основание считать верной прямую пропорциональность для скорости электрона, находящемся на
уровне Ферми
. В [11] доказано, что
=
, откуда следует
равенство
=
.
Формула для обобщённого импульса
=
=
=
яв-
ляется сопряжённой коллективной векторной координате
, откуда
можно записать для рассматриваемых плазменных колебаний функцию Гамильтона в виде
. (3.16)
После перехода из этого соотношения к оператору Гамильтона для
процесса квантования этих плазменных колебаний в системе количественного заполнения плазмонов нужно в равенстве (3.16) выполнить следующие преобразования и замену [3 ]:
. (3.17)
Операторы
называют операторами Бозе, описывающими про-
цессы образования и аннигиляции плазмонов, имеющих волновой вектор
.
После применения этих преобразований (3.17) к (3.16), запишем в
операторной форме, для элементарных плазмонных Бозе-возбуждений
всей системы, окончательное соотношение:
(3.18)
108
Из (3.15) также видно, что энергия плазмонов для заданных волно-
вых векторов определяется из равенства = для дисперсной
характеристики
Во всех вышерассмотренных выводах полагается,
что плазмоны являются не взаимодействующими между собой частицами,
подчиняющимися распределению Бозе − Эйнштейна.
3.2. Свойства и особенности длинноволнового диапазона
плазмонных колебаний. Условие приближения хаотических
фаз для электронной плотности
Длинноволновый диапазон колебаний плазмонов ограничен преде-
лами их существования в среде и проявления при этом активных свойств.
Это означает, что необходимо определить условия корректности представления электронов, находящихся в объёме кристалла, в качестве совокупной непрерывной энергетической среды [3]. В классическом понимании о том, что
элементарная частица – электрон, является точечным элементом, обладающим как корпускулярными, так и волновыми (векторными) свойствами,
можно записать, для некой точки объёма кристалла соотношения для плот-
ности электронного потока (n( и вектора этого потока ( в виде
. (3.19)
(Здесь указаны параметры:
– радиус-вектор для единичного i-го элек-
трона,
– скорость этого электрона).
Ниже будет рассматриваться электростатическое взаимодействие
как основное при данном рассмотрении. При этом данное взаимодействие
единичного i-го электрона будет иметь потенциальную энергию как в отношении других электронов решетки, так и в отношении к положительным
ионным зарядам, имеющим однородное распределение. Эта энергия представляется в виде
. (3.20)
В предположении равенства
=
можно применить
разложение суммы в (3.20) по совокупности ортонормированных волновых
функций (для V = 1) как
=
, что даст возможность получить уравне-
ния для коэффициентов разложения в данном равенстве в виде
109
. (3.21)
После учёта (3.21) в (3.20) можно определить уравнение для потенциальной энергии межэлектродного взаимодействия в виде
(3.22)
(причём при этом, в соответствии с (3.21), должно выполняться условие
j = i и
= 0).
Как известно, кинетическую энергию совокупности электронов
можно определить из равенства
, (3.23)
что определяет соотношение для импульсов движения каждого электрона
в виде
. (3.24)
Далее определим основное соотношение, характеризующее изменение плотности электронов и колебательное уравнение для плазмонов. Для
решения первой задачи при использовании уравнения непрерывности
+ div() = 0, применим, относительно электронной плотности =
, преобразование Фурье. Это позволит получить для членов
этого ряда уравнение
(3.25)
Применяя эти преобразований относительно вектора электронного
потока () =
, можно, по аналогии с преобразованиями для
изменения плотности электронов, получить равенство
=
. По-
становка его в соотношение непрерывности позволит записать это уравнение в другом виде
. (3.26)
После проведения операции повторного дифференцирования по времени, получим соотношение
110
(3.27)
Далее, после введения параметра q i и подстановки в (3.27) пара-
метра vi из уравнения для импульсов (3.24), можно получить
. (3.28)
После переноса второго слагаемого слева в уравнении (3.28) в правую
часть этого уравнения и выделения в оставшейся слева сумме член с
который равен
(
= 4
/m), можно пренебречь чле-
ном, содержащим сумму
, поскольку в ней содержатся слага-
емые с разными знаками, которые будут взаимно исключать друг друга. Таким образом, исключение этой суммы из (3.28) будет означать пренебреже-
ние изменениям разных параметров
и
, относящихся к разным длинам
волн, точнее, пренебрежение изменениями электронных плотностеё, представленной в виде Фурье-образов [3,13]. Это приближение имеет название
«приближения хаотических фаз» (ПФХ), при котором имеет место прене-
брежение эффектом собственной корреляции (автокорреляции) плотности
электронов. В условиях применения ПФХ к (3.28) можно получить [3]
(3.29)
Очевидно, что справа от знака равенства находится член, опреде-
ляющий скорости электронов, которые своим движением действуют на
плазменные колебания «разупорядующим» образом (вследствие отрица-
тельности). С уменьшением значения параметра
это влияние будет
также уменьшаться.
Проведём оценку этого параметра, которая позволит определить
возможность пренебрежения (или замены на более удобное соотношение)
правым членом в (4.29). Для этого проведём замену параметра
i
на значе-
ние скорости электрона на сферической поверхности уровня Ферми
F
=
= /m (3
)
1/3.
Это потребует выполнения условия
Для реализации этого неравенства необходимо ввести параметр
c
(или, для универсальности, kc), который представляет собой верхнюю
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]