Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
61
Решение (2.43) будет иметь три корня для трёхмерного кристалла
(частоты общих коллективных колебаний (s = 1, 2, 3)). Этим частотам
будут соответствовать решения (2.42), при которых могут быть найдены три
компонентных вектора
для вещественных компонент
.
В данном случае в декартовой системе координат в трехмерном кристалле можно утверждать наличие ортогонального характера ориентации
этих трех векторов и полaгать выполнение условия
, (2.44)
что выполняет условие ортонормированности для векторов
.
В предельном случае, когда
→ 0 из условия
0,
можно получить соотношение
=
.
В отличие от предыдущих случаев, в трехмерном кристалле будут существовать три ветви акустических колебаний. Для случая кубических кри-
сталлов можно доказать, что направление одного из трех векторов
бу-
дет сонаправлено с вектором
. Колебания такого вида обычно называют
продольными колебаниями, а оставшиеся два других вектора из найденной
системы имеют взаимно перпендикулярную ориентацию как друг относи-
тельно друга, так и перпендикулярную ориентацию относительно
.
Эти два вектора определяют поперечные колебания и графически
представляют собой ветви таких колебаний и на графике могут представить
ветви таких колебаний. Например, для случая кристалла, обладающего изо-
тропными свойствами, частоты имеют прямую зависимость от ори-
ентации и направления вектора
.
Таким образом, для данного случая ветвей поперечных колебаний
будут иметь место совпадения этих двух частот для каждого направ-
ления вектора
(t = 1, 2, 3).
Однако обычно продольная частота больше, чем для частот
выше . Когда кристалл имеет выраженную анизотропию, эти три зна-
чения
также будут взаимно ортогональны, но лишь для тех направ-
лений, при которых один из этих векторов значения
будет совпадать
с направлением вектора.
62
Вводя коллективный параметр
для каждого значения
(в дан-
ном случае наличие трех решений относительно кристаллического вектора
смещения атома), можно записать:
. (2.45)
Применяя
равенство (2.42) и учитывая требование ортонор-
мированости, определенное из (2.44), можно получить соотношения для
кинетической и потенциальной энергии:
,
. (2.46)
При этом функция Гамильтона может быть записана после введения
компонентных обобщенных импульсов
=
=
как
. (2.47)
После этого можно выполнить переходы к квантованию и оператору
Гамильтона:
,
,
(2.48)
Как и в предыдущих случаях, операторы образования и аннигиляции
фононов (
) соответственно обладают перестановочным свой-
ствами согласно следующим уравнениям для операторов Бозе [11,13]:
[
,
] =
, [
,
] = [
,
]
= 0.
Число фононов в каждой из перечисленных трёх ветвей колебаний
s = 1,2,3, может быть определено для каждого оператора
=
.
В этом случае кристаллическое смещение будет осуществляться со-
гласно уравнению для оператора вектора смещения)
:
(2.49)
63
k
Рис. 2.7. Закон дисперсии акустических и оптических колебаний
в трехмерном кристалле с двумя атомами в элементарной ячейке
Записанные выше соотношения могут найти продолжение путём
обобщения большего числа кристаллических элементарных ячеек, содержащих атомов. В этом случае спектр фононно-многоатомных ячеек будет
содержать группы из 3-ветвей, имеющих частоты
которых при
→ 0, частоты так же будут стремиться к нулю. Группа таких
ветвей, как и в предыдущем случае, будет считаться акустическими ветвями, тогда как группа оптических ветвей колебаний будут содержать
группу из 3( – 1)-ветвей.
Эти определения и выводы проиллюстрированы на рис. 2.7 в виде
графиков вида закона дисперсии для этих акустических и оптических фононов в рассматриваемом случае, когда базовая элементарная ячейка содержит два атома в объёме трехмерного кристалла.
Для обобщенного многоатомного кристалла можно записать соот-
ношение для Гамильтониана применительно для акустических и оптических фононов, существующих в идеальном газе, состоящих из этих квазичастиц Бозе:
. (2.50)
При этом смещение множества этих атомов внутри элементарных
ячейках может быть записано в операторной форме как
(2.51)
Это подразумевает соблюдение условия
=
=
, α = 1, ...ν.
64
Рассмотрим межфазное взаимодействие в кристаллических структу-
рах в рамках вышерассмотренных заключений. Образование атомных колебаний фононного типа было рассмотрено при выполнении условия гармонического приближения. При этом колебания атомов предполагают
наличие их потенциальной энергии, содержащей величины смещения атомов из стационарного равновесного положения, которые были пропорциональны квадрату этих параметров, записанных в членах уравнения данной
потенциальной энергии.
Гамильтониан при таком подходе записывается в виде
. (2.52)
В этом соотношении параметр
=
представляет собой
оператор числа фононов [16]; он имеет связь с Гамильтонианом:
[,
] = 0. Из этого следует что функция, определяющая число фоно-
нов в каждом состоянии, имеет интегральную зависимость и определяется интегралом движения. Кроме того, фононы, при их гармоническом
рассмотрении, являются независимыми между собой и не взаимодействуют друг с другом.
Если рассмотреть колебания другого вида, когда потенциальная
энергия кристалла будет получаться как результат разложения функции
для потенциальной энергии по кубической и более высоким степеням разложения (от точки равновесия), то это выражение будет иметь вид [13]
,γ +… . (2.53)
Эти слагаемые в бесконечном ряду (2.53) определяются как ангар-
монические поправки. При замене в (2.53) параметров смещения
опе-
раторами
=
, (2.54)
получим в операторной форме соотношения для ангармонических колебаний (возмущений) в виде
, (2.55)
65
(
(2.56)
В этих соотношениях = +
+ , представляет собой вектор,
который может быть либо равен нулю, либо вектору, обеспечивающему по-
ложение волнового вектора в зоне Бриллюэна. При этом все слагаемые
суммы (2.55), когда они соответствуют значению при ≠ 0, имеют функ-
циональную зависимость от процессов переброса.
Из теории взаимодействия ионов известно, что оператор
(2.55) состоит из четырех элементов матрицы на функциях от количества заполненных ячеек. Два первых элемента матрицы записывается в виде
,
. (2.57)
А вторые два элемента представляют собой эрмитово-сопряженные
к (2.57) матричные элементы. При этом соотношение (2.57) описывает элементы матрицы, отражающие процесс аннигиляции трех фононов, а элементы матрицы, которые представляют собой эрмитово-сопряженные элементы к (2.57), отражают процессы образования трех фононов.
Однако в квантово-механической теории указано, что эти процессы
не соответствуют законам сохранения энергии [2, 5].
На рис. 2.8, а приведена графическая интерпретация процессов образования одного фонона в результате смешения других двух фононов в
один, что может быть записано во втором типе элементов матрицы (2.55).
На рис. 2.8, б приведена иллюстрация процесса разделения одного фонона
на два, что представляется в виде эрмитово-сопряженных элементов (2.55).
Избежать положения о невозможности сохранения закона энергии
можно путём учета выполнения этого закона, когда
66
= +
(
).
ks
ks
Рис. 2.8. Диаграммное представление трехфононных процессов: − слияние
двух фононов в один; − распада одного фонона на два других
В этой связи, когда выполняется равенство = +
вектор об-
ратной решётки, выполняется также фоннонный закон сохранения квазиимпульсов. Однако, если будет иметь место процесс переброса, когда вол-
новой вектор равняется = +
+ (– вектор обратной решетки), то
закон сохранения квазиимпульса не выполним.
В предыдущих примерах был рассмотрен случай разделения функции ангармонического разложения (2.53) до третьего порядка. Аналогично
можно рассмотреть учёт потенциальной энергии и гармонического возбуждения членов четвёртого порядка относительно смещения атомов, что приведет к получению соотношений для четырёхфононного взаимодействия.
При этом за счёт процессов два из этих фононов могут быть аннигилированы при взаимодействии друг с другом, либо же один из этих фононов будет разделяться на три фонона, либо будет образование одного фонона за счет сливания трех других. Этот процесс образования одного фо-
нона , t путем слияния двух других фононов , s и
, проиллюстрировано на рис. 2.9. Это случай процесса переброса, когда имеет место невыполнение закона сохранения квазиимпульса. На рис. 2.9 также изображен
процесс переноса графика
(
) на вектор
, когда нулевая точка будет
перенесена в точку А (пунктир).
На этих графиках закон сохранения энергии
= +
(
)
определяется точкой пересечения этих кривых
(
) и
(точка В).
Для этого случая волновой вектор определяется как = +
–
,
где
– вектор обратной решётки.
Состояние фононного термодинамического равновесия и теплового
расширения кристаллической структуры обеспечивается за счёт действия
67
операторов ангармонического возмущения. Эти операторы отвечают за
уровень твердотельной теплопроводности.
k
0
/
2/
/
s'
s
q
k1
k2
Рис. 2.9. Иллюстрация процесса переброса при слиянии двух фононов в один
Тепловое воздействие и возникающие при этом возбуждения кристалла являются основным источником образования фононов, который
обеспечивает распространения колебаний в объёме кристалла со скоростью, равной скорости звука.
Кроме того, фононы являются также переносчиками тепловой энер-
гии. Выражение
= −
T описывает процесс переноса потока тепла
в
область меньших температур в кристалле, имеющем коэффициент теплопроводности .
Когда между фононами отсутствует межфононное взаимодействие
или отсутствуют процессы переброса, то выполняется закон сохранения
суммарного импульса всех фононов.
При этом фононы будут выполнять роль переносчиков энергии при
отсутствии теплосопротивления (1/χ), т.е. в условиях отсутствия гради-
ента температур. Если же в кристалле существует теплосопротивление, то
это будет свидетельствовать о существовании процессов переброса и нарушении закона сохранения импульса при фононном взаимодействии.
Надо отметить, что только при превышении критической энергии E0,
которая будет проявляться при взаимодействии некоторых фононов
(с энергией ), будут возможны вышеуказанные процессы переброса.
Если же температуры имеют невысокие значения, то усредненное количество фононов с критической энергией E0 будет прямо пропорционально
exp(−E
0
/kT), откуда следует, что теплосопротивление exp(−E
0/kB
T), а теп-
лопроводность exp(E
0/kB
T). При принятии в рассмотрение температуру TD
(температуру Дебая) для различных материалов, экспериментально были
68
найдены температурные характеристики для гелия в твердом состоянии
(E
0
0,43 k
B TD
) и для алмаза (E
0
0,38 k
B TD
) и других [3].
2.2. Решёточная теплоёмкость кристаллов, вызванная
фононными взаимодействиями
Квантовое состояние, определяемое параметрами: волновым векто-
ром
и номером ветви колебаний s, обусловливает какое-либо количество
возбуждений фононного характера n
k,s.
Исследование такого фононного
газа показало [10], что эти квазичастицы подчиняются статистике Бозе.
В этой связи можно говорить о том, что будет иметь место перераспределение этих фононов по энергетическим состояниям вследствие действия
вышеописанных ангармонических эффектов, которые возникают из-за собственного межфононного взаимодействия. После этого возникает некое
тепловое равновесие, которое может быть охарактеризовано соответствующей температурой кристалла [10, 12]. При условии постоянства и непрерывности процессов образования и поглощения (аннигиляции) фононов в
объёме кристаллической решётки, что определяется равенством нулю ми-
нимума свободной энергии =
= 0, можно найти усреднённое зна-
чение количества фононов в таком состоянии равновесия, причём такой
фононный квантовый газ подчиняется статистической функции распределения Бозе − Эйнштейна [10], которая записывается в виде
(2.58)
при условии равенства нулю минимума свободной энергии, которая в этом
случае также будет представлять собой химический потенциал = 0.
Проведём расчёт фононной теплоёмкости, вызванной атомными ко-
лебаниями кристаллической решётки для вышеназванных параметров со-
стояния решётки
и s. При этом, если взять за начало отсчёта энергию 0
основного состояния кристалла и вести отсчёт энергии от этого значения,
то, с учётом ангармонических поправок, представленных в виде опера-
тора , можно записать в операторной форме значение энергии и коли-
чества фононов N в виде
69
,
. (2.59)
Второе слагаемое в первом уравнении – оператор оператор ан-
гармонических поправок) определяет непостоянство количества фононов и
обеспечивает образование состояния термодинамического равновесия при
том, что он сам мало влияет на величину фононной энергии. Поэтому мы в
дальнейших выводах не будем учитывать этот операторный член. В предположении = 0 получим для (2.58) фононное распределение Бозе − Эйнштейна в виде
(2.60)
Тогда свободная энергия кристалла идеального газа Бозе [2, 13], с
учётом = 0, записывается в виде
. (2.61)
Рассмотрим три случая предельных относительных температурных
диапазонов для изотропных кристаллов.
1. Диапазон низких температур.
В этом диапазоне, при знании основных параметров решётки и ко-
лебаний в её объёме (u
s
− скорость звука в s-ветви колебаний (обычно этот
параметр имеет размерность us ~ 105 см/с), постоянная решётки a ≈ 10-8 см),
то при учёте возбуждения квазичастиц акустической фононной ветви
можно получить значение энергии, которая будет прямо пропорциональна
величине волнового вектора:
,
, (2.62)
что даст в численном выражении
max
= u
skmax
≈ 10
-15
эрг.
Доказано, что полученные соотношения и величины достигаются
при условии, что температура кристалла ниже 10о К [11].
Применим упомянутую в соотношении (1.92) замену суммы волно-
вых векторов
интегральным соотношением, что для большого количе-
ства N базовых элементарных ячеек, имеющих объёмы для каждой из них:
.
Тогда получим в рамках предложенного рассмотрения:
70
. (2.63)
Далее можно записать общее соотношение для свободной энергии в
кристаллической структуре:
. (2.64)
Этот интеграл имеет верхний предел, равный , так как мы имеем
дело с низкими температурами и большие частоты (превышающие акустический диапазон колебаний фононов) практически не меняют величину результата интегрирования. Кроме того, при получении этого соотношения
использована замена: 3
-3
u
s
-3
. Поле проведения интегрирования по
частям и введения параметра
/ kB T, соотношение (2.64) примет вид
. (2.65)
Откуда при низких температурах можно найти полную энергию
фононов в кристалле и его теплоёмкость Cv как
, (2.66)
(2.67)
2. Диапазон высоких температур.
В этом диапазоне для совокупности фононов будет иметь место вы-
полнение соотношения в виде неравенства по типу (2.62): .
Тогда соотношение для свободной энергии кристалла будет иметь вид приближённого уравнения
. (2.68)
Затем для числа атомов в базовой элементарной кристаллической
ячейке можно получить формулу для полной энергии в виде
. (2.69)
И наконец, для этого температурного диапазона будет выполняться
классический закон Дюлонга − Пти для теплоёмкости Cv :
. (2.70)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]