Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
141
(рождения) и
(уничтожения) для состояния
, вводим для ды-
рок ферми-операторы
(рождения) и
(уничтожения) для состояния
(индекс определяет пространственное состояние рождения элек-
трона
,
и sz, тогда как его уничтожение (рождения дырки) будет соответ-
ствовать пространственному состоянию –
,
и -sz (в дальнейшем будем обо-
значать это состояние как − λ)). В этой связи в отношении дырок их фермиоператоры (
и
), при связаны с электронными ферми-операто-
рами (
и
посредством соотношений
=
и
=
.
С учётом ферми-операторов вышеуказанное вакуумное состояние с
волновой функцией 0, при котором основное энергетическое состояние
определяется E0 , для дырочного рассмотрения имеет энергетические гра-
ницы: при
имеет место равенство
0
= 0 и при
будет
верно
0
= 0, из чего следует, что не существует электронов с энергией
и дырок с энергией
.
При возбуждении появляется количество n N квазичастиц, распо-
ложенных на энергетических уровнях над уровнем Ферми и такого же ко-
личества n на уровнях, расположенных под этим уровнем
. Такое воз-
буждённое состояние будет определяться волновой функцией, равной
, (4.55)
что справедливо при выполнении для числа возбуждений условия
. (4.56)
Это условие предполагает, что количество электронов всегда равно
количеству дырок.
В предположении отчёта энергии квазичастиц-электронов по
направлению вверх от (
= , а энергии дырок в
направлении вниз от этого уровня − (
= гамильтониан,
определяющий энергию возбуждения электронных состояний кристалла,
будет иметь вид
. (4.57)
142
4.5. Классификация твердых тел по их энергетическим
зонным структурам
Зона разрешённых энергий представляет собой совокупность энер-
гетических зон, имеющих значения
при различных величинах
,
имеющих N- значений. Эти зоны разделены между собой запрещёнными
областями и зонами, которые частично перекрывают друг друга. При таком
перекрытии уровней энергетических разрешённых зон, их функциональные возможности будут оставаться неизменными даже, если они будут
принадлежать к разным группам кристаллической симметрии.
При абсолютной температуре T = 0, в соответствии с принципом Па-
ули, в кристалле электроны будут занимать до уровня Ферми почти все
нижние энергетические уровни. То есть все значения этих энергетических
уровней, включая уровень Ферми, будут определять, как оптические, электрические, так и кинетические свойства конкретного кристалла.
В случае нахождения зонного энергетического уровня Ферми (EF)
в области зон разрешённых энергий или на участке верхней границы,
зоны перекрытия зоны с уровнями больших энергий, рядом с этим уровнем EF будут размещаться уровни свободных состояний (незанятые
уровни). Под действием внешнего электрического поля электроны в кристалле будут перемещаться и занимать энергетические уровни над уровнем Ферми, при этом создавая ток за счёт перемещения свободных зарядов. Такие твердотельные структуры, имеющие энергетические спектры
данного типа, принято называть металлами (в определениях зоной теории) [4]. Эти состояния, рассмотрение которых будет продолжено далее,
проиллюстрированы на рис. 4.6, откуда понятно, что для случая металлов
(рис 4.6, в) проводимость будет определяться электронами с энергией,
близкой к энергии уровня Ферми. Для перемещения электронов, расположенных на уровнях гораздо более низких относительно уровня Ферми,
требуется воздействие гораздо большей энергии, поскольку ближние с
ними уровни энергии уже являются заполненными и в создании такой
проводимость будут принимать участие электроны частично заполненных зон из числа вышеуказанных. Участки этих зон носят название «зон
проводимости», а ближайшая к ним зона заполненных состояний называ -
4.5.
143
ется «валентной зоной». Твердотельные структуры, содержащие нечётное количество электронов в каждой элементарной ячейке, классифицируются как металлы. В металлах энергетические уровни являются дважды
вырожденными по проекциям спина, в связи с чем нечётные электроны
заполняют лишь половину уровней в верхней зоне.
-
-
F
g
c
a
Рис. 4.6. Иллюстрация зонных расположений в кристаллических структурах
твердых тел: − для диэлектриков; − для полупроводников; − для металлов
К этому классу металлов относятся (для элементарной ячейки) как
все щелочные металлы (Li, Na, K, Rb, Cs), одновалентные одноатомные эле-
менты − благородные металлы (Cu, Ag, Au), так и трёхвалентные одноатомные элементы (Al, Ga, In, Tl). Исключение составляет случай, когда в элементарной ячейке будут существовать два атома, у каждого из которых
имеется нечётное количество электронов в верхней зоне (т.е. в сумме будет
чётное число). К числу таких элементов относятся As, Sb, Bi (к ним данное
правило не применяется). В них десять (два по пять) электронов полностью
заполняют 5 энергетических зон, но крайняя, не полностью заполненная
верхняя зона, перекрывается 6-й зоной, на которую могут перемещаться
некоторое число электронов, обеспечивая некий ток при любой температуре. Эти элементы-исключения называются «полуметаллами» [4].
144
К классу металлов относят элементы, образующие твердотельные
кристаллические структуры, состоящие из атомов, содержащих чётное
количество электронов в случае, если имеется перекрытие их энергетических зон. К числу таких металлов принадлежат щелочноземельные металлы, свинец и фазное олово (одна фаза − металл, другая (серое олово) –
полупроводник).
К числу диэлектриков относятся элементы, у которых при T = 0 энер-
гетический уровень Ферми совпадает с верхней границей одной из зон, а
следующая, разделённая от неё запрещённым энергетическим интервалом,
энергетическая зона свободных уровней является незаполненной [5].
Ширина запрещённой зоны достаточно широка и без приобретения
количества энергии, не меньшей чем у величины этой запрещённой зоны,
электроны не смогут изменить своё энергетическое состояние для приобретения кристаллической ячейкой проводящих свойств. Большинство
изоляторов при отсутствии примесей и при T = 0 обладают подобными
зонными структурами (рис. 4.6, а). Например, ширина энергетических запрещённых зон между свободными и занятыми зонными областями у некоторых чистых структур имеют конкретные значения: для алмазоподобноструктурированного углерода – 6−7 эВ; Si – 1,11 эВ; CdS – 2,5 эВ;
Ge – 0,72 эВ; Sn (серое олово) – 0,1 эВ. При T = 0 К в чистом беспримесном виде эти элементы представляют собой изоляторы. Видно, что в
наиболее применяемых полупроводниках, таких как Si и Ge, запрещённые
зоны имеют относительно небольшие значения, поэтому даже при комнатной температуре, когда kBT ≈ 0,025 эВ, большое количество электронов преодолевают эту зону и переходят из валентной (заполненной) зоны
в зону проводимости, тем самым образуя в валентной зоне вакансии –
дырки [6, 8]. Таким образом в зоне проводимости будет иметь место электронная, а в валентной зоне – дырочная проводимости. С увеличением
температуры эти проводимости будут расти. Это и определяет основное
понятие полупроводников как твёрдых тел, у которых отсутствует проводимость при = 0 и наблюдается рост проводимости (прежде всего электронной) с ростом температуры. А металлы, наоборот, обладают максимальной проводимостью при = 0, а с ростом температуры она будет
уменьшаться.
4.5.
145
Чистые полупроводники обладают проводимостью, которая проявляется как результат теплового перемещения электронов из валентной зоны в
зону проводимости (по этой же аналогии можно рассматривать и дырочную
проводимость как результат образования дырок в валентной зоне).
На практике тип проводимости меняют посредством легирования
основного полупроводника примесными элементами. Так, донорными элементами будут являться атомы, поставляющие в кристалл полупроводника
избыток электронов в зону проводимости (в этом случае валентность донорной примеси должна быть выше валентности основного кристалла).
А акцепторные примеси, наоборот, захватывают электроны из валентной
зоны, оставляя на их местах вакансии – дырки и валентность акцепторных
атомов будет ниже валентности атомов основного кристалла. Следовательно, получается два типа (вида) несобственных полупроводников: с
электронной проводимостью (n- тип) и с дырочной проводимостью (p-тип).
Понятно, что в таких полупроводниках будет нарушено равенство электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Наличие в легированных полупроводниках таких структурных дефектов, как междоузельные
атомы и вакансии также будет носить вклад в изменение типа проводимости наряду с атомами примеси.
Частичное перекрытие валентной зоны и зоны проводимости,
наблюдаемое в полуметаллах, объясняет то, что и при Т = 0 К части электронов из валентной зоны переходят в зону проводимости, образуя дырки
в валентной зоне. Поэтому чистые полуметаллы имеют одинаковое число
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Рост этого
числа электронов и дырок будет продолжать расти в полуметаллах с ростом
температуры, а, следовательно, будет расти и проводимость (в отличие от
металлов). Несмотря на то, что количество электронно-дырочных пар в полуметаллах содержит равное количество разных типов носителей заряда,
их роль в суммарной проводимости всей кристаллической структуры не будет определяться только этим их количеством, поскольку электроны и
дырки имеют разные подвижности. Например, в висмуте и его сплавах подвижность электронов гораздо выше подвижности дырок (этот случай
чаще всего встречается на практике), что определяет электронный (n-тип)
проводимости этих структур, а в сурьме и её сплавах подвижность дырок
выше, т.е. эти структуры имеют дырочный (p-тип) проводимости [3].
146
4.6. Понятия плотности электронных состояний и
изоэнергетических поверхностей
Ранее было определено, что квазичастицы − носители тока в полу-
проводниках, к которым относятся дырки в валентной зоне и электроны в
зоне проводимости, значительно отличаются от свободных частиц в их
классическом понимании. И, прежде всего, это отличие проявляется в законе дисперсии, что имеет своё проявление как динамическая зависимость
энергии от волновых векторов.
Энергетическая функциональная зависимость для свободных частиц
2k2
/2m может быть для кристалла описана периодической функ-
цией волнового вектора = . А в пространстве волновых векторов геометрические области энергий квазичастиц
, которым со-
ответствуют равные значения энергии в точках, расположенных на поверх-
ностях волнового
-пространства, называются изоэнергетическими по-
верхностями. Так, для электронов проводимости изоэнергетические поверхности будут иметь сферическую форму. На рис. 4.7 приведен пример
эскиза изоэнергетических поверхностей электронов и дырок в кристалле со
сложной формой кристаллической решётки.
[100]
[010]
[001]
[101]
H
Рис. 4.7. Эскиз изоэнергетической поверхности в системе повторяющихся зон
кристалла с простой кубической решёткой
Энергия и элементы симметрии кристаллов определяют структуру
изоэнергетических поверхностей, где в
- пространстве внутри зоны Брил-
люэна вблизи экстремальных величин
изоэнергетические поверх-
ности будут представлять собой эллипсоиды около
0
. В зависимости от
значений эффективных масс, энергии
будут иметь разные экстре-
мумы. Так главные значения эффективных масс m* > 0 будут иметь место
4.6
147
при минимуме энергии
, и m
*
< 0 при её максимуме. Направление
вектора групповой скорости электронов
=
совпадает с направ-
лением нормали к изоэнергетическим поверхностям, т.е. по внутренней
нормали к поверхностям вблизи точек максимума и по внешней нормали к
этим поверхностям вблизи точек минимума. Замкнутые изотермические
поверхности деформируются при удалении от экстремальных точек.
Очевидно, что эти замкнутые поверхности имеют периодические по-
вторения во всём объёме k-пространства, что следует из вида периодичности функции
.
Во всём этом k-пространстве также размещены непрерывно проходя-
щие открытые и сомопересекающиеся более сложные поверхности, которые
находятся между вышеупомянутыми замкнутыми поверхностями, окружаю-
щими экстремальные значения указанной функции
. Эти открытые
поверхности могут быть как односвязными, так и многосвязными.
Наибольший интерес и важность представляют изоэнергетические
поверхности Ферми. Так, для свободных электронов эскизы такой поверхности Ферми (сфер Ферми) приведены для четырехвалентных металлов с
ГЦК-решеткой на рис. 4.8 [3, 10].
Рис. 4.8. Эcкизы поверхностей Ферми свободных электронов в кристаллах со
структурой ГЦК-решеток четырех валентных металлов: и − изображения
пересечения сферы Ферми с поверхностью второй и третьей зон Бриллюэна;
− изображение "дырочной поверхности", полученной при переносе частей
сферы Ферми из второй зоны Бриллюэна в первую зону; − многосвязная
поверхность, полученная при переносе частей сферы Ферми из третьей зоны
Бриллюэна в первую зону; − "электронные карманы", возникающие в первой
зоне Бриллюэна при переносе частей сферы Ферми из четвертой зоны [2]
Из рис. 4.8 видно, что сфера поверхности Ферми не распространя-
ется дальше четвертой зоны Бриллюэна в объеме пространства волновых
векторов, причем первая зона Бриллюэна расположена внутри объема
сферы Ферми.
148
Поверхности объемов второй и третей зон Бриллюэна показаны на
рис.4.8, а и 4.8, б как пересекающиеся друг с другом. На рис. 4.8, в приведен
эскиз «дырочной поверхности» (внутри которой энергия выше, чем вне неё),
которая получена для случая, когда часть поверхностной области Ферми,
расположенной во второй зоне Бриллюэна и перенесенная в первую зону
Бриллюэна в результате трансляций на векторы обратной решетки. Эта простая односвязная фигура – дырочная поверхность − не имеет выпуклых граней. Уровни энергии, расположенные снаружи этой дырочной поверхности,
обладают меньшими энергиями, чем уровни, находящиеся внутри неё.
По аналогии с таким трансляционным механизмом можно получить
другую фигуру при переносе области объема поверхности ферми третей
зоны Бриллюэна в первую зону также при помощи трансляций на векторы
обратной решетки. В результате будет образована многосвязная фигура, эскиз которой приведён на рис.4.8, г.
Таким же способом части поверхности Ферми 4-й зоны Бриллюэна
могут быть перенесены в первую, что даст образование в ней так называемых электронных карманов (рис. 4.8, д).
Плотности квантовых состояний (E), которые приходятся на единицу энергии, определяют внутри области ограниченной поверхностью
Ферми количество заполненных состояний, а эти электронные состояния
однородно распределяются в области k-пространства и неоднородно по
уровням энергий.
При этом количество состояний dN попадающих в интервал: ÷ +
+ , при условии вырождения g-кратности, может быть записано в виде
(4.58)
С учетом того, что для элемента изоэнергетической поверхности dS
будет справедливо равенство
=
, можно записать оконча-
тельное соотношение для плотности состояний по энергетическим уровням
. (4.59)
Выполнение операции интегрирования производится по изоэнергетической поверхности, расположенной вокруг одной зоны Бриллюэна. При
4.6
149
этом не учитывается вид этой поверхности, т.е. является ли она замкнутой
либо открытой.
Если эффективную массу считать изотропной =
2k2
/2m*, то
можно получить
=
, что позволит запи-
сать (4.59) в виде
(4.60)
Если изоэнергетическая поверхность является эллипсоидовидной,
то в этой формуле нужно произвести замену
на
.
Если мы имеем дело с приближением сильной связи, то отсчет элек-
тронной энергии начинают от дна зоны в простой кубической решетке:
= 2(3 – cos – cos − cos
).
При этом вблизи центра этой зоны =
2k2
/2m* эффективная
масса будет равна
= 2/2a
2
и . Для вершин куба, ограничи-
вающих первую зону Бриллюэна, когда = ± π << 1, получаем
= –. Откуда можно получить .
Если же мы рассматриваем плотность состояний в приближении по-
чти свободных электронов, то эта плотность состояний будет равна
. Эта плотность будет меняться до значений соответствующих
энергий, определяемых волновым вектором, касающимся центров граней
зоны Бриллюэна. При приближении энергетических значений к вершине
зоны Бриллюэна, эта плотность состояний будет уменьшаться до нуля.
Эскизы плотности одноэлектронных состояний как функций от
энергии для случаев рассмотрения в приближениях сильной связи и почти
свободных электронов приведены на рис. 4.9, a, б.
Полная плотность состояний в тех областях, где энергетические
зоны перекрываются, будет представлять собой сумму плотностей, находящихся в перекрытых областях. Для диэлектриков (приближение почти свободных электронов) и одновалентных металлов можно получить эскизы зависимости энергии от плотности состояний (рис. 4.10).
Из рис. 4.10 видно, что в энергетических структурах одновалентных
металлов половина состояний в зоне проводимости является заполненной,
а поверхность Ферми представляет собой сферу. Также видно, что в энергетической структуре диэлектрика валентная зона является полностью
150
заполненной, а зона проводимости абсолютно пуста. При этом при переходе электронов из валентной зоны в зону проводимости происходит образование неустойчивых возбужденных состояния.
F
EF
Рис. 4.9. Эскизы зависимости энергии
от плотностей одноэлектронных
состояний: a − приближение сильной
связи; − приближение почти
свободных электронов
Рис. 4.10. Изображения
зависимости
от в структурах:
a − одновалентного металла;
− диэлектрика
Относительно дырок в возбужденных диэлектриках можно отметить, что их основное состояние будет вакуумным. Это означает, что все
физические величины будут отсчитываться от этого основного состояния
(без квазичастиц: электронов и дырок).
Как известно, на самом верху валентной зоны отрицательно заря-
женный электрон имеет отрицательную эффективную массу:
=
=
= 2/2a
2
. Относительно дырок будет справедливо следующее: они
имеют положительную эффективную массу
=
= 2/2a
2
(положи-
тельный заряд). А их энергетические уровни
ведут отсчет от верха (по-
толка) валентной зоны:
() = 12 − ε() = ћ
2q2
/2
.
4.7. Электронная статистика в объёме твердых тел
Как известно, для системы, состоящей из N электронов зоны проводи-
мости, энергия основного состояния будет соответствовать состоянию
,
которое характеризуется тем, что при нём заполненными являются все
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]