Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
171
− Оператор кинетической энергии
:
=
.
− Оператор момента количества движения:
,
,
− Оператор квадрата момента количества движения
:
=
С каждым оператором в квантовой механике связывается уравнение
n
(x) = F
nn
(x), определяющее его собственные значения Fn и полную си-
стему ортонормированных функций n, подчиняющихся определенным
граничным условиям. Совокупность величин Fn определяет спектр возможных значений физической величины F. Функция n(x) характеризует состо-
яние системы, в котором величина F имеет значение Fn.
Например, уравнения для собственных функций и собственных зна-
чений операторов
имеют вид [1, 2, 10]:
=
,
=
,
=
.
Решением первого уравнения является волновая функция
,
где a(y,z) – произвольная функция (y, z).
− Оператор Лапласа (оператор дельта ∆) – дифференциальный
оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом ∆. Функции F он ставит в соответствие функцию F =
в n-мерном пространстве.
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию опера-
ций градиента и дивергенции: ∆ div grad, таким образом, значение опера-
172
тора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников
(стоков) потенциального векторного поля grad F в этой точке. Оператор
Лапласа симметричен.
В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обознача-
ется следующим образом: ∆ = + =
2
, т.е. в виде скалярного произведе-
ния оператора набла на себя:
=
+
.
Поскольку этот оператор дельта (∆) является дифференциальным
оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать, как
правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например,
grad() = ()= + = + ;
div() = *() = ( * ) = 2 =.
То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть
сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается
только одно поле.
− Оператор Гамильтона (оператор набла – ) – векторный диффе-
ренциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам [1, 10, 16].
Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат оператор набла определяется следующим образом:
=
+
,
где , ,
– единичные векторы по осям x, y, z соответственно.
Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:
=
.
Через оператора «набла» естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция),
rot (ротор), а также оператор Лапласа.
Свойства оператора набла.
Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.
173
Если скалярно умножить вектор на функцию , то получится век-
тор =
+
, который представляет собой градиент функции .
Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр, т.е.
дивергенция вектора :
=
Оператор Гамильтона (гамильтониан) также является оператором
полной энергии
+
,
где − оператор кинетической энергии,
− оператор потенциальной
энергии.
Если частица движется в потенциальном поле U(x,y,z), то оператор
Гамильтона
имеет вид
.
Примеры некоторых гамильтонианов.
− Свободная частица массы m:
.
− Частица в одномерной потенциальной яме U(x):
, 0 < x < L.
− Гармонический осциллятор:
где m − масса осциллятора, − частота колебаний.
− Атом водорода:
,
где m − масса электрона, r − расстояние между электроном и протоном.
− Атом гелия:
,
где r1 − расстояние между одним электроном и ядром гелия, r2 − расстояние
между другим электроном и ядром гелия, r12 − расстояние между электронами.
174
Развитие состояния во времени описывается волновым уравнением
Шредингера. Для вывода уравнения используют оператор эволюции,
сдвигающий состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве. Рас-
смотрим эти операторы [1, 3].
− Оператор трансляции сдвигает состояние объекта на расстояние :
(x, t)= (x + a,t).
Для получения оператора разлагаем a,t)в ряд Тейлора и
учитываем оператор импульса
Ψ(x + a,t) = Ψ(x,t) +
+
+…=
.
Квадратная скобка в данном соотношении является разложением в
ряд экспоненты. В результате оператор трансляции имеет вид
− Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения опе-
ратора трансляции по параметру смещения вблизи нуля:
.
Применяя оператор импульса, получим
. Генерато-
ром перемещения является импульс.
− Оператор эволюции
передвигает состояние во времени на
Применяя оператор импульса, получим
Знак минус в
показателе степени этого соотношения обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля [1, 2, 11].
− Генератор эволюции:
По аналогии с вышеизложенным соотношением получаем:
,
.
175
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Начала квантовой механики [Текст] / В. А. Фок. – 2-е изд.,
доп. − Москва: Наука, 1976. − 376 с.
2. Квантовая механика [Текст]: учебное пособие для сту-
дентов университетов и технических вузов / А. С. Давыдов. – 3 изд.,
стер. − Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2011. − 703 с.
3. Квантово-статистическая теория твердых тел [Текст]:
учебное пособие / В. В. Прудников, П. В. Прудников, М. В. Мамонова. − 2-е изд., доп. − Санкт-Петербург: Лань, 2016. − 448 с.
4. Основы теории металлов [Текст] / А. А. Абрикосов. −
2-е изд., доп. и испр. − Москва: Физматлит, 2010. − 598 с.
5. , Физика диэлектриков [Текст]; под. ред. Г. Сканави. −
Москва: Издательство АН СССР, 1960. − С. 290.
6. Введение в теорию полупроводников [Текст] / А. И. Ан-
сельм. − 3-е изд., стер. − Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2008. − 618 с.
7. Термодинамика [Текст]: учебник для вузов / И. П. База-
ров. − 4-е изд., перераб. и доп. − Москва: Высшая школа, 1991. − 376 с.
8. Кинетические эффекты в объёмных полупроводни-
ковых структурах при воздействии сильных электрических и магнитных полей [Текст]: учебное пособие / И. В. Малышев, Н. В. Паршина. – Ростов-на-Дону; Таганрог: Южный федеральный университет, 2018. – 145 с.
9. Атомы в молекулах. Квантовая теория [Текст]: / Р. Бейдер;
пер. с англ. Е. С. Апостоловой и др. под ред. М. Ю. Антипина, В. Г. Цирельсона. − Москва: Мир, 2001. − 532 с.
10. Теоретическая физика [Текст]: учебное пособие для сту-
дентов физических специальностей университетов: в 10 т. Т. 3. Квантовая механика (Нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – Москва: Физматлит, 2008. – 800 с.
11. Теоретическая физика [Текст]: учебное пособие для сту-
дентов физических специальностей университетов: в 10 т. Т. 5. Статистическая физика. Ч.1. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – Москва: Физматлит, 2010. – 616 с.
176
12. Электродинамические процессы в дисперсных систе-
мах [Текст]: учебное пособие / И. В. Малышев, Н. В. Паршина. − Ростов-на-Дону; Таганрог: Изд-во Южного федерального университета,
2017. − 112 с.
13. Кватовая теория твердых тел [Текст] / Ч. Киттель. – Мос-
ква: Наука, 1967. − 111 с.
14. Введение в физику твердого тела [Текст] / Ч. Киттель. –
Москва: Наука, 1978. − 792 с.
15. Физика твердого тела: локализованные состояния [Текст] /
О. Маделунг. − Москва: Наука, 1985. − 184 с.
16. , Справочник по операционному исчислению [Текст] /
В. А. Диткин, А. П. Прудников. − Москва: Высшая школа, 1965. − 466 с.
МАЛЫШЕВ Игорь Владимирович
ПАРШИНА Наталья Валерьевна
ПРИКЛАДНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ
Редакторы:
Корректоры:
Компьютерная верстка
Подписано в печать 10.02.2022 г.
Бумага офсетная. Формат 6084 1/16. Тираж 30 экз.
Усл. печ. л. 10,29. Уч. изд. л. 9,21. Заказ № 8421.
Издательство Южного федерального университета
Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции
Издательско-полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ
344091, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1. Тел. (863)243-41-66.
177
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]