Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладная квантовая механика в радиоэлектронике. Учебное пособие
.pdf
4.3.
131
трёхмерные эскизы для приближения сильной связи в простой кубической
кристаллической решётке и сечение изоэнергетического объёма пространства волновых векторов плоскостью kz = 0. Границы зон Бриллюэна, для
которых выполняется условие ki = /a, определяются из условия равенства
нулю производной по волновому вектору:
= 2 = 0.
Отсюда следует, что изоэнергетическая поверхность по каждой из
граней кристаллической ячейки пересекает под прямым углом область, ограничивающую её границы. Из рис. 4.3, б видны около 8-ми вершин элемен-
тарной зоны Бриллюэна, где волновой вектор равен π (±±)/
при
1, а выражение для энергии будет иметь вид
.
Пропорциональность этой функции квадрату аргумента (q2) свиде-
тельствует о сферической форме изоэнергетической поверхностной области вблизи зоны Бриллюэна, причем эффективная масса будет отрицательной (− m*).
/a
E(k)
Г
k
/a
E0
2a
Рис. 4.4. График дисперсионной зависимости одноэлектронных
состояний в приближении сильной связи для случая простой кубической
решётки направления (100)
На рис. 4.4 приведена графическая интерпретация дисперсионной
зависимости для одноэлектронных состояний приближения сильной связи
в простой кубической кристаллической решётке (направление (100)), из которой видно, что минимум этой зависимости находится в точке k = 0, а мак-
симум − в точках границ зон Бриллюэна:
= ± /a .
Можно отметить, что дисперсионная зависимость в наибольшем
диапазоне аргументов подчиняется квадратичному закону, что характерно
132
для большинства металлов и полупроводников (за исключением многодолинных структур типа A
IIIBV
, AIIBVI и др.) [4, 6, 8].
Очевидно также подобие этой зависимости дисперсионным графи-
кам рис. 4.2 для приближения слабой связи (почти свободных электронов)
в случае нечётных значений параметра . Однако это подобие имеет только
внешнее графическое сходство, поскольку в рассматриваемом здесь случае
сильной связи установлена обратная пропорциональность значения эффективной массы m* величине матричного элемента функций потенциальной
энергии
, а в ранее рассмотренном случае слабой связи этот параметр −
постоянная величина m.
Итак, выяснено, что зонная энергетическая структура зависит от
функциональных матричных параметров электрон-ионного взаимодействия (4.35), которые, в свою очередь, зависят от значений атомных волно-
вых функций φ(), φ( +) межатомного пространства (и очевидно, от по-
стоянной атомной решётки ). Ширина зоны, которая является «перекры-
ваемой» может быть определена на зависимости [2]. В рамках
приближения сильной связи энергетические зонные расстояния будут тем
более узкими, чем меньше будут эти перекрытия зонных областей
. Предельный случай такого перекрытия (когда оно будет бесконечно малым)
будет означать, что ширина энергетической зоны будет стремиться к нулю
и энергетическая зона будет стремиться к N − кратно вырожденному виду,
что будет соответствовать случаю, при котором электроны будут энергетически локализованы в одном из N - изолированных атомов.
Физическая интерпретация приближения сильной связи может быть
изложена в следующих положениях для N - независимых атомов, расположенных на расстояниях, обеспечивающих энергетическую независимость
друг от друга по расположению их энергетических уровней. Пусть каждый
из этих атомов, в соответствии с их энергетическими уровнями, будет обладать волновыми функциями
a , b
, которые описывают одноэлектрон-
ные состояния системы с кратностью вырождения, равной N.
При сближении атомов решётки, т.е. уменьшения межатомного рас-
стояния будет происходить перекрытие атомных функций соседних атомов
и будет иметь место расщепление N-кратно вырожденных уровней с образованием соответствующих зон, как это показано на рис. 4.5.
4.3.
133
n = 1
n = 2
n = 3
V(r)
r
()
−1
,
N
k
Рис. 4.5. Энергетические зоны, возникающие из атомных уровней:
а − эскиз, поясняющий положение электронных уровней n в отношении
к атомному потенциалу; б − образование энергетических зон из энергетических
уровней периодической решётки из N атомов (уровни обратно пропорциональны
межатомному расстоянию)
Из этого рис. 4.5 видно, что каждому атомному уровню соответствует зона, содержащая N состояний, т.е. уместно определять наличие зон,
возникающих из соответствующих атомных уровней, как 3s ,4p, и т.д.
Удобно применять эту классификацию при описании переходных металлов, которые имеют в пределах атомной решётки жёсткую локализацию
атомных d-функций. Это приводит к тому, что в этих металлах образуется
узкая d-зона, определенная в строгих пределах.
На рис. 4.5 показано, что при расширении энергетических зон может
иметь место их перекрытие, что может быть учтено в том, что волновая
функция всей системы должна быть рассчитана по «методу линейных
комбинаций атомных функций», который подразумевает её вид, по ана-
логии с (4.31):
. (4.37)
Функция
,j
( +n) представляет собой одну из атомных функций,
относящаяся к центрированному n-узлу (j = 1, 2,…l; l – кратность вырожде-
ния энергетического уровня
, найденного из решения уравнения (4.34)).
Экстремумы функции энергии (4.32) можно определить при нахождении коэффициентов атомной поляризуемости
j
, при которых будет
иметь место равенство
/
= 0. Отсюда следует система линейных
уравнений:
134
. (4.38)
Коэффициенты
j
этой системы представляют собой элементы мат-
рицы, которые зависят от типа параметров
в соотношениях, для которых
содержатся интегралы относительно атомных функций, которые соответствуют различным энергетическим уровням атомов, расположенных в узлах кристаллической решётки. Решение (4.38) даст количество l-решений
E
,
(
), где = 1, 2,…, l. Отсюда следует, что каждому вырожденному
энергетическому уровню, имеющему кратность вырождения, равную l, будет соответствовать l квазинепрерывных энергетических зон (полос), среди
которых будут встречаться и перекрывающие друг друга (рис. 4.5).
Указанный метод линейных комбинаций атомных функций, применяемый в расчётах структур энергетических зон, имеет недостаток, заключающийся в том, что волновые функции атомов за пределами рассматриваемой элементарной атомной структуры решётки будут очень быстро убывать. В этих областях потенциал можно полагать постоянным и здесь затруднительно выразить волновые функции почти свободных электронов
(приближение слабой связи). Это значит, что волновые функции, отражающие связанные состояния одного атома, не образуют полную систему, поскольку в ней будут отсутствовать волновые функции ионизованных состояний (плоские волны).
Таким образом, рассмотренный метод линейных комбинаций атомных функций дополняется «методом присоединённых плоских волн». Его
суть заключается в том, в положении того, что вокруг каждого иона решётки
имеется некоторая сферическая область, радиусом Rs, потенциал всей системы будет сферически симметричен, поскольку уравнение Шредингера
внутри каждой такой сферы имеет точное решение через сферические гармоники. А между ионами, за пределами этих сфер, потенциал будет постоянным. Вот в этих областях, находящихся вне этих сфер, волновая функция
полагается относящейся к типу плоских волн. Объединяя эти решения на поверхностях этих сферических областей, можно получить решение уравнения
Шредингера в объёме всей кристаллической структуры. Данное объединение можно провести в следующей последовательности.
Полагая, что внутри каждой сферы решение уравнения Шредингера
имеет вид [3]
4.3.
135
, (4.39)
где E – энергия рассматриваемого состояния, Y
lm
(,) – сферические функ-
ции,
и – полярные углы вектора , R
l
− решение (в атомных единицах)
данного радиального уравнения. Это решение определяется из уравнения:
. (4.40)
Выберем в (4.39) коэффициент Clm таким, чтобы функциональная за-
висимость ) полностью «сшивалась» на сферической поверхности ради-
усом r = R
s
с единственной плоской волной вида
, после чего её можно
представить в виде сферических гармоник по стандартному разложению
, (4.41)
где jl (x) =
− сферические функции Бесселя l рода, k,
,
–
сферические координаты волнового вектора
.
Выбор коэффициента разложения C
lm
осуществляют по соотноше-
нию [2]:
. (4.42)
Далее, как упоминалось ранее, подстановка данных коэффициентов
(4.42) в (4.39) позволит найти присоединённую плоскую волну в виде функ-
циональной зависимости
(), которая в межсферическом пространстве
будет равна
, а внутри каждой сферы определяется из условия
. Центр такой сферы находится в точке n.
Полагается, что при таком подходе не учитывается зависимость E(
)
и её периодичность E() = E( ).
Итак, волновая функция всей кристаллической решётки получается
на базе этой плоской присоединённой волны:
. (4.43)
Коэффициенты
находятся из условия минимизации энергети-
ческого функционала:
. (4.44)
136
На практике для расчётов энергетических зонных структур в объёмах кристаллов могут применяться методы псевдопотенциала, ортогонализированных плоских волн, функций Грина и другие [2, 10, 13] .
4.4. Процессы вторичного квантования электронных систем
Ранее было обозначено, что одноэлектронные состояния в объёмах
кристаллов определяются двумя основными параметрами: волновыми
функциями
и энергиями
. В дальнейших рассмотре-
ниях для простоты введём обозначение символом , под которым будем по-
нимать совокупность волновых и квантовых чисел
и , а символом обо-
значим совокупность координат частицы и s
z
. Усреднённое значение опе-
ратора поля () отражает процессы взаимодействия одного электрона как
с другими электронами, так и с другими ионами в данном кристалле.
В связи с этим можно заключить, что вышеуказанные основные классифи-
кационные параметры и характеризуют не состояние электрона, а
состояние обобщённой квазичастицы, отражающей состояние всего кристалла, не совпадающее с состоянием свободного электрона. Эта квазичастица, как и электрон, является фермионом, и, как и электрон, имеет спин,
равный s . Если не учитывать влияние остаточного взаимодействия
(), то можно полагать, что у квазичастиц ‒ электронов отсутствует соб-
ственное взаимодействие, из чего можно сделать заключение, что состоя-
ния параметра
являются также независимыми между собой, а множе-
ство состояний функций представляют собой полную ортонормиро-
ванную функциональную систему, определяемую условиями:
. (4.45)
Для одночастотного приближения совокупности из N электронов
кристалла можно записать
, (4.46)
в котором
является Гамильтонианом для каждого i-го электрона,
определяющего одноэлектронное состояние из уравнения Шредингера, которое для этого случая примет вид
137
. (4.47)
(
=
– Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия).
Движение всех электронов (N) в кристалле и их кинетическое состо-
яние определяются волновой функцией относительно их трёх пространственных и одной спиновой координат (для каждой элементарной квазичастицы), т.е. в совокупности эта волновая функция определяется 4N-координатами. Эта волновая функция не будет являться симметричной относительно перестановок каждой любой пары квазичастиц, которые принадлежат к фермионам. Ассиметризацию волновой функции можно осуществить
путём преобразования всего N- числа элементарных функций
, которые
определяют кинетическое состояние движения каждой элементарной квазичастицы, что реализуется при помощи детерминанта Слетера:
. (4.48)
Это матричное преобразование является очень подробным и громозд-
ким и в данном учебном пособии в дальнейшем рассматриваться не будет.
Рассмотрим вопрос о количественном (численном) заполнении элек-
тронами энергетических уровней, а после этого, вопрос о их дырочном заполнении. Итак, в соответствии с принципом Паули, каждое одноэлектрон-
ное состояние
, в зависимости от его спинового состояния, может быть
присуще либо единственному электрону, либо это состояние не будет соответствовать ни одному из электронов (свободное состояние). Таким образом, энергетическое состояние совокупности N-электронов полностью
определяется знанием о том, какие состояния заняты этим единственным
электроном, а какие состояния свободны. Теория этой интерпретации получила развитие в «представлении чисел заполнения для фермионов»
[3, 14]. Это представление основано на том, что операторы всех физических
параметров системы выражаются для состояний
через операторы обра-
зования (рождения)
и аннигиляции (уничтожения)
Введём обозна-
чение для нормированного состояния при отсутствии частиц |0>, которое
определяется из условия
|0>= 0 для каждого значения λ. Электронное
состояние (для N электронов), которое в соответствии с принципом
138
Паули для каждого электрона может занимать одно значение из
1
, 2, … N. Эти состояния описываются соответствующими функциями
в виде
,
, …
| 0 >. Выполнение упомянутого принципа асиммет-
рии по отношению к этой функции для любой пары электронов связано с
тем, что для параметра , оператор должен иметь вид
=
. Для
этого необходимо и достаточно, чтобы операторы
соответство-
вали перестановочным соотношениям
.
({a,b} = ab + ba – функция антикоммутации или антикоммутатор).
Когда система находится в основном энергетическом состоянии
(при котором плотность кинетической энергии T= 0), электроны будут
находиться в N- одноэлектронных состояний , имеющих энергии
(при этом, очевидно, энергетические уровни с
будут свободными).
Этот граничный энергетический уровень называется уровнем Ферми
(с энергией Ферми), отсюда следует, что при проведении нумерации энер-
гетических уровней в диапазоне
по возрастанию индексов
i ,
ос-
новному энергетическому состоянию системы будет соответствовать ра-
венство
=
, а функция 0 для этого состояния будет определяться
как |0> =
,
, …
| 0 >. При возбуждении электронов будет проис-
ходить переход и из этих заполненных состояний с уровнями i в свободные незанятые состояния j, для чего данной системе необходимо сообщить
дополнительную энергию
, а после такого перехода система при-
обретает вид с состоянием
|
0
. В такой системе полное количество
частиц будет равно
=
. Введём операторные функции:
, (4.49)
которые будут определять переход от координатного (декартового) представления к представлению численного заполнения в электронной системе. В таком случае одночастичных операторов, представленных как
сумма операторов, применяемых для каждого электрона, в координатном
представлении
, откуда следует, что для случая числен-
ного заполнения, это равенство может быть преобразовано в следующее
выражение:
(4.50)
139
Здесь
=
– интегральная обобщённая
функция.
В случае одноэлектронного приближения Гамильтониан будет
иметь вид
. (4.51)
При рассмотрении парных взаимодействий меду электронами поль-
зуются также операторами подобного вида. Так, по аналогии с одноэлектронным переходом (4.50), двухквазичастичные (для двух электронов i и j)
координатно-представленные операторы
=
будут преобра-
зованы в операторы численного электронного заполнения в соответствии
со следующим равенством:
, (4.52)
в которое также введена обобщённая интегральная функция
.
Итак, показано, что вышеуказанные преобразования применимы к
рассмотрению электронов в кристаллах [3, 8].
Перейдём теперь к рассмотрению системных энергетических опера-
торов. Так, если в координатном рассмотрении оператор энергии системы
описывается в виде Гамильтониана
, (4.53)
в котором имеются основные параметры и − собственные значе-
ния и собственные функции относительно
− одночастичного опе-
ратора;
– оператор, характеризующий остаточное взаимодействие. Тогда, применяя (4.51) и переходя к энергетическому рассмотрению полносистемного оператора в представлении численного заполнения, получим
его в виде
, (4.54)
в котором также имеется интегральная обобщённая функция
,
140
представляющая собой матричный элемент, который будет отличен от нуля
только в случаях попарного равенства какой-либо из пар спиновых состоя-
ний ( и ) и (1 и
) или же ( и
) и (
1
и ).
Рассмотрим энергетическую картину для дырочного численного
энергетического распределения. Для этого вначале дадим определения
энергетического состояния для отдельной дырки и их совокупности.
Ранее было показано, что энергетическое состояние слабовозбуж-
дённой электронной системы, состоящей из N электронов, практически не
отличается от её основного состояния E0, поэтому процесс возбуждения ха-
рактеризуется заполнением ряда энергетических уровней с
при со-
ответствующем освобождении уровней с
около уровня Ферми. При
этом энергетические состояния других квазичастиц остаются без изменений. В связи с этим можно сделать вывод о том, что будет очень тяжело,
из-за громоздкости расчётов, сделать энергетическое описание всей электронной системы, состоящей из N электронов при помощи ряда функций
вида
…
. Поэтому на практике энергетическую систему невза-
имодействующих квазичастиц-электронов характеризуют по как по числу
состояний, занятых электронами с энергиями
, так и по числу осво-
бодившихся состояний (вакансий) с энергиями
. Эти освободивши-
еся вакантные состояния принято называть «дырками».
Значит рождение электронно-дырочной пары квазичастиц определя-
ется переходом электрона из занятого энергетического состояния в свобод-
ное , т.е. электрон теперь будет находиться в состоянии
, а квазичастица-
дырка − в состоянии . Основное энергетическое состояние будет соответствовать значениям с E0 и 0>, когда система рассматривается как система,
обладающая нулевой энергией или вакуумное состояние при отсутствии квазичастиц. От этого состояния и будет отсчитываться энергия возбуждения
квазичастиц. Тогда переход элементарной системы в это свободное состояние будет заключаться в аннигиляции (взаимоуничтожении) пары дыркаквазичастица (электрон). Данное представление энергетических возбуждённых состояний носит название «дырочное представление».
При таком представлении для описания процессов рождения и анни-
гиляции электронных и дырочных пар квазичастиц вводят дополнительные
операторы. Так, наряду с применяемыми для электронов ферми-операторами
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]